matita/library/nat/factorization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/factorization".
  16
  17 include "nat/ord.ma".
  18 include "nat/gcd.ma".
  19 include "nat/nth_prime.ma".
  20
  21
  22 theorem prova :
  23   \forall n,m:nat.
  24   \forall P:nat \to Prop.
  25   \forall H:P (S (S O)).
  26   \forall H:P (S (S (S O))).
  27   \forall H1: \forall x.P x \to O = x.
  28    O = S (S (S (S (S O)))).
  29    intros.
  30    auto paramodulation.
  31  qed.
  32
  33 theorem example2:
  34 \forall x: nat. (x+S O)*(x-S O) = x*x - S O.
  35 intro;
  36 apply (nat_case x);
  37  [ auto paramodulation.|intro.auto paramodulation.]
  38 qed.
  39
  40 theorem prova3:
  41   \forall A:Set.
  42   \forall m:A \to A \to A.
  43   \forall divides: A \to A \to Prop.
  44   \forall o,a,b,two:A.
  45   \forall H1:\forall x.m o x = x.
  46   \forall H1:\forall x.m x o = x.
  47   \forall H1:\forall x,y,z.m x (m y z) = m (m x y) z.
  48   \forall H1:\forall x.m x o = x.
  49   \forall H2:\forall x,y.m x y = m y x.
  50   \forall H3:\forall x,y,z. m x y = m x z \to y = z.
  51   (* \forall H4:\forall x,y.(\exists z.m x z = y) \to divides x y. *)
  52   \forall H4:\forall x,y.(divides x y \to (\exists z.m x z = y)).
  53   \forall H4:\forall x,y,z.m x z = y \to divides x y.
  54   \forall H4:\forall x,y.divides two (m x y) \to divides two x ∨ divides two y.
  55   \forall H5:m a a = m two (m b b).
  56   \forall H6:\forall x.divides x a \to divides x b \to x = o.
  57   two = o.
  58   intros.
  59   cut (divides two a);
  60     [2:elim (H8 a a);[assumption.|assumption|rewrite > H9.auto.]
  61     |elim (H6 ? ? Hcut).
  62      cut (divides two b);
  63        [ apply (H10 ? Hcut Hcut1).
  64        | elim (H8 b b);[assumption.|assumption|
  65          apply (H7 ? ? (m a1 a1));
  66          apply (H5 two ? ?);rewrite < H9.
  67          rewrite < H11.rewrite < H2.
  68          apply eq_f.rewrite > H2.rewrite > H4.reflexivity.
  69          ]
  70          ]
  71          ]
  72          qed.
  73
  74 theorem prova31:
  75   \forall A:Set.
  76   \forall m,f:A \to A \to A.
  77   \forall divides: A \to A \to Prop.
  78   \forall o,a,b,two:A.
  79   \forall H1:\forall x.m o x = x.
  80   \forall H1:\forall x.m x o = x.
  81   \forall H1:\forall x,y,z.m x (m y z) = m (m x y) z.
  82   \forall H1:\forall x.m x o = x.
  83   \forall H2:\forall x,y.m x y = m y x.
  84   \forall H3:\forall x,y,z. m x y = m x z \to y = z.
  85   (* \forall H4:\forall x,y.(\exists z.m x z = y) \to divides x y. *)
  86   \forall H4:\forall x,y.(divides x y \to m x (f x y) = y).
  87   \forall H4:\forall x,y,z.m x z = y \to divides x y.
  88   \forall H4:\forall x,y.divides two (m x y) \to divides two x ∨ divides two y.
  89   \forall H5:m a a = m two (m b b).
  90   \forall H6:\forall x.divides x a \to divides x b \to x = o.
  91   two = o.
  92   intros.
  93   cut (divides two a);
  94     [2:elim (H8 a a);[assumption.|assumption|rewrite > H9.auto.]
  95     |(*elim (H6 ? ? Hcut). *)
  96      cut (divides two b);
  97        [ apply (H10 ? Hcut Hcut1).
  98        | elim (H8 b b);[assumption.|assumption|
  99
 100          apply (H7 ? ? (m (f two a) (f two a)));
 101          apply (H5 two ? ?);
 102          rewrite < H9.
 103          rewrite < (H6 two a Hcut) in \vdash (? ? ? %).
 104          rewrite < H2.apply eq_f.
 105          rewrite < H4 in \vdash (? ? ? %).
 106          rewrite > H2.reflexivity.
