matita/library/nat/factorization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/factorization".
  16
  17 include "nat/ord.ma".
  18 include "nat/gcd.ma".
  19 include "nat/nth_prime.ma".
  20
  21 (* the following factorization algorithm looks for the largest prime
  22    factor. *)
  23 definition max_prime_factor \def \lambda n:nat.
  24 (max n (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O)).
  25
  26 (* max_prime_factor is indeed a factor *)
  27 theorem divides_max_prime_factor_n:
  28   \forall n:nat. (S O) < n
  29   \to nth_prime (max_prime_factor n) \divides n.
  30 intros.
  31 apply divides_b_true_to_divides.
  32 apply (f_max_true  (\lambda p:nat.eqb (n \mod (nth_prime p)) O) n);
  33 cut (\exists i. nth_prime i = smallest_factor n);
  34   [ elim Hcut.
  35     apply (ex_intro nat ? a);
  36     split;
  37     [ apply (trans_le a (nth_prime a));
  38       [ apply le_n_fn;
  39         exact lt_nth_prime_n_nth_prime_Sn;
  40       | rewrite > H1;
  41         apply le_smallest_factor_n; ]
  42     | rewrite > H1;
  43       (*CSC: simplify here does something nasty! *)
  44       change with (divides_b (smallest_factor n) n = true);
  45       apply divides_to_divides_b_true;
  46       [ apply (trans_lt ? (S O));
  47         [ unfold lt; apply le_n;
  48         | apply lt_SO_smallest_factor; assumption; ]
  49       | letin x \def le.auto new.
  50          (*
  51        apply divides_smallest_factor_n;
  52         apply (trans_lt ? (S O));
  53         [ unfold lt; apply le_n;
  54         | assumption; ] *) ] ]
  55   | auto.
  56     (*
  57     apply prime_to_nth_prime;
  58     apply prime_smallest_factor_n;
  59     assumption; *) ]
  60 qed.
  61
  62 theorem divides_to_max_prime_factor : \forall n,m. (S O) < n \to O < m \to n \divides m \to
  63 max_prime_factor n \le max_prime_factor m.
  64 intros.unfold max_prime_factor.
  65 apply f_m_to_le_max.
  66 apply (trans_le ? n).
  67 apply le_max_n.apply divides_to_le.assumption.assumption.
  68 change with (divides_b (nth_prime (max_prime_factor n)) m = true).
  69 apply divides_to_divides_b_true.
  70 cut (prime (nth_prime (max_prime_factor n))).
  71 apply lt_O_nth_prime_n.apply prime_nth_prime.
  72 cut (nth_prime (max_prime_factor n) \divides n).
  73 auto.
  74 auto.
  75 (*
  76   [ apply (transitive_divides ? n);
  77     [ apply divides_max_prime_factor_n.
  78       assumption.
  79     | assumption.
  80     ]
  81   | apply divides_b_true_to_divides;
  82     [ apply lt_O_nth_prime_n.
  83     | apply divides_to_divides_b_true;
  84       [ apply lt_O_nth_prime_n.
  85       | apply divides_max_prime_factor_n.
  86         assumption.
  87       ]
  88     ]
  89   ]
  90 *)
  91 qed.
  92
  93 theorem divides_to_max_prime_factor1 : \forall n,m. O < n \to O < m \to n \divides m \to
  94 max_prime_factor n \le max_prime_factor m.
  95 intros 3.
  96 elim (le_to_or_lt_eq ? ? H)
  97   [apply divides_to_max_prime_factor
  98     [assumption|assumption|assumption]
  99   |rewrite < H1.
 100    simplify.apply le_O_n.
 101   ]
 102 qed.
 103
 104 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor: \forall n,p,q,r. O < n \to
 105 p = max_prime_factor n \to
 106 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
 107 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 108 intros.
 109 rewrite > H1.
 110 cut (max_prime_factor r \lt max_prime_factor n \lor
 111     max_prime_factor r = max_prime_factor n).
 112 elim Hcut.assumption.
 113 absurd (nth_prime (max_prime_factor n) \divides r).
 114 rewrite < H4.
 115 apply divides_max_prime_factor_n.
 116 assumption.unfold Not.
 117 intro.
 118 cut (r \mod (nth_prime (max_prime_factor n)) \neq O);
 119   [unfold Not in Hcut1.auto new.
 120     (*
 121     apply Hcut1.apply divides_to_mod_O;
 122     [ apply lt_O_nth_prime_n.
 123     | assumption.
 124     ]
 125     *)
 126   |letin z \def le.
 127    cut(pair nat nat q r=p_ord_aux n n (nth_prime (max_prime_factor n)));
 128    [2: rewrite < H1.assumption.|letin x \def le.auto width = 4 new]
 129    (* CERCA COME MAI le_n non lo applica se lo trova come Const e non Rel *)
 130   ].
 131 (*
 132     apply (p_ord_aux_to_not_mod_O n n ? q r);
 133     [ apply lt_SO_nth_prime_n.
 134     | assumption.
 135     | apply le_n.
 136     | rewrite < H1.assumption.
 137     ]
 138   ].
 139 *)
 140 apply (le_to_or_lt_eq (max_prime_factor r)  (max_prime_factor n)).
 141 apply divides_to_max_prime_factor.
 142 assumption.assumption.
 143 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 144 rewrite < sym_times.
 145 apply (p_ord_aux_to_exp n n ? q r).
 146 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 147 qed.
 148
 149 theorem p_ord_to_lt_max_prime_factor1: \forall n,p,q,r. O < n \to
 150 max_prime_factor n \le p \to
 151 (pair nat nat q r) = p_ord n (nth_prime p) \to
 152 (S O) < r \to max_prime_factor r < p.
