matita/library/nat/factorization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/factorization".
  16
  17 include "nat/ord.ma".
  18 include "nat/gcd.ma".
  19 include "nat/nth_prime.ma".
  20
  21 (* the following factorization algorithm looks for the largest prime
  22    factor. *)
  23 definition max_prime_factor \def \lambda n:nat.
  24 (max n (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O)).
  25
  26 (* max_prime_factor is indeed a factor *)
  27 theorem divides_max_prime_factor_n:
  28   \forall n:nat. (S O) < n
  29   \to nth_prime (max_prime_factor n) \divides n.
  30 intros; apply divides_b_true_to_divides;
  31 [ apply lt_O_nth_prime_n;
  32 | apply (f_max_true  (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O) n);
  33   cut (\exists i. nth_prime i = smallest_factor n);
  34   [ elim Hcut.
  35     apply (ex_intro nat ? a);
  36     split;
  37     [ apply (trans_le a (nth_prime a));
  38       [ apply le_n_fn;
  39         exact lt_nth_prime_n_nth_prime_Sn;
  40       | rewrite > H1;
  41         apply le_smallest_factor_n; ]
  42     | rewrite > H1;
  43       change with (divides_b (smallest_factor n) n = true);
  44       apply divides_to_divides_b_true;
  45       [ apply (trans_lt ? (S O));
  46         [ unfold lt; apply le_n;
  47         | apply lt_SO_smallest_factor; assumption; ]
  48       | apply divides_smallest_factor_n;
  49         apply (trans_lt ? (S O));
  50         [ unfold lt; apply le_n;
  51         | assumption; ] ] ]
  52   | apply prime_to_nth_prime;
  53     apply prime_smallest_factor_n;
  54     assumption; ] ]
  55 qed.
  56
  57 theorem divides_to_max_prime_factor : \forall n,m. (S O) < n \to O < m \to n \divides m \to
  58 max_prime_factor n \le max_prime_factor m.
  59 intros.change with
  60 ((max n (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O)) \le
  61 (max m (\lambda p:nat.eqb (m \mod (nth_prime p)) O))).
  62 apply f_m_to_le_max.
  63 apply (trans_le ? n).
  64 apply le_max_n.apply divides_to_le.assumption.assumption.
  65 change with (divides_b (nth_prime (max_prime_factor n)) m = true).
  66 apply divides_to_divides_b_true.
  67 cut (prime (nth_prime (max_prime_factor n))).
  68 apply lt_O_nth_prime_n.apply prime_nth_prime.
  69 cut (nth_prime (max_prime_factor n) \divides n).
  70 apply (transitive_divides ? n).
  71 apply divides_max_prime_factor_n.
  72 assumption.assumption.
  73 apply divides_b_true_to_divides.
  74 apply lt_O_nth_prime_n.
  75 apply divides_to_divides_b_true.
  76 apply lt_O_nth_prime_n.
  77 apply divides_max_prime_factor_n.
  78 assumption.
  79 qed.
  80
  81 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor: \forall n,p,q,r. O < n \to
  82 p = max_prime_factor n \to
  83 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
  84 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
  85 intros.
  86 rewrite > H1.
  87 cut (max_prime_factor r \lt max_prime_factor n \lor
  88     max_prime_factor r = max_prime_factor n).
  89 elim Hcut.assumption.
  90 absurd (nth_prime (max_prime_factor n) \divides r).
  91 rewrite < H4.
  92 apply divides_max_prime_factor_n.
  93 assumption.
  94 change with (nth_prime (max_prime_factor n) \divides r \to False).
  95 intro.
  96 cut (r \mod (nth_prime (max_prime_factor n)) \neq O).
  97 apply Hcut1.apply divides_to_mod_O.
  98 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
  99 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O n n ? q r).
 100 apply lt_SO_nth_prime_n.assumption.
 101 apply le_n.
 102 rewrite < H1.assumption.
 103 apply (le_to_or_lt_eq (max_prime_factor r)  (max_prime_factor n)).
 104 apply divides_to_max_prime_factor.
