matita/library/nat/div_and_mod.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/div_and_mod".
  16
  17 include "nat/minus.ma".
  18
  19 let rec mod_aux p m n: nat \def
  20 match (leb m n) with
  21 [ true \Rightarrow m
  22 | false \Rightarrow
  23   match p with
  24   [O \Rightarrow m
  25   |(S q) \Rightarrow mod_aux q (m-(S n)) n]].
  26
  27 definition mod : nat \to nat \to nat \def
  28 \lambda n,m.
  29 match m with
  30 [O \Rightarrow m
  31 | (S p) \Rightarrow mod_aux n n p].
  32
  33 interpretation "natural remainder" 'module x y =
  34   (cic:/matita/nat/div_and_mod/mod.con x y).
  35
  36 let rec div_aux p m n : nat \def
  37 match (leb m n) with
  38 [ true \Rightarrow O
  39 | false \Rightarrow
  40   match p with
  41   [O \Rightarrow O
  42   |(S q) \Rightarrow S (div_aux q (m-(S n)) n)]].
  43
  44 definition div : nat \to nat \to nat \def
  45 \lambda n,m.
  46 match m with
  47 [O \Rightarrow S n
  48 | (S p) \Rightarrow div_aux n n p].
  49
  50 interpretation "natural divide" 'divide x y =
  51   (cic:/matita/nat/div_and_mod/div.con x y).
  52
  53 theorem le_mod_aux_m_m:
  54 \forall p,n,m. n \leq p \to (mod_aux p n m) \leq m.
  55 intro.elim p.
  56 apply (le_n_O_elim n H (\lambda n.(mod_aux O n m) \leq m)).
  57 simplify.apply le_O_n.
  58 simplify.
  59 apply (leb_elim n1 m).
  60 simplify.intro.assumption.
  61 simplify.intro.apply H.
  62 cut (n1 \leq (S n) \to n1-(S m) \leq n).
  63 apply Hcut.assumption.
  64 elim n1.
  65 simplify.apply le_O_n.
  66 simplify.apply (trans_le ? n2 n).
  67 apply le_minus_m.apply le_S_S_to_le.assumption.
  68 qed.
  69
  70 theorem lt_mod_m_m: \forall n,m. O < m \to (n \mod m) < m.
  71 intros 2.elim m.apply False_ind.
  72 apply (not_le_Sn_O O H).
  73 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_mod_aux_m_m.
  74 apply le_n.
  75 qed.
  76
  77 theorem div_aux_mod_aux: \forall p,n,m:nat.
  78 (n=(div_aux p n m)*(S m) + (mod_aux p n m)).
  79 intro.elim p.
  80 simplify.elim (leb n m).
  81 simplify.apply refl_eq.
  82 simplify.apply refl_eq.
  83 simplify.
  84 apply (leb_elim n1 m).
  85 simplify.intro.apply refl_eq.
  86 simplify.intro.
  87 rewrite > assoc_plus.
  88 elim (H (n1-(S m)) m).
  89 change with (n1=(S m)+(n1-(S m))).
  90 rewrite < sym_plus.
  91 apply plus_minus_m_m.
  92 change with (m < n1).
  93 apply not_le_to_lt.exact H1.
  94 qed.
  95
  96 theorem div_mod: \forall n,m:nat. O < m \to n=(n / m)*m+(n \mod m).
  97 intros 2.elim m.elim (not_le_Sn_O O H).
  98 simplify.
  99 apply div_aux_mod_aux.
 100 qed.
 101
 102 inductive div_mod_spec (n,m,q,r:nat) : Prop \def
 103 div_mod_spec_intro: r < m \to n=q*m+r \to (div_mod_spec n m q r).
 104
 105 (*
 106 definition div_mod_spec : nat \to nat \to nat \to nat \to Prop \def
 107 \lambda n,m,q,r:nat.r < m \land n=q*m+r).
 108 *)
 109
 110 theorem div_mod_spec_to_not_eq_O: \forall n,m,q,r.(div_mod_spec n m q r) \to m \neq O.