 107          ]
 108          ]
 109          ]
 110          qed.
 111
 112 theorem prova32:
 113   \forall A:Set.
 114   \forall m,f:A \to A \to A.
 115   \forall divides: A \to A \to Prop.
 116   \forall o,a,b,two:A.
 117   \forall H1:\forall x.m o x = x.
 118   \forall H1:\forall x.m x o = x.
 119   \forall H1:\forall x,y,z.m x (m y z) = m (m x y) z.
 120   \forall H1:\forall x.m x o = x.
 121   \forall H2:\forall x,y.m x y = m y x.
 122   \forall H3:\forall x,y,z. m x y = m x z \to y = z.
 123   (* \forall H4:\forall x,y.(\exists z.m x z = y) \to divides x y. *)
 124   \forall H4:\forall x,y.(divides x y \to m x (f x y) = y).
 125   \forall H4:\forall x,y,z.m x z = y \to divides x y.
 126   \forall H4:\forall x.divides two (m x x) \to divides two x.
 127   \forall H5:m a a = m two (m b b).
 128   \forall H6:\forall x.divides x a \to divides x b \to x = o.
 129   two = o.
 130   intros.
 131   cut (divides two a);[|apply H8;rewrite > H9.auto].
 132   apply H10;
 133   [ assumption.
 134   | apply (H8 b);
 135          apply (H7 ? ? (m (f two a) (f two a)));
 136          apply (H5 two ? ?);
 137          auto paramodulation.
 138          (*
 139          rewrite < H9.
 140          rewrite < (H6 two a Hcut) in \vdash (? ? ? %).
 141          rewrite < H2.apply eq_f.
 142          rewrite < H4 in \vdash (? ? ? %).
 143          rewrite > H2.reflexivity.
 144          *)
 145   ]
 146 qed.
 147
 148 (* the following factorization algorithm looks for the largest prime
 149    factor. *)
 150 definition max_prime_factor \def \lambda n:nat.
 151 (max n (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O)).
 152
 153 (* max_prime_factor is indeed a factor *)
 154 theorem divides_max_prime_factor_n:
 155   \forall n:nat. (S O) < n
 156   \to nth_prime (max_prime_factor n) \divides n.
 157 intros; apply divides_b_true_to_divides;
 158 [ apply lt_O_nth_prime_n;
 159 | apply (f_max_true  (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O) n);
 160   cut (\exists i. nth_prime i = smallest_factor n);
 161   [ elim Hcut.
 162     apply (ex_intro nat ? a);
 163     split;
 164     [ apply (trans_le a (nth_prime a));
 165       [ apply le_n_fn;
 166         exact lt_nth_prime_n_nth_prime_Sn;
 167       | rewrite > H1;
 168         apply le_smallest_factor_n; ]
 169     | rewrite > H1;
 170       (*CSC: simplify here does something nasty! *)
 171       change with (divides_b (smallest_factor n) n = true);
 172       apply divides_to_divides_b_true;
 173       [ apply (trans_lt ? (S O));
 174         [ unfold lt; apply le_n;
 175         | apply lt_SO_smallest_factor; assumption; ]
 176       | letin x \def le.auto.
 177          (*
 178        apply divides_smallest_factor_n;
 179         apply (trans_lt ? (S O));
 180         [ unfold lt; apply le_n;
 181         | assumption; ] *) ] ]
 182   | letin x \def prime. auto.
 183     (*
 184     apply prime_to_nth_prime;
 185     apply prime_smallest_factor_n;
 186     assumption; *) ] ]
 187 qed.
 188
 189 theorem divides_to_max_prime_factor : \forall n,m. (S O) < n \to O < m \to n \divides m \to
 190 max_prime_factor n \le max_prime_factor m.
 191 intros.unfold max_prime_factor.
 192 apply f_m_to_le_max.
 193 apply (trans_le ? n).
 194 apply le_max_n.apply divides_to_le.assumption.assumption.
 195 change with (divides_b (nth_prime (max_prime_factor n)) m = true).
 196 apply divides_to_divides_b_true.
 197 cut (prime (nth_prime (max_prime_factor n))).
 198 apply lt_O_nth_prime_n.apply prime_nth_prime.
 199 cut (nth_prime (max_prime_factor n) \divides n).
 200 auto.
 201 auto.
 202 (*
 203   [ apply (transitive_divides ? n);
 204     [ apply divides_max_prime_factor_n.