 105 assumption.assumption.
 106 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 107 rewrite < sym_times.
 108 apply (p_ord_aux_to_exp n n ? q r).
 109 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 110 qed.
 111
 112 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor1: \forall n,p,q,r. O < n \to
 113 max_prime_factor n \le p \to
 114 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
 115 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 116 intros.
 117 cut (max_prime_factor n < p \lor max_prime_factor n = p).
 118 elim Hcut.apply (le_to_lt_to_lt ? (max_prime_factor n)).
 119 apply divides_to_max_prime_factor.assumption.assumption.
 120 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 121 rewrite > sym_times.
 122 apply (p_ord_aux_to_exp n n).
 123 apply lt_O_nth_prime_n.
 124 assumption.assumption.
 125 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor n ? q).
 126 assumption.apply sym_eq.assumption.assumption.assumption.
 127 apply (le_to_or_lt_eq ? p H1).
 128 qed.
 129
 130 (* datatypes and functions *)
 131
 132 inductive nat_fact : Set \def
 133     nf_last : nat \to nat_fact
 134   | nf_cons : nat \to nat_fact \to nat_fact.
 135
 136 inductive nat_fact_all : Set \def
 137     nfa_zero : nat_fact_all
 138   | nfa_one : nat_fact_all
 139   | nfa_proper : nat_fact \to nat_fact_all.
 140
 141 let rec factorize_aux p n acc \def
 142   match p with
 143   [ O \Rightarrow acc
 144   | (S p1) \Rightarrow
 145     match p_ord n (nth_prime p1) with
 146     [ (pair q r) \Rightarrow
 147       factorize_aux p1 r (nf_cons q acc)]].
 148
 149 definition factorize : nat \to nat_fact_all \def \lambda n:nat.
 150   match n with
 151     [ O \Rightarrow nfa_zero
 152     | (S n1) \Rightarrow
 153       match n1 with
 154       [ O \Rightarrow nfa_one
 155     | (S n2) \Rightarrow
 156       let p \def (max (S(S n2)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S n2)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 157       match p_ord (S(S n2)) (nth_prime p) with
 158       [ (pair q r) \Rightarrow
 159            nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))]]].
 160
 161 let rec defactorize_aux f i \def
 162   match f with
 163   [ (nf_last n) \Rightarrow (nth_prime i) \sup (S n)
 164   | (nf_cons n g) \Rightarrow
 165       (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux g (S i))].
 166
 167 definition defactorize : nat_fact_all \to nat \def
 168 \lambda f : nat_fact_all.
 169 match f with
 170 [ nfa_zero \Rightarrow O
 171 | nfa_one \Rightarrow (S O)
 172 | (nfa_proper g) \Rightarrow defactorize_aux g O].
 173
 174 theorem lt_O_defactorize_aux: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 175 O < defactorize_aux f i.
 176 intro.elim f.simplify.unfold lt.
 177 rewrite > times_n_SO.
 178 apply le_times.
 179 change with (O < nth_prime i).
 180 apply lt_O_nth_prime_n.
 181 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 182 apply lt_O_exp.
 183 apply lt_O_nth_prime_n.
 184 simplify.unfold lt.
 185 rewrite > times_n_SO.
 186 apply le_times.
 187 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 188 apply lt_O_exp.
 189 apply lt_O_nth_prime_n.
 190 change with (O < defactorize_aux n1 (S i)).
 191 apply H.
 192 qed.
 193
 194 theorem lt_SO_defactorize_aux: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 195 S O < defactorize_aux f i.
 196 intro.elim f.simplify.unfold lt.
 197 rewrite > times_n_SO.
 198 apply le_times.
 199 change with (S O < nth_prime i).
 200 apply lt_SO_nth_prime_n.
 201 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 202 apply lt_O_exp.
 203 apply lt_O_nth_prime_n.
 204 simplify.unfold lt.
 205 rewrite > times_n_SO.
 206 rewrite > sym_times.
 207 apply le_times.
 208 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 209 apply lt_O_exp.
 210 apply lt_O_nth_prime_n.
