matita/library/nat/factorization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/factorization".
  16
  17 include "nat/ord.ma".
  18 include "nat/gcd.ma".
  19 include "nat/nth_prime.ma".
  20
  21 (* the following factorization algorithm looks for the largest prime
  22    factor. *)
  23 definition max_prime_factor \def \lambda n:nat.
  24 (max n (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O)).
  25
  26 (* max_prime_factor is indeed a factor *)
  27 theorem divides_max_prime_factor_n:
  28   \forall n:nat. (S O) < n
  29   \to nth_prime (max_prime_factor n) \divides n.
  30 intros; apply divides_b_true_to_divides;
  31 [ apply lt_O_nth_prime_n;
  32 | apply (f_max_true  (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O) n);
  33   cut (\exists i. nth_prime i = smallest_factor n);
  34   [ elim Hcut.
  35     apply (ex_intro nat ? a);
  36     split;
  37     [ apply (trans_le a (nth_prime a));
  38       [ apply le_n_fn;
  39         exact lt_nth_prime_n_nth_prime_Sn;
  40       | rewrite > H1;
  41         apply le_smallest_factor_n; ]
  42     | rewrite > H1;
  43       (*CSC: simplify here does something nasty! *)
  44       change with (divides_b (smallest_factor n) n = true);
  45       apply divides_to_divides_b_true;
  46       [ apply (trans_lt ? (S O));
  47         [ unfold lt; apply le_n;
  48         | apply lt_SO_smallest_factor; assumption; ]
  49       | letin x \def le.auto.
  50          (*
  51        apply divides_smallest_factor_n;
  52         apply (trans_lt ? (S O));
  53         [ unfold lt; apply le_n;
  54         | assumption; ] *) ] ]
  55   | letin x \def prime. auto.
  56     (*
  57     apply prime_to_nth_prime;
  58     apply prime_smallest_factor_n;
  59     assumption; *) ] ]
  60 qed.
  61
  62 theorem divides_to_max_prime_factor : \forall n,m. (S O) < n \to O < m \to n \divides m \to
  63 max_prime_factor n \le max_prime_factor m.
  64 intros.unfold max_prime_factor.
  65 apply f_m_to_le_max.
  66 apply (trans_le ? n).
  67 apply le_max_n.apply divides_to_le.assumption.assumption.
  68 change with (divides_b (nth_prime (max_prime_factor n)) m = true).
  69 apply divides_to_divides_b_true.
  70 cut (prime (nth_prime (max_prime_factor n))).
  71 apply lt_O_nth_prime_n.apply prime_nth_prime.
  72 cut (nth_prime (max_prime_factor n) \divides n).
  73 auto.
  74 auto.
  75 (*
  76   [ apply (transitive_divides ? n);
  77     [ apply divides_max_prime_factor_n.
  78       assumption.
  79     | assumption.
  80     ]
  81   | apply divides_b_true_to_divides;
  82     [ apply lt_O_nth_prime_n.
  83     | apply divides_to_divides_b_true;
  84       [ apply lt_O_nth_prime_n.
  85       | apply divides_max_prime_factor_n.
  86         assumption.
  87       ]
  88     ]
  89   ]
  90 *)
  91 qed.
  92
  93 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor: \forall n,p,q,r. O < n \to
  94 p = max_prime_factor n \to
  95 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
  96 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
  97 intros.
  98 rewrite > H1.
  99 cut (max_prime_factor r \lt max_prime_factor n \lor
 100     max_prime_factor r = max_prime_factor n).
 101 elim Hcut.assumption.
 102 absurd (nth_prime (max_prime_factor n) \divides r).
 103 rewrite < H4.
 104 apply divides_max_prime_factor_n.
 105 assumption.unfold Not.
 106 intro.
 107 cut (r \mod (nth_prime (max_prime_factor n)) \neq O);
 108   [unfold Not in Hcut1.auto.
 109     (*
 110     apply Hcut1.apply divides_to_mod_O;
 111     [ apply lt_O_nth_prime_n.
 112     | assumption.
 113     ]
 114     *)
 115   |letin z \def le.