 205       assumption.
 206     | assumption.
 207     ]
 208   | apply divides_b_true_to_divides;
 209     [ apply lt_O_nth_prime_n.
 210     | apply divides_to_divides_b_true;
 211       [ apply lt_O_nth_prime_n.
 212       | apply divides_max_prime_factor_n.
 213         assumption.
 214       ]
 215     ]
 216   ]
 217 *)
 218 qed.
 219
 220 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor: \forall n,p,q,r. O < n \to
 221 p = max_prime_factor n \to
 222 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
 223 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 224 intros.
 225 rewrite > H1.
 226 cut (max_prime_factor r \lt max_prime_factor n \lor
 227     max_prime_factor r = max_prime_factor n).
 228 elim Hcut.assumption.
 229 absurd (nth_prime (max_prime_factor n) \divides r).
 230 rewrite < H4.
 231 apply divides_max_prime_factor_n.
 232 assumption.unfold Not.
 233 intro.
 234 cut (r \mod (nth_prime (max_prime_factor n)) \neq O);
 235   [unfold Not in Hcut1.auto.
 236     (*
 237     apply Hcut1.apply divides_to_mod_O;
 238     [ apply lt_O_nth_prime_n.
 239     | assumption.
 240     ]
 241     *)
 242   |letin z \def le.
 243    cut(pair nat nat q r=p_ord_aux n n (nth_prime (max_prime_factor n)));
 244    [2: rewrite < H1.assumption.|letin x \def le.auto width = 4]
 245    (* CERCA COME MAI le_n non lo applica se lo trova come Const e non Rel *)
 246   ].
 247 (*
 248     apply (p_ord_aux_to_not_mod_O n n ? q r);
 249     [ apply lt_SO_nth_prime_n.
 250     | assumption.
 251     | apply le_n.
 252     | rewrite < H1.assumption.
 253     ]
 254   ].
 255 *)
 256 cut (n=r*(nth_prime p)\sup(q));
 257   [letin www \def le.letin www1 \def divides.
 258    auto.
 259 (*
 260 apply (le_to_or_lt_eq (max_prime_factor r)  (max_prime_factor n)).
 261 apply divides_to_max_prime_factor.
 262 assumption.assumption.
 263 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 264 *)
 265  |
 266 rewrite < sym_times.
 267 apply (p_ord_aux_to_exp n n ? q r).
 268 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 269 ]
 270 qed.
 271
 272 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor1: \forall n,p,q,r. O < n \to
 273 max_prime_factor n \le p \to
 274 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
 275 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 276 intros.
 277 cut (max_prime_factor n < p \lor max_prime_factor n = p).
 278 elim Hcut.apply (le_to_lt_to_lt ? (max_prime_factor n)).
 279 apply divides_to_max_prime_factor.assumption.assumption.
 280 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 281 rewrite > sym_times.
 282 apply (p_ord_aux_to_exp n n).
 283 apply lt_O_nth_prime_n.
 284 assumption.assumption.
 285 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor n ? q).
 286 assumption.apply sym_eq.assumption.assumption.assumption.
 287 apply (le_to_or_lt_eq ? p H1).
 288 qed.
 289
 290 (* datatypes and functions *)
 291
 292 inductive nat_fact : Set \def
 293     nf_last : nat \to nat_fact
 294   | nf_cons : nat \to nat_fact \to nat_fact.
 295
 296 inductive nat_fact_all : Set \def
 297     nfa_zero : nat_fact_all
 298   | nfa_one : nat_fact_all
 299   | nfa_proper : nat_fact \to nat_fact_all.
 300
 301 let rec factorize_aux p n acc \def
 302   match p with
 303   [ O \Rightarrow acc
 304   | (S p1) \Rightarrow
 305     match p_ord n (nth_prime p1) with
 306     [ (pair q r) \Rightarrow
 307       factorize_aux p1 r (nf_cons q acc)]].
 308
 309 definition factorize : nat \to nat_fact_all \def \lambda n:nat.
 310   match n with
 311     [ O \Rightarrow nfa_zero
 312     | (S n1) \Rightarrow
 313       match n1 with
 314       [ O \Rightarrow nfa_one
 315     | (S n2) \Rightarrow
 316       let p \def (max (S(S n2)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S n2)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 317       match p_ord (S(S n2)) (nth_prime p) with
 318       [ (pair q r) \Rightarrow
 319            nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))]]].