 211 change with (S O < defactorize_aux n1 (S i)).
 212 apply H.
 213 qed.
 214
 215 theorem defactorize_aux_factorize_aux :
 216 \forall p,n:nat.\forall acc:nat_fact.O < n \to
 217 ((n=(S O) \land p=O) \lor max_prime_factor n < p) \to
 218 defactorize_aux (factorize_aux p n acc) O = n*(defactorize_aux acc p).
 219 intro.elim p.simplify.
 220 elim H1.elim H2.rewrite > H3.
 221 rewrite > sym_times. apply times_n_SO.
 222 apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (max_prime_factor n) H2).
 223 simplify.
 224 (* generalizing the goal: I guess there exists a better way *)
 225 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) \to
 226 defactorize_aux match (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) with
 227 [(pair q r)  \Rightarrow (factorize_aux n r (nf_cons q acc))] O =
 228 n1*defactorize_aux acc (S n)).
 229 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))
 230 (snd ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))).
 231 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 232 intros.
 233 rewrite < H3.
 234 simplify.
 235 cut (n1 = r * (nth_prime n) \sup q).
 236 rewrite > H.
 237 simplify.rewrite < assoc_times.
 238 rewrite < Hcut.reflexivity.
 239 cut (O < r \lor O = r).
 240 elim Hcut1.assumption.absurd (n1 = O).
 241 rewrite > Hcut.rewrite < H4.reflexivity.
 242 unfold Not. intro.apply (not_le_Sn_O O).
 243 rewrite < H5 in \vdash (? ? %).assumption.
 244 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 245 cut ((S O) < r \lor (S O) \nlt r).
 246 elim Hcut1.
 247 right.
 248 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 n1 ? q r).
 249 assumption.elim H2.
 250 elim H5.
 251 apply False_ind.
 252 apply (not_eq_O_S n).apply sym_eq.assumption.
 253 apply le_S_S_to_le.
 254 exact H5.
 255 assumption.assumption.
 256 cut (r=(S O)).
 257 apply (nat_case n).
 258 left.split.assumption.reflexivity.
 259 intro.right.rewrite > Hcut2.
 260 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 261 cut (r \lt (S O) \or r=(S O)).
 262 elim Hcut2.absurd (O=r).
 263 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H5.
 264 unfold Not.intro.
 265 cut (O=n1).
 266 apply (not_le_Sn_O O).
 267 rewrite > Hcut3 in \vdash (? ? %).
 268 assumption.rewrite > Hcut.
 269 rewrite < H6.reflexivity.
 270 assumption.
 271 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 272 apply not_lt_to_le.assumption.
 273 apply (decidable_lt (S O) r).
 274 rewrite > sym_times.
 275 apply (p_ord_aux_to_exp n1 n1).
 276 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 277 qed.
 278
 279 theorem defactorize_factorize: \forall n:nat.defactorize (factorize n) = n.
 280 intro.
 281 apply (nat_case n).reflexivity.
 282 intro.apply (nat_case m).reflexivity.
 283 intro.change with
 284 (let p \def (max (S(S m1)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S m1)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 285 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 286 [ (pair q r) \Rightarrow
 287    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 288 intro.
 289 (* generalizing the goal; find a better way *)
 290 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)) \to
 291 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 292 [ (pair q r) \Rightarrow
 293    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 294 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))
 295 (snd ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))).
 296 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 297 intros.
 298 rewrite < H.
 299 change with
 300 (defactorize_aux (factorize_aux p r (nf_last (pred q))) O = (S(S m1))).
 301 cut ((S(S m1)) = (nth_prime p) \sup q *r).
 302 cut (O<r).
 303 rewrite > defactorize_aux_factorize_aux.
 304 change with (r*(nth_prime p) \sup (S (pred q)) = (S(S m1))).
 305 cut ((S (pred q)) = q).
 306 rewrite > Hcut2.
 307 rewrite > sym_times.
 308 apply sym_eq.
 309 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 310 apply lt_O_nth_prime_n.
 311 assumption.
 312 (* O < q *)
 313 apply sym_eq. apply S_pred.