 116    cut(pair nat nat q r=p_ord_aux n n (nth_prime (max_prime_factor n)));
 117    [2: rewrite < H1.assumption.|letin x \def le.auto width = 4]
 118    (* CERCA COME MAI le_n non lo applica se lo trova come Const e non Rel *)
 119   ].
 120 (*
 121     apply (p_ord_aux_to_not_mod_O n n ? q r);
 122     [ apply lt_SO_nth_prime_n.
 123     | assumption.
 124     | apply le_n.
 125     | rewrite < H1.assumption.
 126     ]
 127   ].
 128 *)
 129 cut (n=r*(nth_prime p)\sup(q));
 130   [letin www \def le.letin www1 \def divides.
 131    auto.
 132 (*
 133 apply (le_to_or_lt_eq (max_prime_factor r)  (max_prime_factor n)).
 134 apply divides_to_max_prime_factor.
 135 assumption.assumption.
 136 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 137 *)
 138  |
 139 rewrite < sym_times.
 140 apply (p_ord_aux_to_exp n n ? q r).
 141 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 142 ]
 143 qed.
 144
 145 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor1: \forall n,p,q,r. O < n \to
 146 max_prime_factor n \le p \to
 147 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
 148 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 149 intros.
 150 cut (max_prime_factor n < p \lor max_prime_factor n = p).
 151 elim Hcut.apply (le_to_lt_to_lt ? (max_prime_factor n)).
 152 apply divides_to_max_prime_factor.assumption.assumption.
 153 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 154 rewrite > sym_times.
 155 apply (p_ord_aux_to_exp n n).
 156 apply lt_O_nth_prime_n.
 157 assumption.assumption.
 158 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor n ? q).
 159 assumption.apply sym_eq.assumption.assumption.assumption.
 160 apply (le_to_or_lt_eq ? p H1).
 161 qed.
 162
 163 (* datatypes and functions *)
 164
 165 inductive nat_fact : Set \def
 166     nf_last : nat \to nat_fact
 167   | nf_cons : nat \to nat_fact \to nat_fact.
 168
 169 inductive nat_fact_all : Set \def
 170     nfa_zero : nat_fact_all
 171   | nfa_one : nat_fact_all
 172   | nfa_proper : nat_fact \to nat_fact_all.
 173
 174 let rec factorize_aux p n acc \def
 175   match p with
 176   [ O \Rightarrow acc
 177   | (S p1) \Rightarrow
 178     match p_ord n (nth_prime p1) with
 179     [ (pair q r) \Rightarrow
 180       factorize_aux p1 r (nf_cons q acc)]].
 181
 182 definition factorize : nat \to nat_fact_all \def \lambda n:nat.
 183   match n with
 184     [ O \Rightarrow nfa_zero
 185     | (S n1) \Rightarrow
 186       match n1 with
 187       [ O \Rightarrow nfa_one
 188     | (S n2) \Rightarrow
 189       let p \def (max (S(S n2)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S n2)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 190       match p_ord (S(S n2)) (nth_prime p) with
 191       [ (pair q r) \Rightarrow
 192            nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))]]].
 193
 194 let rec defactorize_aux f i \def
 195   match f with
 196   [ (nf_last n) \Rightarrow (nth_prime i) \sup (S n)
 197   | (nf_cons n g) \Rightarrow
 198       (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux g (S i))].
 199
 200 definition defactorize : nat_fact_all \to nat \def
 201 \lambda f : nat_fact_all.
 202 match f with
 203 [ nfa_zero \Rightarrow O
 204 | nfa_one \Rightarrow (S O)
 205 | (nfa_proper g) \Rightarrow defactorize_aux g O].
 206
 207 theorem lt_O_defactorize_aux:
 208  \forall f:nat_fact.
 209  \forall i:nat.
 210  O < defactorize_aux f i.
 211 intro; elim f;
 212 [1,2:
 213   simplify; unfold lt;
 214   rewrite > times_n_SO;
 215   apply le_times;
 216   [ change with (O < nth_prime i);
 217     apply lt_O_nth_prime_n;
 218   |2,3:
 219     change with (O < exp (nth_prime i) n);
 220     apply lt_O_exp;
 221     apply lt_O_nth_prime_n;
 222   | change with (O < defactorize_aux n1 (S i));
 223     apply H; ] ]
 224 qed.
