matita/library/nat/exp.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/exp".
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18 include "nat/lt_arith.ma".
  19
  20 let rec exp n m on m\def
  21  match m with
  22  [ O \Rightarrow (S O)
  23  | (S p) \Rightarrow (times n (exp n p)) ].
  24
  25 interpretation "natural exponent" 'exp a b = (cic:/matita/nat/exp/exp.con a b).
  26
  27 theorem exp_plus_times : \forall n,p,q:nat.
  28 n \sup (p + q) = (n \sup p) * (n \sup q).
  29 intros.elim p.
  30 simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
  31 simplify.rewrite > H.symmetry.
  32 apply assoc_times.
  33 qed.
  34
  35 theorem exp_n_O : \forall n:nat. S O = n \sup O.
  36 intro.simplify.reflexivity.
  37 qed.
  38
  39 theorem exp_n_SO : \forall n:nat. n = n \sup (S O).
  40 intro.simplify.rewrite < times_n_SO.reflexivity.
  41 qed.
  42
  43 theorem exp_exp_times : \forall n,p,q:nat.
  44 (n \sup p) \sup q = n \sup (p * q).
  45 intros.
  46 elim q.simplify.rewrite < times_n_O.simplify.reflexivity.
  47 simplify.rewrite > H.rewrite < exp_plus_times.
  48 rewrite < times_n_Sm.reflexivity.
  49 qed.
  50
  51 theorem lt_O_exp: \forall n,m:nat. O < n \to O < n \sup m.
  52 intros.elim m.simplify.unfold lt.apply le_n.
  53 simplify.unfold lt.rewrite > times_n_SO.
  54 apply le_times.assumption.assumption.
  55 qed.
  56
  57 theorem lt_m_exp_nm: \forall n,m:nat. (S O) < n \to m < n \sup m.
  58 intros.elim m.simplify.unfold lt.apply le_n.
  59 simplify.unfold lt.
  60 apply (trans_le ? ((S(S O))*(S n1))).
  61 simplify.
  62 rewrite < plus_n_Sm.apply le_S_S.apply le_S_S.
  63 rewrite < sym_plus.
  64 apply le_plus_n.
  65 apply le_times.assumption.assumption.
  66 qed.
  67
  68 theorem exp_to_eq_O: \forall n,m:nat. (S O) < n
  69 \to n \sup m = (S O) \to m = O.
  70 intros.apply antisym_le.apply le_S_S_to_le.
  71 rewrite < H1.change with (m < n \sup m).
  72 apply lt_m_exp_nm.assumption.
  73 apply le_O_n.
  74 qed.
  75
  76 theorem injective_exp_r: \forall n:nat. (S O) < n \to
  77 injective nat nat (\lambda m:nat. n \sup m).
  78 simplify.intros 4.
  79 apply (nat_elim2 (\lambda x,y.n \sup x = n \sup y \to x = y)).
  80 intros.apply sym_eq.apply (exp_to_eq_O n).assumption.
  81 rewrite < H1.reflexivity.
  82 intros.apply (exp_to_eq_O n).assumption.assumption.
  83 intros.apply eq_f.
  84 apply H1.
  85 (* esprimere inj_times senza S *)
  86 cut (\forall a,b:nat.O < n \to n*a=n*b \to a=b).
  87 apply Hcut.simplify.unfold lt.apply le_S_S_to_le. apply le_S. assumption.
  88 assumption.
  89 intros 2.
  90 apply (nat_case n).
  91 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O O H3).
  92 intros.
  93 apply (inj_times_r m1).assumption.
  94 qed.
  95
  96 variant inj_exp_r: \forall p:nat. (S O) < p \to \forall n,m:nat.
  97 p \sup n = p \sup m \to n = m \def
  98 injective_exp_r.
  99
 100 theorem le_exp: \forall n,m,p:nat. O < p \to n \le m \to exp p n \le exp p m.
 101 apply nat_elim2
 102   [intros.
 103    apply lt_O_exp.assumption
 104   |intros.
 105    apply False_ind.
 106    apply (le_to_not_lt ? ? ? H1).
 107    apply le_O_n
 108   |intros.
 109    simplify.
 110    apply le_times
 111     [apply le_n
 112     |apply H[assumption|apply le_S_S_to_le.assumption]
 113     ]
 114   ]
 115 qed.
 116
 117 theorem lt_exp: \forall n,m,p:nat. S O < p \to n < m \to exp p n < exp p m.
 118 apply nat_elim2
 119   [intros.
 120    apply (lt_O_n_elim ? H1).intro.
 121    simplify.unfold lt.
 122    rewrite > times_n_SO.
 123    apply le_times
 124     [assumption
 125     |apply lt_O_exp.
 126      apply (trans_lt ? (S O))[apply le_n|assumption]
 127     ]
 128   |intros.
 129    apply False_ind.
 130    apply (le_to_not_lt ? ? ? H1).
 131    apply le_O_n
 132   |intros.simplify.
 133    apply lt_times_r1
 134     [apply (trans_lt ? (S O))[apply le_n|assumption]
 135     |apply H
 136       [apply H1
 137       |apply le_S_S_to_le.assumption
 138       ]
 139     ]
 140   ]
 141 qed.
 142
 143 theorem le_exp_to_le:
 144 \forall a,n,m. S O < a \to exp a n \le exp a m \to n \le m.
 145 intro.
 146 apply nat_elim2;intros
 147   [apply le_O_n
 148   |apply False_ind.
 149    apply (le_to_not_lt ? ? H1).
 150    simplify.
 151    rewrite > times_n_SO.
 152    apply lt_to_le_to_lt_times
 153     [assumption
 154     |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 155     |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 156     ]
 157   |simplify in H2.
 158    apply le_S_S.
 159    apply H
 160     [assumption
 161     |apply (le_times_to_le a)
 162       [apply lt_to_le.assumption|assumption]
 163     ]
 164   ]
 165 qed.
 166
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 171