matita/library/nat/factorization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/factorization".
  16
  17 include "nat/ord.ma".
  18 include "nat/gcd.ma".
  19 include "nat/nth_prime.ma".
  20
  21 (* the following factorization algorithm looks for the largest prime
  22    factor. *)
  23 definition max_prime_factor \def \lambda n:nat.
  24 (max n (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O)).
  25
  26 (* max_prime_factor is indeed a factor *)
  27 theorem divides_max_prime_factor_n:
  28   \forall n:nat. (S O) < n
  29   \to nth_prime (max_prime_factor n) \divides n.
  30 intros; apply divides_b_true_to_divides;
  31 [ apply lt_O_nth_prime_n;
  32 | apply (f_max_true  (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O) n);
  33   cut (\exists i. nth_prime i = smallest_factor n);
  34   [ elim Hcut.
  35     apply (ex_intro nat ? a);
  36     split;
  37     [ apply (trans_le a (nth_prime a));
  38       [ apply le_n_fn;
  39         exact lt_nth_prime_n_nth_prime_Sn;
  40       | rewrite > H1;
  41         apply le_smallest_factor_n; ]
  42     | rewrite > H1;
  43       (*CSC: simplify here does something nasty! *)
  44       change with (divides_b (smallest_factor n) n = true);
  45       apply divides_to_divides_b_true;
  46       [ apply (trans_lt ? (S O));
  47         [ unfold lt; apply le_n;
  48         | apply lt_SO_smallest_factor; assumption; ]
  49       | apply divides_smallest_factor_n;
  50         apply (trans_lt ? (S O));
  51         [ unfold lt; apply le_n;
  52         | assumption; ] ] ]
  53   | apply prime_to_nth_prime;
  54     apply prime_smallest_factor_n;
  55     assumption; ] ]
  56 qed.
  57
  58 theorem divides_to_max_prime_factor : \forall n,m. (S O) < n \to O < m \to n \divides m \to
  59 max_prime_factor n \le max_prime_factor m.
  60 intros.unfold max_prime_factor.
  61 apply f_m_to_le_max.
  62 apply (trans_le ? n).
  63 apply le_max_n.apply divides_to_le.assumption.assumption.
  64 change with (divides_b (nth_prime (max_prime_factor n)) m = true).
  65 apply divides_to_divides_b_true.
  66 cut (prime (nth_prime (max_prime_factor n))).
  67 apply lt_O_nth_prime_n.apply prime_nth_prime.
  68 cut (nth_prime (max_prime_factor n) \divides n).
  69 apply (transitive_divides ? n).
  70 apply divides_max_prime_factor_n.
  71 assumption.assumption.
  72 apply divides_b_true_to_divides.
  73 apply lt_O_nth_prime_n.
  74 apply divides_to_divides_b_true.
  75 apply lt_O_nth_prime_n.
  76 apply divides_max_prime_factor_n.
  77 assumption.
  78 qed.
  79
  80 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor: \forall n,p,q,r. O < n \to
  81 p = max_prime_factor n \to
  82 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
  83 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
  84 intros.
  85 rewrite > H1.
  86 cut (max_prime_factor r \lt max_prime_factor n \lor
  87     max_prime_factor r = max_prime_factor n).
  88 elim Hcut.assumption.
  89 absurd (nth_prime (max_prime_factor n) \divides r).
  90 rewrite < H4.
  91 apply divides_max_prime_factor_n.
  92 assumption.unfold Not.
  93 intro.
  94 cut (r \mod (nth_prime (max_prime_factor n)) \neq O).
  95 apply Hcut1.apply divides_to_mod_O.
  96 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
  97 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O n n ? q r).
  98 apply lt_SO_nth_prime_n.assumption.
  99 apply le_n.
 100 rewrite < H1.assumption.
 101 apply (le_to_or_lt_eq (max_prime_factor r)  (max_prime_factor n)).
 102 apply divides_to_max_prime_factor.
 103 assumption.assumption.