 225
 226 theorem lt_SO_defactorize_aux: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 227 S O < defactorize_aux f i.
 228 intro.elim f.simplify.unfold lt.
 229 rewrite > times_n_SO.
 230 apply le_times.
 231 change with (S O < nth_prime i).
 232 apply lt_SO_nth_prime_n.
 233 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 234 apply lt_O_exp.
 235 apply lt_O_nth_prime_n.
 236 simplify.unfold lt.
 237 rewrite > times_n_SO.
 238 rewrite > sym_times.
 239 apply le_times.
 240 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 241 apply lt_O_exp.
 242 apply lt_O_nth_prime_n.
 243 change with (S O < defactorize_aux n1 (S i)).
 244 apply H.
 245 qed.
 246
 247 theorem defactorize_aux_factorize_aux :
 248 \forall p,n:nat.\forall acc:nat_fact.O < n \to
 249 ((n=(S O) \land p=O) \lor max_prime_factor n < p) \to
 250 defactorize_aux (factorize_aux p n acc) O = n*(defactorize_aux acc p).
 251 intro.elim p.simplify.
 252 elim H1.elim H2.rewrite > H3.
 253 rewrite > sym_times. apply times_n_SO.
 254 apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (max_prime_factor n) H2).
 255 simplify.
 256 (* generalizing the goal: I guess there exists a better way *)
 257 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) \to
 258 defactorize_aux match (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) with
 259 [(pair q r)  \Rightarrow (factorize_aux n r (nf_cons q acc))] O =
 260 n1*defactorize_aux acc (S n)).
 261 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))
 262 (snd ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))).
 263 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 264 intros.
 265 rewrite < H3.
 266 simplify.
 267 cut (n1 = r * (nth_prime n) \sup q).
 268 rewrite > H.
 269 simplify.rewrite < assoc_times.
 270 rewrite < Hcut.reflexivity.
 271 cut (O < r \lor O = r).
 272 elim Hcut1.assumption.absurd (n1 = O).
 273 rewrite > Hcut.rewrite < H4.reflexivity.
 274 unfold Not. intro.apply (not_le_Sn_O O).
 275 rewrite < H5 in \vdash (? ? %).assumption.
 276 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 277 cut ((S O) < r \lor (S O) \nlt r).
 278 elim Hcut1.
 279 right.
 280 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 n1 ? q r).
 281 assumption.elim H2.
 282 elim H5.
 283 apply False_ind.
 284 apply (not_eq_O_S n).apply sym_eq.assumption.
 285 apply le_S_S_to_le.
 286 exact H5.
 287 assumption.assumption.
 288 cut (r=(S O)).
 289 apply (nat_case n).
 290 left.split.assumption.reflexivity.
 291 intro.right.rewrite > Hcut2.
 292 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 293 cut (r < (S O) ∨ r=(S O)).
 294 elim Hcut2.absurd (O=r).
 295 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H5.
 296 unfold Not.intro.
 297 cut (O=n1).
 298 apply (not_le_Sn_O O).
 299 rewrite > Hcut3 in ⊢ (? ? %).
 300 assumption.rewrite > Hcut.
 301 rewrite < H6.reflexivity.
 302 assumption.
 303 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 304 apply not_lt_to_le.assumption.
 305 apply (decidable_lt (S O) r).
 306 rewrite > sym_times.
 307 apply (p_ord_aux_to_exp n1 n1).
 308 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 309 qed.
 310
 311 theorem defactorize_factorize: \forall n:nat.defactorize (factorize n) = n.
 312 intro.
 313 apply (nat_case n).reflexivity.
 314 intro.apply (nat_case m).reflexivity.
 315 intro.(*CSC: simplify here does something really nasty *)
 316 change with
 317 (let p \def (max (S(S m1)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S m1)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 318 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 319 [ (pair q r) \Rightarrow
 320    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 321 intro.
 322 (* generalizing the goal; find a better way *)
 323 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)) \to
 324 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 325 [ (pair q r) \Rightarrow
 326    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 327 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))
 328 (snd ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))).