 314 cut (O < q \lor O = q).
 315 elim Hcut2.assumption.
 316 absurd (nth_prime p \divides S (S m1)).
 317 apply (divides_max_prime_factor_n (S (S m1))).
 318 unfold lt.apply le_S_S.apply le_S_S. apply le_O_n.
 319 cut ((S(S m1)) = r).
 320 rewrite > Hcut3 in \vdash (? (? ? %)).
 321 change with (nth_prime p \divides r \to False).
 322 intro.
 323 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O (S(S m1)) (S(S m1)) (nth_prime p) q r).
 324 apply lt_SO_nth_prime_n.
 325 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.apply le_n.
 326 assumption.
 327 apply divides_to_mod_O.apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 328 rewrite > times_n_SO in \vdash (? ? ? %).
 329 rewrite < sym_times.
 330 rewrite > (exp_n_O (nth_prime p)).
 331 rewrite > H1 in \vdash (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 332 assumption.
 333 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.assumption.
 334 (* e adesso l'ultimo goal. TASSI: che ora non e' piu' l'ultimo :P *)
 335 cut ((S O) < r \lor S O \nlt r).
 336 elim Hcut2.
 337 right.
 338 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 (S(S m1)) ? q r).
 339 unfold lt.apply le_S_S. apply le_O_n.
 340 apply le_n.
 341 assumption.assumption.
 342 cut (r=(S O)).
 343 apply (nat_case p).
 344 left.split.assumption.reflexivity.
 345 intro.right.rewrite > Hcut3.
 346 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 347 cut (r \lt (S O) \or r=(S O)).
 348 elim Hcut3.absurd (O=r).
 349 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H2.
 350 unfold Not.intro.
 351 apply (not_le_Sn_O O).
 352 rewrite > H3 in \vdash (? ? %).assumption.assumption.
 353 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 354 apply not_lt_to_le.assumption.
 355 apply (decidable_lt (S O) r).
 356 (* O < r *)
 357 cut (O < r \lor O = r).
 358 elim Hcut1.assumption.
 359 apply False_ind.
 360 apply (not_eq_O_S (S m1)).
 361 rewrite > Hcut.rewrite < H1.rewrite < times_n_O.reflexivity.
 362 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 363 (* prova del cut *)
 364 goal 20.
 365 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 366 apply lt_O_nth_prime_n.
 367 assumption.
 368 (* fine prova cut *)
 369 qed.
 370
 371 let rec max_p f \def
 372 match f with
 373 [ (nf_last n) \Rightarrow O
 374 | (nf_cons n g) \Rightarrow S (max_p g)].
 375
 376 let rec max_p_exponent f \def
 377 match f with
 378 [ (nf_last n) \Rightarrow n
 379 | (nf_cons n g) \Rightarrow max_p_exponent g].
 380
 381 theorem divides_max_p_defactorize: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 382 nth_prime ((max_p f)+i) \divides defactorize_aux f i.
 383 intro.
 384 elim f.simplify.apply (witness ? ? ((nth_prime i) \sup n)).
 385 reflexivity.
 386 change with
 387 (nth_prime (S(max_p n1)+i) \divides
 388 (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux n1 (S i))).
 389 elim (H (S i)).
 390 rewrite > H1.
 391 rewrite < sym_times.
 392 rewrite > assoc_times.
 393 rewrite < plus_n_Sm.
 394 apply (witness ? ? (n2* (nth_prime i) \sup n)).
 395 reflexivity.
 396 qed.
 397
 398 theorem divides_exp_to_divides:
 399 \forall p,n,m:nat. prime p \to
 400 p \divides n \sup m \to p \divides n.
 401 intros 3.elim m.simplify in H1.
 402 apply (transitive_divides p (S O)).assumption.
 403 apply divides_SO_n.
 404 cut (p \divides n \lor p \divides n \sup n1).
 405 elim Hcut.assumption.
 406 apply H.assumption.assumption.
 407 apply divides_times_to_divides.assumption.
 408 exact H2.
 409 qed.