 104 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 105 rewrite < sym_times.
 106 apply (p_ord_aux_to_exp n n ? q r).
 107 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 108 qed.
 109
 110 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor1: \forall n,p,q,r. O < n \to
 111 max_prime_factor n \le p \to
 112 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
 113 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 114 intros.
 115 cut (max_prime_factor n < p \lor max_prime_factor n = p).
 116 elim Hcut.apply (le_to_lt_to_lt ? (max_prime_factor n)).
 117 apply divides_to_max_prime_factor.assumption.assumption.
 118 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 119 rewrite > sym_times.
 120 apply (p_ord_aux_to_exp n n).
 121 apply lt_O_nth_prime_n.
 122 assumption.assumption.
 123 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor n ? q).
 124 assumption.apply sym_eq.assumption.assumption.assumption.
 125 apply (le_to_or_lt_eq ? p H1).
 126 qed.
 127
 128 (* datatypes and functions *)
 129
 130 inductive nat_fact : Set \def
 131     nf_last : nat \to nat_fact
 132   | nf_cons : nat \to nat_fact \to nat_fact.
 133
 134 inductive nat_fact_all : Set \def
 135     nfa_zero : nat_fact_all
 136   | nfa_one : nat_fact_all
 137   | nfa_proper : nat_fact \to nat_fact_all.
 138
 139 let rec factorize_aux p n acc \def
 140   match p with
 141   [ O \Rightarrow acc
 142   | (S p1) \Rightarrow
 143     match p_ord n (nth_prime p1) with
 144     [ (pair q r) \Rightarrow
 145       factorize_aux p1 r (nf_cons q acc)]].
 146
 147 definition factorize : nat \to nat_fact_all \def \lambda n:nat.
 148   match n with
 149     [ O \Rightarrow nfa_zero
 150     | (S n1) \Rightarrow
 151       match n1 with
 152       [ O \Rightarrow nfa_one
 153     | (S n2) \Rightarrow
 154       let p \def (max (S(S n2)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S n2)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 155       match p_ord (S(S n2)) (nth_prime p) with
 156       [ (pair q r) \Rightarrow
 157            nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))]]].
 158
 159 let rec defactorize_aux f i \def
 160   match f with
 161   [ (nf_last n) \Rightarrow (nth_prime i) \sup (S n)
 162   | (nf_cons n g) \Rightarrow
 163       (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux g (S i))].
 164
 165 definition defactorize : nat_fact_all \to nat \def
 166 \lambda f : nat_fact_all.
 167 match f with
 168 [ nfa_zero \Rightarrow O
 169 | nfa_one \Rightarrow (S O)
 170 | (nfa_proper g) \Rightarrow defactorize_aux g O].
 171
 172 theorem lt_O_defactorize_aux: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 173 O < defactorize_aux f i.
 174 intro.elim f.simplify.unfold lt.
 175 rewrite > times_n_SO.
 176 apply le_times.
 177 change with (O < nth_prime i).
 178 apply lt_O_nth_prime_n.
 179 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 180 apply lt_O_exp.
 181 apply lt_O_nth_prime_n.
 182 simplify.unfold lt.
 183 rewrite > times_n_SO.
 184 apply le_times.
 185 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 186 apply lt_O_exp.
 187 apply lt_O_nth_prime_n.
 188 change with (O < defactorize_aux n1 (S i)).
 189 apply H.
 190 qed.
 191
 192 theorem lt_SO_defactorize_aux: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 193 S O < defactorize_aux f i.
 194 intro.elim f.simplify.unfold lt.
 195 rewrite > times_n_SO.
 196 apply le_times.
 197 change with (S O < nth_prime i).
 198 apply lt_SO_nth_prime_n.
 199 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 200 apply lt_O_exp.
 201 apply lt_O_nth_prime_n.
 202 simplify.unfold lt.
 203 rewrite > times_n_SO.
 204 rewrite > sym_times.
 205 apply le_times.
 206 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 207 apply lt_O_exp.