 329 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 330 intros.
 331 rewrite < H.
 332 simplify.
 333 cut ((S(S m1)) = (nth_prime p) \sup q *r).
 334 cut (O<r).
 335 rewrite > defactorize_aux_factorize_aux.
 336 (*CSC: simplify here does something really nasty *)
 337 change with (r*(nth_prime p) \sup (S (pred q)) = (S(S m1))).
 338 cut ((S (pred q)) = q).
 339 rewrite > Hcut2.
 340 rewrite > sym_times.
 341 apply sym_eq.
 342 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 343 apply lt_O_nth_prime_n.
 344 assumption.
 345 (* O < q *)
 346 apply sym_eq. apply S_pred.
 347 cut (O < q \lor O = q).
 348 elim Hcut2.assumption.
 349 absurd (nth_prime p \divides S (S m1)).
 350 apply (divides_max_prime_factor_n (S (S m1))).
 351 unfold lt.apply le_S_S.apply le_S_S. apply le_O_n.
 352 cut ((S(S m1)) = r).
 353 rewrite > Hcut3 in \vdash (? (? ? %)).
 354 (*CSC: simplify here does something really nasty *)
 355 change with (nth_prime p \divides r \to False).
 356 intro.
 357 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O (S(S m1)) (S(S m1)) (nth_prime p) q r).
 358 apply lt_SO_nth_prime_n.
 359 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.apply le_n.
 360 assumption.
 361 apply divides_to_mod_O.apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 362 rewrite > times_n_SO in \vdash (? ? ? %).
 363 rewrite < sym_times.
 364 rewrite > (exp_n_O (nth_prime p)).
 365 rewrite > H1 in \vdash (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 366 assumption.
 367 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.assumption.
 368 (* e adesso l'ultimo goal. TASSI: che ora non e' piu' l'ultimo :P *)
 369 cut ((S O) < r \lor S O \nlt r).
 370 elim Hcut2.
 371 right.
 372 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 (S(S m1)) ? q r).
 373 unfold lt.apply le_S_S. apply le_O_n.
 374 apply le_n.
 375 assumption.assumption.
 376 cut (r=(S O)).
 377 apply (nat_case p).
 378 left.split.assumption.reflexivity.
 379 intro.right.rewrite > Hcut3.
 380 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 381 cut (r \lt (S O) \or r=(S O)).
 382 elim Hcut3.absurd (O=r).
 383 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H2.
 384 unfold Not.intro.
 385 apply (not_le_Sn_O O).
 386 rewrite > H3 in \vdash (? ? %).assumption.assumption.
 387 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 388 apply not_lt_to_le.assumption.
 389 apply (decidable_lt (S O) r).
 390 (* O < r *)
 391 cut (O < r \lor O = r).
 392 elim Hcut1.assumption.
 393 apply False_ind.
 394 apply (not_eq_O_S (S m1)).
 395 rewrite > Hcut.rewrite < H1.rewrite < times_n_O.reflexivity.
 396 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 397 (* prova del cut *)
 398 goal 20.
 399 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 400 apply lt_O_nth_prime_n.
 401 assumption.
 402 (* fine prova cut *)
 403 qed.
 404
 405 let rec max_p f \def
 406 match f with
 407 [ (nf_last n) \Rightarrow O
 408 | (nf_cons n g) \Rightarrow S (max_p g)].
 409
 410 let rec max_p_exponent f \def
 411 match f with
 412 [ (nf_last n) \Rightarrow n
 413 | (nf_cons n g) \Rightarrow max_p_exponent g].
 414
 415 theorem divides_max_p_defactorize: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 416 nth_prime ((max_p f)+i) \divides defactorize_aux f i.
 417 intro.
 418 elim f.simplify.apply (witness ? ? ((nth_prime i) \sup n)).
 419 reflexivity.
 420 change with
 421 (nth_prime (S(max_p n1)+i) \divides
 422 (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux n1 (S i))).
 423 elim (H (S i)).
 424 rewrite > H1.
 425 rewrite < sym_times.
 426 rewrite > assoc_times.
 427 rewrite < plus_n_Sm.