 111 intros 4.unfold Not.intros.elim H.absurd (le (S r) O).
 112 rewrite < H1.assumption.
 113 exact (not_le_Sn_O r).
 114 qed.
 115
 116 theorem div_mod_spec_div_mod:
 117 \forall n,m. O < m \to (div_mod_spec n m (n / m) (n \mod m)).
 118 intros.
 119 apply div_mod_spec_intro.
 120 apply lt_mod_m_m.assumption.
 121 apply div_mod.assumption.
 122 qed.
 123
 124 theorem div_mod_spec_to_eq :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 125 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 126 (eq nat q q1).
 127 intros.elim H.elim H1.
 128 apply (nat_compare_elim q q1).intro.
 129 apply False_ind.
 130 cut (eq nat ((q1-q)*b+r1) r).
 131 cut (b \leq (q1-q)*b+r1).
 132 cut (b \leq r).
 133 apply (lt_to_not_le r b H2 Hcut2).
 134 elim Hcut.assumption.
 135 apply (trans_le ? ((q1-q)*b)).
 136 apply le_times_n.
 137 apply le_SO_minus.exact H6.
 138 rewrite < sym_plus.
 139 apply le_plus_n.
 140 rewrite < sym_times.
 141 rewrite > distr_times_minus.
 142 rewrite > plus_minus.
 143 rewrite > sym_times.
 144 rewrite < H5.
 145 rewrite < sym_times.
 146 apply plus_to_minus.
 147 apply H3.
 148 apply le_times_r.
 149 apply lt_to_le.
 150 apply H6.
 151 (* eq case *)
 152 intros.assumption.
 153 (* the following case is symmetric *)
 154 intro.
 155 apply False_ind.
 156 cut (eq nat ((q-q1)*b+r) r1).
 157 cut (b \leq (q-q1)*b+r).
 158 cut (b \leq r1).
 159 apply (lt_to_not_le r1 b H4 Hcut2).
 160 elim Hcut.assumption.
 161 apply (trans_le ? ((q-q1)*b)).
 162 apply le_times_n.
 163 apply le_SO_minus.exact H6.
 164 rewrite < sym_plus.
 165 apply le_plus_n.
 166 rewrite < sym_times.
 167 rewrite > distr_times_minus.
 168 rewrite > plus_minus.
 169 rewrite > sym_times.
 170 rewrite < H3.
 171 rewrite < sym_times.
 172 apply plus_to_minus.
 173 apply H5.
 174 apply le_times_r.
 175 apply lt_to_le.
 176 apply H6.
 177 qed.
 178
 179 theorem div_mod_spec_to_eq2 :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 180 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 181 (eq nat r r1).
 182 intros.elim H.elim H1.
 183 apply (inj_plus_r (q*b)).
 184 rewrite < H3.
 185 rewrite > (div_mod_spec_to_eq a b q r q1 r1 H H1).
 186 assumption.
 187 qed.
 188
 189 theorem div_mod_spec_times : \forall n,m:nat.div_mod_spec ((S n)*m) (S n) m O.
 190 intros.constructor 1.
 191 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 192 rewrite < plus_n_O.rewrite < sym_times.reflexivity.
 193 qed.
 194
 195 (* some properties of div and mod *)
 196 theorem div_times: \forall n,m:nat. ((S n)*m) / (S n) = m.
 197 intros.
 198 apply (div_mod_spec_to_eq ((S n)*m) (S n) ? ? ? O).
 199 goal 15. (* ?11 is closed with the following tactics *)
 200 apply div_mod_spec_div_mod.
 201 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 202 apply div_mod_spec_times.
 203 qed.
 204
 205 theorem div_n_n: \forall n:nat. O < n \to n / n = S O.
 206 intros.
 207 apply (div_mod_spec_to_eq n n (n / n) (n \mod n) (S O) O).
 208 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 209 constructor 1.assumption.
 210 rewrite < plus_n_O.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
 211 qed.