 208 apply lt_O_nth_prime_n.
 209 change with (S O < defactorize_aux n1 (S i)).
 210 apply H.
 211 qed.
 212
 213 theorem defactorize_aux_factorize_aux :
 214 \forall p,n:nat.\forall acc:nat_fact.O < n \to
 215 ((n=(S O) \land p=O) \lor max_prime_factor n < p) \to
 216 defactorize_aux (factorize_aux p n acc) O = n*(defactorize_aux acc p).
 217 intro.elim p.simplify.
 218 elim H1.elim H2.rewrite > H3.
 219 rewrite > sym_times. apply times_n_SO.
 220 apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (max_prime_factor n) H2).
 221 simplify.
 222 (* generalizing the goal: I guess there exists a better way *)
 223 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) \to
 224 defactorize_aux match (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) with
 225 [(pair q r)  \Rightarrow (factorize_aux n r (nf_cons q acc))] O =
 226 n1*defactorize_aux acc (S n)).
 227 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))
 228 (snd ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))).
 229 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 230 intros.
 231 rewrite < H3.
 232 simplify.
 233 cut (n1 = r * (nth_prime n) \sup q).
 234 rewrite > H.
 235 simplify.rewrite < assoc_times.
 236 rewrite < Hcut.reflexivity.
 237 cut (O < r \lor O = r).
 238 elim Hcut1.assumption.absurd (n1 = O).
 239 rewrite > Hcut.rewrite < H4.reflexivity.
 240 unfold Not. intro.apply (not_le_Sn_O O).
 241 rewrite < H5 in \vdash (? ? %).assumption.
 242 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 243 cut ((S O) < r \lor (S O) \nlt r).
 244 elim Hcut1.
 245 right.
 246 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 n1 ? q r).
 247 assumption.elim H2.
 248 elim H5.
 249 apply False_ind.
 250 apply (not_eq_O_S n).apply sym_eq.assumption.
 251 apply le_S_S_to_le.
 252 exact H5.
 253 assumption.assumption.
 254 cut (r=(S O)).
 255 apply (nat_case n).
 256 left.split.assumption.reflexivity.
 257 intro.right.rewrite > Hcut2.
 258 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 259 cut (r \lt (S O) \or r=(S O)).
 260 elim Hcut2.absurd (O=r).
 261 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H5.
 262 unfold Not.intro.
 263 cut (O=n1).
 264 apply (not_le_Sn_O O).
 265 rewrite > Hcut3 in \vdash (? ? %).
 266 assumption.rewrite > Hcut.
 267 rewrite < H6.reflexivity.
 268 assumption.
 269 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 270 apply not_lt_to_le.assumption.
 271 apply (decidable_lt (S O) r).
 272 rewrite > sym_times.
 273 apply (p_ord_aux_to_exp n1 n1).
 274 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 275 qed.
 276
 277 theorem defactorize_factorize: \forall n:nat.defactorize (factorize n) = n.
 278 intro.
 279 apply (nat_case n).reflexivity.
 280 intro.apply (nat_case m).reflexivity.
 281 intro.(*CSC: simplify here does something really nasty *)
 282 change with
 283 (let p \def (max (S(S m1)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S m1)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 284 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 285 [ (pair q r) \Rightarrow
 286    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 287 intro.
 288 (* generalizing the goal; find a better way *)
 289 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)) \to
 290 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 291 [ (pair q r) \Rightarrow
 292    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 293 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))
 294 (snd ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))).
 295 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 296 intros.
 297 rewrite < H.
 298 simplify.
 299 cut ((S(S m1)) = (nth_prime p) \sup q *r).
 300 cut (O<r).
 301 rewrite > defactorize_aux_factorize_aux.
 302 (*CSC: simplify here does something really nasty *)
 303 change with (r*(nth_prime p) \sup (S (pred q)) = (S(S m1))).
 304 cut ((S (pred q)) = q).
 305 rewrite > Hcut2.
 306 rewrite > sym_times.