 428 apply (witness ? ? (n2* (nth_prime i) \sup n)).
 429 reflexivity.
 430 qed.
 431
 432 theorem divides_exp_to_divides:
 433 \forall p,n,m:nat. prime p \to
 434 p \divides n \sup m \to p \divides n.
 435 intros 3.elim m.simplify in H1.
 436 apply (transitive_divides p (S O)).assumption.
 437 apply divides_SO_n.
 438 cut (p \divides n \lor p \divides n \sup n1).
 439 elim Hcut.assumption.
 440 apply H.assumption.assumption.
 441 apply divides_times_to_divides.assumption.
 442 exact H2.
 443 qed.
 444
 445 theorem divides_exp_to_eq:
 446 \forall p,q,m:nat. prime p \to prime q \to
 447 p \divides q \sup m \to p = q.
 448 intros.
 449 unfold prime in H1.
 450 elim H1.apply H4.
 451 apply (divides_exp_to_divides p q m).
 452 assumption.assumption.
 453 unfold prime in H.elim H.assumption.
 454 qed.
 455
 456 theorem  not_divides_defactorize_aux: \forall f:nat_fact. \forall i,j:nat.
 457 i < j \to nth_prime i \ndivides defactorize_aux f j.
 458 intro.elim f.
 459 change with
 460 (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup (S n) \to False).
 461 intro.absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 462 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 463 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 464 assumption.unfold Not.
 465 intro.cut (i = j).
 466 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut in \vdash (? ? %).assumption.
 467 apply (injective_nth_prime ? ? H2).
 468 unfold Not.simplify.
 469 intro.
 470 cut (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n
 471 \lor nth_prime i \divides defactorize_aux n1 (S j)).
 472 elim Hcut.
 473 absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 474 apply (divides_exp_to_eq ? ? n).
 475 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 476 assumption.unfold Not.
 477 intro.
 478 cut (i = j).
 479 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut1 in \vdash (? ? %).assumption.
 480 apply (injective_nth_prime ? ? H4).
 481 apply (H i (S j)).
 482 apply (trans_lt ? j).assumption.unfold lt.apply le_n.
 483 assumption.
 484 apply divides_times_to_divides.
 485 apply prime_nth_prime.assumption.
 486 qed.
 487
 488 lemma not_eq_nf_last_nf_cons: \forall g:nat_fact.\forall n,m,i:nat.
 489 \lnot (defactorize_aux (nf_last n) i= defactorize_aux (nf_cons m g) i).
 490 intros.
 491 change with
 492 (exp (nth_prime i) (S n) = defactorize_aux (nf_cons m g) i \to False).
 493 intro.
 494 cut (S(max_p g)+i= i).
 495 apply (not_le_Sn_n i).
 496 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 497 simplify.apply le_S_S.
 498 apply le_plus_n.
 499 apply injective_nth_prime.
 500 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 501 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 502 rewrite > H.
 503 change with (divides (nth_prime ((max_p (nf_cons m g))+i))
 504 (defactorize_aux (nf_cons m g) i)).
 505 apply divides_max_p_defactorize.
 506 qed.
 507
 508 lemma not_eq_nf_cons_O_nf_cons: \forall f,g:nat_fact.\forall n,i:nat.
 509 \lnot (defactorize_aux (nf_cons O f) i= defactorize_aux (nf_cons (S n) g) i).
 510 intros.
 511 simplify.unfold Not.rewrite < plus_n_O.
 512 intro.
 513 apply (not_divides_defactorize_aux f i (S i) ?).
 514 unfold lt.apply le_n.
 515 rewrite > H.
 516 rewrite > assoc_times.
 517 apply (witness ? ? ((exp (nth_prime i) n)*(defactorize_aux g (S i)))).
 518 reflexivity.
 519 qed.
 520
 521 theorem eq_defactorize_aux_to_eq: \forall f,g:nat_fact.\forall i:nat.
 522 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 523 intro.
 524 elim f.
 525 generalize in match H.
 526 elim g.
 527 apply eq_f.
 528 apply inj_S. apply (inj_exp_r (nth_prime i)).