 410
 411 theorem divides_exp_to_eq:
 412 \forall p,q,m:nat. prime p \to prime q \to
 413 p \divides q \sup m \to p = q.
 414 intros.
 415 unfold prime in H1.
 416 elim H1.apply H4.
 417 apply (divides_exp_to_divides p q m).
 418 assumption.assumption.
 419 unfold prime in H.elim H.assumption.
 420 qed.
 421
 422 theorem  not_divides_defactorize_aux: \forall f:nat_fact. \forall i,j:nat.
 423 i < j \to nth_prime i \ndivides defactorize_aux f j.
 424 intro.elim f.
 425 change with
 426 (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup (S n) \to False).
 427 intro.absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 428 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 429 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 430 assumption.
 431 change with ((nth_prime i) = (nth_prime j) \to False).
 432 intro.cut (i = j).
 433 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut in \vdash (? ? %).assumption.
 434 apply (injective_nth_prime ? ? H2).
 435 change with
 436 (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n *(defactorize_aux n1 (S j)) \to False).
 437 intro.
 438 cut (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n
 439 \lor nth_prime i \divides defactorize_aux n1 (S j)).
 440 elim Hcut.
 441 absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 442 apply (divides_exp_to_eq ? ? n).
 443 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 444 assumption.
 445 change with ((nth_prime i) = (nth_prime j) \to False).
 446 intro.
 447 cut (i = j).
 448 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut1 in \vdash (? ? %).assumption.
 449 apply (injective_nth_prime ? ? H4).
 450 apply (H i (S j)).
 451 apply (trans_lt ? j).assumption.unfold lt.apply le_n.
 452 assumption.
 453 apply divides_times_to_divides.
 454 apply prime_nth_prime.assumption.
 455 qed.
 456
 457 lemma not_eq_nf_last_nf_cons: \forall g:nat_fact.\forall n,m,i:nat.
 458 \lnot (defactorize_aux (nf_last n) i= defactorize_aux (nf_cons m g) i).
 459 intros.
 460 change with
 461 (exp (nth_prime i) (S n) = defactorize_aux (nf_cons m g) i \to False).
 462 intro.
 463 cut (S(max_p g)+i= i).
 464 apply (not_le_Sn_n i).
 465 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 466 simplify.apply le_S_S.
 467 apply le_plus_n.
 468 apply injective_nth_prime.
 469 (* uffa, perche' semplifica ? *)
 470 change with (nth_prime (S(max_p g)+i)= nth_prime i).
 471 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 472 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 473 rewrite > H.
 474 change with (divides (nth_prime ((max_p (nf_cons m g))+i))
 475 (defactorize_aux (nf_cons m g) i)).
 476 apply divides_max_p_defactorize.
 477 qed.
 478
 479 lemma not_eq_nf_cons_O_nf_cons: \forall f,g:nat_fact.\forall n,i:nat.
 480 \lnot (defactorize_aux (nf_cons O f) i= defactorize_aux (nf_cons (S n) g) i).
 481 intros.
 482 simplify.unfold Not.rewrite < plus_n_O.
 483 intro.
 484 apply (not_divides_defactorize_aux f i (S i) ?).
 485 unfold lt.apply le_n.
 486 rewrite > H.
 487 rewrite > assoc_times.
 488 apply (witness ? ? ((exp (nth_prime i) n)*(defactorize_aux g (S i)))).
 489 reflexivity.
 490 qed.
 491
 492 theorem eq_defactorize_aux_to_eq: \forall f,g:nat_fact.\forall i:nat.
 493 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 494 intro.
 495 elim f.
 496 generalize in match H.
 497 elim g.
 498 apply eq_f.
 499 apply inj_S. apply (inj_exp_r (nth_prime i)).
 500 apply lt_SO_nth_prime_n.
 501 assumption.
 502 apply False_ind.
 503 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n2 n n1 i H2).
 504 generalize in match H1.
 505 elim g.
 506 apply False_ind.
 507 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n1 n2 n i).
 508 apply sym_eq. assumption.
 509 simplify in H3.