 307 apply sym_eq.
 308 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 309 apply lt_O_nth_prime_n.
 310 assumption.
 311 (* O < q *)
 312 apply sym_eq. apply S_pred.
 313 cut (O < q \lor O = q).
 314 elim Hcut2.assumption.
 315 absurd (nth_prime p \divides S (S m1)).
 316 apply (divides_max_prime_factor_n (S (S m1))).
 317 unfold lt.apply le_S_S.apply le_S_S. apply le_O_n.
 318 cut ((S(S m1)) = r).
 319 rewrite > Hcut3 in \vdash (? (? ? %)).
 320 (*CSC: simplify here does something really nasty *)
 321 change with (nth_prime p \divides r \to False).
 322 intro.
 323 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O (S(S m1)) (S(S m1)) (nth_prime p) q r).
 324 apply lt_SO_nth_prime_n.
 325 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.apply le_n.
 326 assumption.
 327 apply divides_to_mod_O.apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 328 rewrite > times_n_SO in \vdash (? ? ? %).
 329 rewrite < sym_times.
 330 rewrite > (exp_n_O (nth_prime p)).
 331 rewrite > H1 in \vdash (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 332 assumption.
 333 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.assumption.
 334 (* e adesso l'ultimo goal. TASSI: che ora non e' piu' l'ultimo :P *)
 335 cut ((S O) < r \lor S O \nlt r).
 336 elim Hcut2.
 337 right.
 338 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 (S(S m1)) ? q r).
 339 unfold lt.apply le_S_S. apply le_O_n.
 340 apply le_n.
 341 assumption.assumption.
 342 cut (r=(S O)).
 343 apply (nat_case p).
 344 left.split.assumption.reflexivity.
 345 intro.right.rewrite > Hcut3.
 346 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 347 cut (r \lt (S O) \or r=(S O)).
 348 elim Hcut3.absurd (O=r).
 349 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H2.
 350 unfold Not.intro.
 351 apply (not_le_Sn_O O).
 352 rewrite > H3 in \vdash (? ? %).assumption.assumption.
 353 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 354 apply not_lt_to_le.assumption.
 355 apply (decidable_lt (S O) r).
 356 (* O < r *)
 357 cut (O < r \lor O = r).
 358 elim Hcut1.assumption.
 359 apply False_ind.
 360 apply (not_eq_O_S (S m1)).
 361 rewrite > Hcut.rewrite < H1.rewrite < times_n_O.reflexivity.
 362 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 363 (* prova del cut *)
 364 goal 20.
 365 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 366 apply lt_O_nth_prime_n.
 367 assumption.
 368 (* fine prova cut *)
 369 qed.
 370
 371 let rec max_p f \def
 372 match f with
 373 [ (nf_last n) \Rightarrow O
 374 | (nf_cons n g) \Rightarrow S (max_p g)].
 375
 376 let rec max_p_exponent f \def
 377 match f with
 378 [ (nf_last n) \Rightarrow n
 379 | (nf_cons n g) \Rightarrow max_p_exponent g].
 380
 381 theorem divides_max_p_defactorize: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 382 nth_prime ((max_p f)+i) \divides defactorize_aux f i.
 383 intro.
 384 elim f.simplify.apply (witness ? ? ((nth_prime i) \sup n)).
 385 reflexivity.
 386 change with
 387 (nth_prime (S(max_p n1)+i) \divides
 388 (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux n1 (S i))).
 389 elim (H (S i)).
 390 rewrite > H1.
 391 rewrite < sym_times.
 392 rewrite > assoc_times.
 393 rewrite < plus_n_Sm.
 394 apply (witness ? ? (n2* (nth_prime i) \sup n)).
 395 reflexivity.
 396 qed.
 397
 398 theorem divides_exp_to_divides:
 399 \forall p,n,m:nat. prime p \to
 400 p \divides n \sup m \to p \divides n.
 401 intros 3.elim m.simplify in H1.