 320
 321 let rec defactorize_aux f i \def
 322   match f with
 323   [ (nf_last n) \Rightarrow (nth_prime i) \sup (S n)
 324   | (nf_cons n g) \Rightarrow
 325       (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux g (S i))].
 326
 327 definition defactorize : nat_fact_all \to nat \def
 328 \lambda f : nat_fact_all.
 329 match f with
 330 [ nfa_zero \Rightarrow O
 331 | nfa_one \Rightarrow (S O)
 332 | (nfa_proper g) \Rightarrow defactorize_aux g O].
 333
 334 theorem lt_O_defactorize_aux:
 335  \forall f:nat_fact.
 336  \forall i:nat.
 337  O < defactorize_aux f i.
 338 intro; elim f;
 339 [1,2:
 340   simplify; unfold lt;
 341   rewrite > times_n_SO;
 342   apply le_times;
 343   [ change with (O < nth_prime i);
 344     apply lt_O_nth_prime_n;
 345   |2,3:
 346     change with (O < exp (nth_prime i) n);
 347     apply lt_O_exp;
 348     apply lt_O_nth_prime_n;
 349   | change with (O < defactorize_aux n1 (S i));
 350     apply H; ] ]
 351 qed.
 352
 353 theorem lt_SO_defactorize_aux: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 354 S O < defactorize_aux f i.
 355 intro.elim f.simplify.unfold lt.
 356 rewrite > times_n_SO.
 357 apply le_times.
 358 change with (S O < nth_prime i).
 359 apply lt_SO_nth_prime_n.
 360 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 361 apply lt_O_exp.
 362 apply lt_O_nth_prime_n.
 363 simplify.unfold lt.
 364 rewrite > times_n_SO.
 365 rewrite > sym_times.
 366 apply le_times.
 367 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 368 apply lt_O_exp.
 369 apply lt_O_nth_prime_n.
 370 change with (S O < defactorize_aux n1 (S i)).
 371 apply H.
 372 qed.
 373
 374 theorem defactorize_aux_factorize_aux :
 375 \forall p,n:nat.\forall acc:nat_fact.O < n \to
 376 ((n=(S O) \land p=O) \lor max_prime_factor n < p) \to
 377 defactorize_aux (factorize_aux p n acc) O = n*(defactorize_aux acc p).
 378 intro.elim p.simplify.
 379 elim H1.elim H2.rewrite > H3.
 380 rewrite > sym_times. apply times_n_SO.
 381 apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (max_prime_factor n) H2).
 382 simplify.
 383 (* generalizing the goal: I guess there exists a better way *)
 384 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) \to
 385 defactorize_aux match (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) with
 386 [(pair q r)  \Rightarrow (factorize_aux n r (nf_cons q acc))] O =
 387 n1*defactorize_aux acc (S n)).
 388 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))
 389 (snd ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))).
 390 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 391 intros.
 392 rewrite < H3.
 393 simplify.
 394 cut (n1 = r * (nth_prime n) \sup q).
 395 rewrite > H.
 396 simplify.rewrite < assoc_times.
 397 rewrite < Hcut.reflexivity.
 398 cut (O < r \lor O = r).
 399 elim Hcut1.assumption.absurd (n1 = O).
 400 rewrite > Hcut.rewrite < H4.reflexivity.
 401 unfold Not. intro.apply (not_le_Sn_O O).
 402 rewrite < H5 in \vdash (? ? %).assumption.
 403 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 404 cut ((S O) < r \lor (S O) \nlt r).
 405 elim Hcut1.
 406 right.
 407 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 n1 ? q r).
 408 assumption.elim H2.
 409 elim H5.
 410 apply False_ind.
 411 apply (not_eq_O_S n).apply sym_eq.assumption.
 412 apply le_S_S_to_le.
 413 exact H5.
 414 assumption.assumption.
 415 cut (r=(S O)).
 416 apply (nat_case n).
 417 left.split.assumption.reflexivity.
 418 intro.right.rewrite > Hcut2.
 419 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 420 cut (r < (S O) ∨ r=(S O)).
 421 elim Hcut2.absurd (O=r).
 422 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H5.
 423 unfold Not.intro.
 424 cut (O=n1).
 425 apply (not_le_Sn_O O).
 426 rewrite > Hcut3 in ⊢ (? ? %).
 427 assumption.rewrite > Hcut.
 428 rewrite < H6.reflexivity.
 429 assumption.