 529 apply lt_SO_nth_prime_n.
 530 assumption.
 531 apply False_ind.
 532 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n2 n n1 i H2).
 533 generalize in match H1.
 534 elim g.
 535 apply False_ind.
 536 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n1 n2 n i).
 537 apply sym_eq. assumption.
 538 simplify in H3.
 539 generalize in match H3.
 540 apply (nat_elim2 (\lambda n,n2.
 541 ((nth_prime i) \sup n)*(defactorize_aux n1 (S i)) =
 542 ((nth_prime i) \sup n2)*(defactorize_aux n3 (S i)) \to
 543 nf_cons n n1 = nf_cons n2 n3)).
 544 intro.
 545 elim n4. apply eq_f.
 546 apply (H n3 (S i)).
 547 simplify in H4.
 548 rewrite > plus_n_O.
 549 rewrite > (plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i))).assumption.
 550 apply False_ind.
 551 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n1 n3 n5 i).assumption.
 552 intros.
 553 apply False_ind.
 554 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n3 n1 n4 i).
 555 apply sym_eq.assumption.
 556 intros.
 557 cut (nf_cons n4 n1 = nf_cons m n3).
 558 cut (n4=m).
 559 cut (n1=n3).
 560 rewrite > Hcut1.rewrite > Hcut2.reflexivity.
 561 change with
 562 (match nf_cons n4 n1 with
 563 [ (nf_last m) \Rightarrow n1
 564 | (nf_cons m g) \Rightarrow g ] = n3).
 565 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 566 change with
 567 (match nf_cons n4 n1 with
 568 [ (nf_last m) \Rightarrow m
 569 | (nf_cons m g) \Rightarrow m ] = m).
 570 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 571 apply H4.simplify in H5.
 572 apply (inj_times_r1 (nth_prime i)).
 573 apply lt_O_nth_prime_n.
 574 rewrite < assoc_times.rewrite < assoc_times.assumption.
 575 qed.
 576
 577 theorem injective_defactorize_aux: \forall i:nat.
 578 injective nat_fact nat (\lambda f.defactorize_aux f i).
 579 simplify.
 580 intros.
 581 apply (eq_defactorize_aux_to_eq x y i H).
 582 qed.
 583
 584 theorem injective_defactorize:
 585 injective nat_fact_all nat defactorize.
 586 unfold injective.
 587 change with (\forall f,g.defactorize f = defactorize g \to f=g).
 588 intro.elim f.
 589 generalize in match H.elim g.
 590 (* zero - zero *)
 591 reflexivity.
 592 (* zero - one *)
 593 simplify in H1.
 594 apply False_ind.
 595 apply (not_eq_O_S O H1).
 596 (* zero - proper *)
 597 simplify in H1.
 598 apply False_ind.
 599 apply (not_le_Sn_n O).
 600 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 601 change with (O < defactorize_aux n O).
 602 apply lt_O_defactorize_aux.
 603 generalize in match H.
 604 elim g.
 605 (* one - zero *)
 606 simplify in H1.
 607 apply False_ind.
 608 apply (not_eq_O_S O).apply sym_eq. assumption.
 609 (* one - one *)
 610 reflexivity.
 611 (* one - proper *)
 612 simplify in H1.
 613 apply False_ind.
 614 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 615 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 616 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 617 apply lt_SO_defactorize_aux.
 618 generalize in match H.elim g.
 619 (* proper - zero *)
 620 simplify in H1.
 621 apply False_ind.
 622 apply (not_le_Sn_n O).
 623 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 624 change with (O < defactorize_aux n O).
 625 apply lt_O_defactorize_aux.
 626 (* proper - one *)
 627 simplify in H1.
 628 apply False_ind.
 629 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 630 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 631 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 632 apply lt_SO_defactorize_aux.
 633 (* proper - proper *)
 634 apply eq_f.
 635 apply (injective_defactorize_aux O).
 636 exact H1.
 637 qed.
 638
 639 theorem factorize_defactorize:
 640 \forall f,g: nat_fact_all. factorize (defactorize f) = f.
 641 intros.
 642 apply injective_defactorize.
 643 apply defactorize_factorize.
 644 qed.