 510 generalize in match H3.
 511 apply (nat_elim2 (\lambda n,n2.
 512 ((nth_prime i) \sup n)*(defactorize_aux n1 (S i)) =
 513 ((nth_prime i) \sup n2)*(defactorize_aux n3 (S i)) \to
 514 nf_cons n n1 = nf_cons n2 n3)).
 515 intro.
 516 elim n4. apply eq_f.
 517 apply (H n3 (S i)).
 518 simplify in H4.
 519 rewrite > plus_n_O.
 520 rewrite > (plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i))).assumption.
 521 apply False_ind.
 522 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n1 n3 n5 i).assumption.
 523 intros.
 524 apply False_ind.
 525 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n3 n1 n4 i).
 526 apply sym_eq.assumption.
 527 intros.
 528 cut (nf_cons n4 n1 = nf_cons m n3).
 529 cut (n4=m).
 530 cut (n1=n3).
 531 rewrite > Hcut1.rewrite > Hcut2.reflexivity.
 532 change with
 533 (match nf_cons n4 n1 with
 534 [ (nf_last m) \Rightarrow n1
 535 | (nf_cons m g) \Rightarrow g ] = n3).
 536 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 537 change with
 538 (match nf_cons n4 n1 with
 539 [ (nf_last m) \Rightarrow m
 540 | (nf_cons m g) \Rightarrow m ] = m).
 541 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 542 apply H4.simplify in H5.
 543 apply (inj_times_r1 (nth_prime i)).
 544 apply lt_O_nth_prime_n.
 545 rewrite < assoc_times.rewrite < assoc_times.assumption.
 546 qed.
 547
 548 theorem injective_defactorize_aux: \forall i:nat.
 549 injective nat_fact nat (\lambda f.defactorize_aux f i).
 550 change with (\forall i:nat.\forall f,g:nat_fact.
 551 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g).
 552 intros.
 553 apply (eq_defactorize_aux_to_eq f g i H).
 554 qed.
 555
 556 theorem injective_defactorize:
 557 injective nat_fact_all nat defactorize.
 558 change with (\forall f,g:nat_fact_all.
 559 defactorize f = defactorize g \to f = g).
 560 intro.elim f.
 561 generalize in match H.elim g.
 562 (* zero - zero *)
 563 reflexivity.
 564 (* zero - one *)
 565 simplify in H1.
 566 apply False_ind.
 567 apply (not_eq_O_S O H1).
 568 (* zero - proper *)
 569 simplify in H1.
 570 apply False_ind.
 571 apply (not_le_Sn_n O).
 572 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 573 change with (O < defactorize_aux n O).
 574 apply lt_O_defactorize_aux.
 575 generalize in match H.
 576 elim g.
 577 (* one - zero *)
 578 simplify in H1.
 579 apply False_ind.
 580 apply (not_eq_O_S O).apply sym_eq. assumption.
 581 (* one - one *)
 582 reflexivity.
 583 (* one - proper *)
 584 simplify in H1.
 585 apply False_ind.
 586 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 587 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 588 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 589 apply lt_SO_defactorize_aux.
 590 generalize in match H.elim g.
 591 (* proper - zero *)
 592 simplify in H1.
 593 apply False_ind.
 594 apply (not_le_Sn_n O).
 595 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 596 change with (O < defactorize_aux n O).
 597 apply lt_O_defactorize_aux.
 598 (* proper - one *)
 599 simplify in H1.
 600 apply False_ind.
 601 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 602 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 603 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 604 apply lt_SO_defactorize_aux.
 605 (* proper - proper *)
 606 apply eq_f.
 607 apply (injective_defactorize_aux O).
 608 exact H1.
 609 qed.
 610
 611 theorem factorize_defactorize:
 612 \forall f,g: nat_fact_all. factorize (defactorize f) = f.
 613 intros.
 614 apply injective_defactorize.
 615 (* uffa: perche' semplifica ??? *)
 616 change with (defactorize(factorize (defactorize f)) = (defactorize f)).
 617 apply defactorize_factorize.
 618 qed.
 619