 430 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 431 apply not_lt_to_le.assumption.
 432 apply (decidable_lt (S O) r).
 433 rewrite > sym_times.
 434 apply (p_ord_aux_to_exp n1 n1).
 435 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 436 qed.
 437
 438 theorem defactorize_factorize: \forall n:nat.defactorize (factorize n) = n.
 439 intro.
 440 apply (nat_case n).reflexivity.
 441 intro.apply (nat_case m).reflexivity.
 442 intro.(*CSC: simplify here does something really nasty *)
 443 change with
 444 (let p \def (max (S(S m1)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S m1)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 445 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 446 [ (pair q r) \Rightarrow
 447    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 448 intro.
 449 (* generalizing the goal; find a better way *)
 450 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)) \to
 451 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 452 [ (pair q r) \Rightarrow
 453    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 454 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))
 455 (snd ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))).
 456 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 457 intros.
 458 rewrite < H.
 459 simplify.
 460 cut ((S(S m1)) = (nth_prime p) \sup q *r).
 461 cut (O<r).
 462 rewrite > defactorize_aux_factorize_aux.
 463 (*CSC: simplify here does something really nasty *)
 464 change with (r*(nth_prime p) \sup (S (pred q)) = (S(S m1))).
 465 cut ((S (pred q)) = q).
 466 rewrite > Hcut2.
 467 rewrite > sym_times.
 468 apply sym_eq.
 469 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 470 apply lt_O_nth_prime_n.
 471 assumption.
 472 (* O < q *)
 473 apply sym_eq. apply S_pred.
 474 cut (O < q \lor O = q).
 475 elim Hcut2.assumption.
 476 absurd (nth_prime p \divides S (S m1)).
 477 apply (divides_max_prime_factor_n (S (S m1))).
 478 unfold lt.apply le_S_S.apply le_S_S. apply le_O_n.
 479 cut ((S(S m1)) = r).
 480 rewrite > Hcut3 in \vdash (? (? ? %)).
 481 (*CSC: simplify here does something really nasty *)
 482 change with (nth_prime p \divides r \to False).
 483 intro.
 484 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O (S(S m1)) (S(S m1)) (nth_prime p) q r).
 485 apply lt_SO_nth_prime_n.
 486 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.apply le_n.
 487 assumption.
 488 apply divides_to_mod_O.apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 489 rewrite > times_n_SO in \vdash (? ? ? %).
 490 rewrite < sym_times.
 491 rewrite > (exp_n_O (nth_prime p)).
 492 rewrite > H1 in \vdash (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 493 assumption.
 494 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.assumption.
 495 (* e adesso l'ultimo goal. TASSI: che ora non e' piu' l'ultimo :P *)
 496 cut ((S O) < r \lor S O \nlt r).
 497 elim Hcut2.
 498 right.
 499 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 (S(S m1)) ? q r).
 500 unfold lt.apply le_S_S. apply le_O_n.
 501 apply le_n.
 502 assumption.assumption.
 503 cut (r=(S O)).
 504 apply (nat_case p).
 505 left.split.assumption.reflexivity.
 506 intro.right.rewrite > Hcut3.
 507 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 508 cut (r \lt (S O) \or r=(S O)).
 509 elim Hcut3.absurd (O=r).
 510 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H2.
 511 unfold Not.intro.
 512 apply (not_le_Sn_O O).
 513 rewrite > H3 in \vdash (? ? %).assumption.assumption.
 514 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 515 apply not_lt_to_le.assumption.
 516 apply (decidable_lt (S O) r).
 517 (* O < r *)
 518 cut (O < r \lor O = r).
 519 elim Hcut1.assumption.
 520 apply False_ind.
 521 apply (not_eq_O_S (S m1)).
 522 rewrite > Hcut.rewrite < H1.rewrite < times_n_O.reflexivity.
 523 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 524 (* prova del cut *)
 525 goal 20.
 526 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 527 apply lt_O_nth_prime_n.
 528 assumption.
 529 (* fine prova cut *)
 530 qed.
 531
 532 let rec max_p f \def
 533 match f with
 534 [ (nf_last n) \Rightarrow O
 535 | (nf_cons n g) \Rightarrow S (max_p g)].
 536
 537 let rec max_p_exponent f \def
 538 match f with
 539 [ (nf_last n) \Rightarrow n
 540 | (nf_cons n g) \Rightarrow max_p_exponent g].