 402 apply (transitive_divides p (S O)).assumption.
 403 apply divides_SO_n.
 404 cut (p \divides n \lor p \divides n \sup n1).
 405 elim Hcut.assumption.
 406 apply H.assumption.assumption.
 407 apply divides_times_to_divides.assumption.
 408 exact H2.
 409 qed.
 410
 411 theorem divides_exp_to_eq:
 412 \forall p,q,m:nat. prime p \to prime q \to
 413 p \divides q \sup m \to p = q.
 414 intros.
 415 unfold prime in H1.
 416 elim H1.apply H4.
 417 apply (divides_exp_to_divides p q m).
 418 assumption.assumption.
 419 unfold prime in H.elim H.assumption.
 420 qed.
 421
 422 theorem  not_divides_defactorize_aux: \forall f:nat_fact. \forall i,j:nat.
 423 i < j \to nth_prime i \ndivides defactorize_aux f j.
 424 intro.elim f.
 425 change with
 426 (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup (S n) \to False).
 427 intro.absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 428 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 429 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 430 assumption.unfold Not.
 431 intro.cut (i = j).
 432 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut in \vdash (? ? %).assumption.
 433 apply (injective_nth_prime ? ? H2).
 434 unfold Not.simplify.
 435 intro.
 436 cut (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n
 437 \lor nth_prime i \divides defactorize_aux n1 (S j)).
 438 elim Hcut.
 439 absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 440 apply (divides_exp_to_eq ? ? n).
 441 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 442 assumption.unfold Not.
 443 intro.
 444 cut (i = j).
 445 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut1 in \vdash (? ? %).assumption.
 446 apply (injective_nth_prime ? ? H4).
 447 apply (H i (S j)).
 448 apply (trans_lt ? j).assumption.unfold lt.apply le_n.
 449 assumption.
 450 apply divides_times_to_divides.
 451 apply prime_nth_prime.assumption.
 452 qed.
 453
 454 lemma not_eq_nf_last_nf_cons: \forall g:nat_fact.\forall n,m,i:nat.
 455 \lnot (defactorize_aux (nf_last n) i= defactorize_aux (nf_cons m g) i).
 456 intros.
 457 change with
 458 (exp (nth_prime i) (S n) = defactorize_aux (nf_cons m g) i \to False).
 459 intro.
 460 cut (S(max_p g)+i= i).
 461 apply (not_le_Sn_n i).
 462 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 463 simplify.apply le_S_S.
 464 apply le_plus_n.
 465 apply injective_nth_prime.
 466 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 467 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 468 rewrite > H.
 469 change with (divides (nth_prime ((max_p (nf_cons m g))+i))
 470 (defactorize_aux (nf_cons m g) i)).
 471 apply divides_max_p_defactorize.
 472 qed.
 473
 474 lemma not_eq_nf_cons_O_nf_cons: \forall f,g:nat_fact.\forall n,i:nat.
 475 \lnot (defactorize_aux (nf_cons O f) i= defactorize_aux (nf_cons (S n) g) i).
 476 intros.
 477 simplify.unfold Not.rewrite < plus_n_O.
 478 intro.
 479 apply (not_divides_defactorize_aux f i (S i) ?).
 480 unfold lt.apply le_n.
 481 rewrite > H.
 482 rewrite > assoc_times.
 483 apply (witness ? ? ((exp (nth_prime i) n)*(defactorize_aux g (S i)))).
 484 reflexivity.
 485 qed.
 486
 487 theorem eq_defactorize_aux_to_eq: \forall f,g:nat_fact.\forall i:nat.
 488 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 489 intro.
 490 elim f.
 491 generalize in match H.
 492 elim g.
 493 apply eq_f.
 494 apply inj_S. apply (inj_exp_r (nth_prime i)).
 495 apply lt_SO_nth_prime_n.
 496 assumption.
 497 apply False_ind.
 498 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n2 n n1 i H2).
 499 generalize in match H1.
 500 elim g.
 501 apply False_ind.
