matita/library/nat/factorial.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/factorial".
  16
  17 include "nat/le_arith.ma".
  18
  19 let rec fact n \def
  20   match n with
  21   [ O \Rightarrow (S O)
  22   | (S m) \Rightarrow (S m)*(fact m)].
  23
  24 interpretation "factorial" 'fact n = (cic:/matita/nat/factorial/fact.con n).
  25
  26 theorem le_SO_fact : \forall n. (S O) \le n!.
  27 intro.elim n.simplify.apply le_n.
  28 change with ((S O) \le (S n1)*n1!).
  29 apply (trans_le ? ((S n1)*(S O))).simplify.
  30 apply le_S_S.apply le_O_n.
  31 apply le_times_r.assumption.
  32 qed.
  33
  34 theorem le_SSO_fact : \forall n. (S O) < n \to (S(S O)) \le n!.
  35 intro.apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S O) H).
  36 intros.change with ((S (S O)) \le (S m)*m!).
  37 apply (trans_le ? ((S(S O))*(S O))).apply le_n.
  38 apply le_times.exact H.apply le_SO_fact.
  39 qed.
  40
  41 theorem le_n_fact_n: \forall n. n \le n!.
  42 intro. elim n.apply le_O_n.
  43 change with (S n1 \le (S n1)*n1!).
  44 apply (trans_le ? ((S n1)*(S O))).
  45 rewrite < times_n_SO.apply le_n.
  46 apply le_times.apply le_n.
  47 apply le_SO_fact.
  48 qed.
  49
  50 theorem lt_n_fact_n: \forall n. (S(S O)) < n \to n < n!.
  51 intro.apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S(S O)) H).
  52 intros.change with ((S m) < (S m)*m!).
  53 apply (lt_to_le_to_lt ? ((S m)*(S (S O)))).
  54 rewrite < sym_times.
  55 simplify.unfold lt.
  56 apply le_S_S.rewrite < plus_n_O.
  57 apply le_plus_n.
  58 apply le_times_r.apply le_SSO_fact.
  59 simplify.unfold lt.apply le_S_S_to_le.exact H.
  60 qed.
  61