 541
 542 theorem divides_max_p_defactorize: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 543 nth_prime ((max_p f)+i) \divides defactorize_aux f i.
 544 intro.
 545 elim f.simplify.apply (witness ? ? ((nth_prime i) \sup n)).
 546 reflexivity.
 547 change with
 548 (nth_prime (S(max_p n1)+i) \divides
 549 (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux n1 (S i))).
 550 elim (H (S i)).
 551 rewrite > H1.
 552 rewrite < sym_times.
 553 rewrite > assoc_times.
 554 rewrite < plus_n_Sm.
 555 apply (witness ? ? (n2* (nth_prime i) \sup n)).
 556 reflexivity.
 557 qed.
 558
 559 theorem divides_exp_to_divides:
 560 \forall p,n,m:nat. prime p \to
 561 p \divides n \sup m \to p \divides n.
 562 intros 3.elim m.simplify in H1.
 563 apply (transitive_divides p (S O)).assumption.
 564 apply divides_SO_n.
 565 cut (p \divides n \lor p \divides n \sup n1).
 566 elim Hcut.assumption.
 567 apply H.assumption.assumption.
 568 apply divides_times_to_divides.assumption.
 569 exact H2.
 570 qed.
 571
 572 theorem divides_exp_to_eq:
 573 \forall p,q,m:nat. prime p \to prime q \to
 574 p \divides q \sup m \to p = q.
 575 intros.
 576 unfold prime in H1.
 577 elim H1.apply H4.
 578 apply (divides_exp_to_divides p q m).
 579 assumption.assumption.
 580 unfold prime in H.elim H.assumption.
 581 qed.
 582
 583 theorem  not_divides_defactorize_aux: \forall f:nat_fact. \forall i,j:nat.
 584 i < j \to nth_prime i \ndivides defactorize_aux f j.
 585 intro.elim f.
 586 change with
 587 (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup (S n) \to False).
 588 intro.absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 589 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 590 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 591 assumption.unfold Not.
 592 intro.cut (i = j).
 593 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut in \vdash (? ? %).assumption.
 594 apply (injective_nth_prime ? ? H2).
 595 unfold Not.simplify.
 596 intro.
 597 cut (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n
 598 \lor nth_prime i \divides defactorize_aux n1 (S j)).
 599 elim Hcut.
 600 absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 601 apply (divides_exp_to_eq ? ? n).
 602 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 603 assumption.unfold Not.
 604 intro.
 605 cut (i = j).
 606 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut1 in \vdash (? ? %).assumption.
 607 apply (injective_nth_prime ? ? H4).
 608 apply (H i (S j)).
 609 apply (trans_lt ? j).assumption.unfold lt.apply le_n.
 610 assumption.
 611 apply divides_times_to_divides.
 612 apply prime_nth_prime.assumption.
 613 qed.
 614
 615 lemma not_eq_nf_last_nf_cons: \forall g:nat_fact.\forall n,m,i:nat.
 616 \lnot (defactorize_aux (nf_last n) i= defactorize_aux (nf_cons m g) i).
 617 intros.
 618 change with
 619 (exp (nth_prime i) (S n) = defactorize_aux (nf_cons m g) i \to False).
 620 intro.
 621 cut (S(max_p g)+i= i).
 622 apply (not_le_Sn_n i).
 623 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 624 simplify.apply le_S_S.
 625 apply le_plus_n.
 626 apply injective_nth_prime.
 627 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 628 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 629 rewrite > H.
 630 change with (divides (nth_prime ((max_p (nf_cons m g))+i))
 631 (defactorize_aux (nf_cons m g) i)).
 632 apply divides_max_p_defactorize.
 633 qed.
 634
 635 lemma not_eq_nf_cons_O_nf_cons: \forall f,g:nat_fact.\forall n,i:nat.
 636 \lnot (defactorize_aux (nf_cons O f) i= defactorize_aux (nf_cons (S n) g) i).
 637 intros.
 638 simplify.unfold Not.rewrite < plus_n_O.
 639 intro.
 640 apply (not_divides_defactorize_aux f i (S i) ?).
 641 unfold lt.apply le_n.
 642 rewrite > H.
 643 rewrite > assoc_times.
 644 apply (witness ? ? ((exp (nth_prime i) n)*(defactorize_aux g (S i)))).
 645 reflexivity.
 646 qed.
 647
 648 theorem eq_defactorize_aux_to_eq: \forall f,g:nat_fact.\forall i:nat.