 212
 213 theorem eq_div_O: \forall n,m. n < m \to n / m = O.
 214 intros.
 215 apply (div_mod_spec_to_eq n m (n/m) (n \mod m) O n).
 216 apply div_mod_spec_div_mod.
 217 apply (le_to_lt_to_lt O n m).
 218 apply le_O_n.assumption.
 219 constructor 1.assumption.reflexivity.
 220 qed.
 221
 222 theorem mod_n_n: \forall n:nat. O < n \to n \mod n = O.
 223 intros.
 224 apply (div_mod_spec_to_eq2 n n (n / n) (n \mod n) (S O) O).
 225 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 226 constructor 1.assumption.
 227 rewrite < plus_n_O.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
 228 qed.
 229
 230 theorem mod_S: \forall n,m:nat. O < m \to S (n \mod m) < m \to
 231 ((S n) \mod m) = S (n \mod m).
 232 intros.
 233 apply (div_mod_spec_to_eq2 (S n) m ((S n) / m) ((S n) \mod m) (n / m) (S (n \mod m))).
 234 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 235 constructor 1.assumption.rewrite < plus_n_Sm.
 236 apply eq_f.
 237 apply div_mod.
 238 assumption.
 239 qed.
 240
 241 theorem mod_O_n: \forall n:nat.O \mod n = O.
 242 intro.elim n.simplify.reflexivity.
 243 simplify.reflexivity.
 244 qed.
 245
 246 theorem lt_to_eq_mod:\forall n,m:nat. n < m \to n \mod m = n.
 247 intros.
 248 apply (div_mod_spec_to_eq2 n m (n/m) (n \mod m) O n).
 249 apply div_mod_spec_div_mod.
 250 apply (le_to_lt_to_lt O n m).apply le_O_n.assumption.
 251 constructor 1.
 252 assumption.reflexivity.
 253 qed.
 254
 255 (* injectivity *)
 256 theorem injective_times_r: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.(S n)*m).
 257 change with (\forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q).
 258 intros.
 259 rewrite < (div_times n).
 260 rewrite < (div_times n q).
 261 apply eq_f2.assumption.
 262 reflexivity.
 263 qed.
 264
 265 variant inj_times_r : \forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q \def
 266 injective_times_r.
 267
 268 theorem lt_O_to_injective_times_r: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.n*m).
 269 simplify.
 270 intros 4.
 271 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
 272 apply (inj_times_r m).assumption.
 273 qed.
 274
 275 variant inj_times_r1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.n*p = n*q \to p=q
 276 \def lt_O_to_injective_times_r.
 277
 278 theorem injective_times_l: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.m*(S n)).
 279 simplify.
 280 intros.
 281 apply (inj_times_r n x y).
 282 rewrite < sym_times.
 283 rewrite < (sym_times y).
 284 assumption.
 285 qed.
 286
 287 variant inj_times_l : \forall n,p,q:nat. p*(S n) = q*(S n) \to p=q \def
 288 injective_times_l.
 289
 290 theorem lt_O_to_injective_times_l: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.m*n).
 291 simplify.
 292 intros 4.
 293 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
 294 apply (inj_times_l m).assumption.
 295 qed.
 296
 297 variant inj_times_l1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.p*n = q*n \to p=q
 298 \def lt_O_to_injective_times_l.
 299
 300 (* n_divides computes the pair (div,mod) *)
 301
 302 (* p is just an upper bound, acc is an accumulator *)
 303 let rec n_divides_aux p n m acc \def
 304   match n \mod m with
 305   [ O \Rightarrow
 306     match p with
 307       [ O \Rightarrow pair nat nat acc n
 308       | (S p) \Rightarrow n_divides_aux p (n / m) m (S acc)]
 309   | (S a) \Rightarrow pair nat nat acc n].
 310
 311 (* n_divides n m = <q,r> if m divides n q times, with remainder r *)
 312 definition n_divides \def \lambda n,m:nat.n_divides_aux n n m O.