 502 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n1 n2 n i).
 503 apply sym_eq. assumption.
 504 simplify in H3.
 505 generalize in match H3.
 506 apply (nat_elim2 (\lambda n,n2.
 507 ((nth_prime i) \sup n)*(defactorize_aux n1 (S i)) =
 508 ((nth_prime i) \sup n2)*(defactorize_aux n3 (S i)) \to
 509 nf_cons n n1 = nf_cons n2 n3)).
 510 intro.
 511 elim n4. apply eq_f.
 512 apply (H n3 (S i)).
 513 simplify in H4.
 514 rewrite > plus_n_O.
 515 rewrite > (plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i))).assumption.
 516 apply False_ind.
 517 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n1 n3 n5 i).assumption.
 518 intros.
 519 apply False_ind.
 520 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n3 n1 n4 i).
 521 apply sym_eq.assumption.
 522 intros.
 523 cut (nf_cons n4 n1 = nf_cons m n3).
 524 cut (n4=m).
 525 cut (n1=n3).
 526 rewrite > Hcut1.rewrite > Hcut2.reflexivity.
 527 change with
 528 (match nf_cons n4 n1 with
 529 [ (nf_last m) \Rightarrow n1
 530 | (nf_cons m g) \Rightarrow g ] = n3).
 531 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 532 change with
 533 (match nf_cons n4 n1 with
 534 [ (nf_last m) \Rightarrow m
 535 | (nf_cons m g) \Rightarrow m ] = m).
 536 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 537 apply H4.simplify in H5.
 538 apply (inj_times_r1 (nth_prime i)).
 539 apply lt_O_nth_prime_n.
 540 rewrite < assoc_times.rewrite < assoc_times.assumption.
 541 qed.
 542
 543 theorem injective_defactorize_aux: \forall i:nat.
 544 injective nat_fact nat (\lambda f.defactorize_aux f i).
 545 simplify.
 546 intros.
 547 apply (eq_defactorize_aux_to_eq x y i H).
 548 qed.
 549
 550 theorem injective_defactorize:
 551 injective nat_fact_all nat defactorize.
 552 unfold injective.
 553 change with (\forall f,g.defactorize f = defactorize g \to f=g).
 554 intro.elim f.
 555 generalize in match H.elim g.
 556 (* zero - zero *)
 557 reflexivity.
 558 (* zero - one *)
 559 simplify in H1.
 560 apply False_ind.
 561 apply (not_eq_O_S O H1).
 562 (* zero - proper *)
 563 simplify in H1.
 564 apply False_ind.
 565 apply (not_le_Sn_n O).
 566 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 567 change with (O < defactorize_aux n O).
 568 apply lt_O_defactorize_aux.
 569 generalize in match H.
 570 elim g.
 571 (* one - zero *)
 572 simplify in H1.
 573 apply False_ind.
 574 apply (not_eq_O_S O).apply sym_eq. assumption.
 575 (* one - one *)
 576 reflexivity.
 577 (* one - proper *)
 578 simplify in H1.
 579 apply False_ind.
 580 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 581 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 582 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 583 apply lt_SO_defactorize_aux.
 584 generalize in match H.elim g.
 585 (* proper - zero *)
 586 simplify in H1.
 587 apply False_ind.
 588 apply (not_le_Sn_n O).
 589 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 590 change with (O < defactorize_aux n O).
 591 apply lt_O_defactorize_aux.
 592 (* proper - one *)
 593 simplify in H1.
 594 apply False_ind.
 595 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 596 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 597 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 598 apply lt_SO_defactorize_aux.
 599 (* proper - proper *)
 600 apply eq_f.
 601 apply (injective_defactorize_aux O).
 602 exact H1.
 603 qed.
 604
 605 theorem factorize_defactorize:
 606 \forall f,g: nat_fact_all. factorize (defactorize f) = f.
 607 intros.
 608 apply injective_defactorize.
 609 apply defactorize_factorize.
 610 qed.
 611