 649 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 650 intro.
 651 elim f.
 652 generalize in match H.
 653 elim g.
 654 apply eq_f.
 655 apply inj_S. apply (inj_exp_r (nth_prime i)).
 656 apply lt_SO_nth_prime_n.
 657 assumption.
 658 apply False_ind.
 659 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n2 n n1 i H2).
 660 generalize in match H1.
 661 elim g.
 662 apply False_ind.
 663 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n1 n2 n i).
 664 apply sym_eq. assumption.
 665 simplify in H3.
 666 generalize in match H3.
 667 apply (nat_elim2 (\lambda n,n2.
 668 ((nth_prime i) \sup n)*(defactorize_aux n1 (S i)) =
 669 ((nth_prime i) \sup n2)*(defactorize_aux n3 (S i)) \to
 670 nf_cons n n1 = nf_cons n2 n3)).
 671 intro.
 672 elim n4. apply eq_f.
 673 apply (H n3 (S i)).
 674 simplify in H4.
 675 rewrite > plus_n_O.
 676 rewrite > (plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i))).assumption.
 677 apply False_ind.
 678 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n1 n3 n5 i).assumption.
 679 intros.
 680 apply False_ind.
 681 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n3 n1 n4 i).
 682 apply sym_eq.assumption.
 683 intros.
 684 cut (nf_cons n4 n1 = nf_cons m n3).
 685 cut (n4=m).
 686 cut (n1=n3).
 687 rewrite > Hcut1.rewrite > Hcut2.reflexivity.
 688 change with
 689 (match nf_cons n4 n1 with
 690 [ (nf_last m) \Rightarrow n1
 691 | (nf_cons m g) \Rightarrow g ] = n3).
 692 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 693 change with
 694 (match nf_cons n4 n1 with
 695 [ (nf_last m) \Rightarrow m
 696 | (nf_cons m g) \Rightarrow m ] = m).
 697 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 698 apply H4.simplify in H5.
 699 apply (inj_times_r1 (nth_prime i)).
 700 apply lt_O_nth_prime_n.
 701 rewrite < assoc_times.rewrite < assoc_times.assumption.
 702 qed.
 703
 704 theorem injective_defactorize_aux: \forall i:nat.
 705 injective nat_fact nat (\lambda f.defactorize_aux f i).
 706 simplify.
 707 intros.
 708 apply (eq_defactorize_aux_to_eq x y i H).
 709 qed.
 710
 711 theorem injective_defactorize:
 712 injective nat_fact_all nat defactorize.
 713 unfold injective.
 714 change with (\forall f,g.defactorize f = defactorize g \to f=g).
 715 intro.elim f.
 716 generalize in match H.elim g.
 717 (* zero - zero *)
 718 reflexivity.
 719 (* zero - one *)
 720 simplify in H1.
 721 apply False_ind.
 722 apply (not_eq_O_S O H1).
 723 (* zero - proper *)
 724 simplify in H1.
 725 apply False_ind.
 726 apply (not_le_Sn_n O).
 727 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 728 change with (O < defactorize_aux n O).
 729 apply lt_O_defactorize_aux.
 730 generalize in match H.
 731 elim g.
 732 (* one - zero *)
 733 simplify in H1.
 734 apply False_ind.
 735 apply (not_eq_O_S O).apply sym_eq. assumption.
 736 (* one - one *)
 737 reflexivity.
 738 (* one - proper *)
 739 simplify in H1.
 740 apply False_ind.
 741 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 742 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 743 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 744 apply lt_SO_defactorize_aux.
 745 generalize in match H.elim g.
 746 (* proper - zero *)
 747 simplify in H1.
 748 apply False_ind.
 749 apply (not_le_Sn_n O).
 750 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 751 change with (O < defactorize_aux n O).
 752 apply lt_O_defactorize_aux.
 753 (* proper - one *)
 754 simplify in H1.
 755 apply False_ind.
 756 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 757 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 758 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 759 apply lt_SO_defactorize_aux.
 760 (* proper - proper *)
 761 apply eq_f.
 762 apply (injective_defactorize_aux O).
 763 exact H1.
 764 qed.
 765
 766 theorem factorize_defactorize:
 767 \forall f,g: nat_fact_all. factorize (defactorize f) = f.
 768 intros.
 769 apply injective_defactorize.
 770 apply defactorize_factorize.
 771 qed.
 772