 153 intros.
 154 cut (max_prime_factor n < p \lor max_prime_factor n = p).
 155 elim Hcut.apply (le_to_lt_to_lt ? (max_prime_factor n)).
 156 apply divides_to_max_prime_factor.assumption.assumption.
 157 apply (witness r n ((nth_prime p) \sup q)).
 158 rewrite > sym_times.
 159 apply (p_ord_aux_to_exp n n).
 160 apply lt_O_nth_prime_n.
 161 assumption.assumption.
 162 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor n ? q).
 163 assumption.apply sym_eq.assumption.assumption.assumption.
 164 apply (le_to_or_lt_eq ? p H1).
 165 qed.
 166
 167 (* datatypes and functions *)
 168
 169 inductive nat_fact : Set \def
 170     nf_last : nat \to nat_fact
 171   | nf_cons : nat \to nat_fact \to nat_fact.
 172
 173 inductive nat_fact_all : Set \def
 174     nfa_zero : nat_fact_all
 175   | nfa_one : nat_fact_all
 176   | nfa_proper : nat_fact \to nat_fact_all.
 177
 178 let rec factorize_aux p n acc \def
 179   match p with
 180   [ O \Rightarrow acc
 181   | (S p1) \Rightarrow
 182     match p_ord n (nth_prime p1) with
 183     [ (pair q r) \Rightarrow
 184       factorize_aux p1 r (nf_cons q acc)]].
 185
 186 definition factorize : nat \to nat_fact_all \def \lambda n:nat.
 187   match n with
 188     [ O \Rightarrow nfa_zero
 189     | (S n1) \Rightarrow
 190       match n1 with
 191       [ O \Rightarrow nfa_one
 192     | (S n2) \Rightarrow
 193       let p \def (max (S(S n2)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S n2)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 194       match p_ord (S(S n2)) (nth_prime p) with
 195       [ (pair q r) \Rightarrow
 196            nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))]]].
 197
 198 let rec defactorize_aux f i \def
 199   match f with
 200   [ (nf_last n) \Rightarrow (nth_prime i) \sup (S n)
 201   | (nf_cons n g) \Rightarrow
 202       (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux g (S i))].
 203
 204 definition defactorize : nat_fact_all \to nat \def
 205 \lambda f : nat_fact_all.
 206 match f with
 207 [ nfa_zero \Rightarrow O
 208 | nfa_one \Rightarrow (S O)
 209 | (nfa_proper g) \Rightarrow defactorize_aux g O].
 210
 211 theorem lt_O_defactorize_aux:
 212  \forall f:nat_fact.
 213  \forall i:nat.
 214  O < defactorize_aux f i.
 215 intro; elim f;
 216 [1,2:
 217   simplify; unfold lt;
 218   rewrite > times_n_SO;
 219   apply le_times;
 220   [ change with (O < nth_prime i);
 221     apply lt_O_nth_prime_n;
 222   |2,3:
 223     change with (O < exp (nth_prime i) n);
 224     apply lt_O_exp;
 225     apply lt_O_nth_prime_n;
 226   | change with (O < defactorize_aux n1 (S i));
 227     apply H; ] ]
 228 qed.
 229
 230 theorem lt_SO_defactorize_aux: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 231 S O < defactorize_aux f i.
 232 intro.elim f.simplify.unfold lt.
 233 rewrite > times_n_SO.
 234 apply le_times.
 235 change with (S O < nth_prime i).
 236 apply lt_SO_nth_prime_n.
 237 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 238 apply lt_O_exp.
 239 apply lt_O_nth_prime_n.
 240 simplify.unfold lt.
 241 rewrite > times_n_SO.
 242 rewrite > sym_times.
 243 apply le_times.
 244 change with (O < exp (nth_prime i) n).
 245 apply lt_O_exp.
 246 apply lt_O_nth_prime_n.
 247 change with (S O < defactorize_aux n1 (S i)).
 248 apply H.
 249 qed.
 250
 251 theorem defactorize_aux_factorize_aux :
 252 \forall p,n:nat.\forall acc:nat_fact.O < n \to
 253 ((n=(S O) \land p=O) \lor max_prime_factor n < p) \to
 254 defactorize_aux (factorize_aux p n acc) O = n*(defactorize_aux acc p).
 255 intro.elim p.simplify.
 256 elim H1.elim H2.rewrite > H3.
 257 rewrite > sym_times. apply times_n_SO.
 258 apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (max_prime_factor n) H2).
 259 simplify.
 260 (* generalizing the goal: I guess there exists a better way *)
 261 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) \to
 262 defactorize_aux match (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)) with
 263 [(pair q r)  \Rightarrow (factorize_aux n r (nf_cons q acc))] O =
 264 n1*defactorize_aux acc (S n)).
 265 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))
 266 (snd ? ? (p_ord_aux n1 n1 (nth_prime n)))).
 267 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 268 intros.
 269 rewrite < H3.
 270 simplify.
 271 cut (n1 = r * (nth_prime n) \sup q).
 272 rewrite > H.
 273 simplify.rewrite < assoc_times.
 274 rewrite < Hcut.reflexivity.
 275 cut (O < r \lor O = r).
 276 elim Hcut1.assumption.absurd (n1 = O).
 277 rewrite > Hcut.rewrite < H4.reflexivity.
 278 unfold Not. intro.apply (not_le_Sn_O O).
 279 rewrite < H5 in \vdash (? ? %).assumption.
 280 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 281 cut ((S O) < r \lor (S O) \nlt r).
 282 elim Hcut1.
 283 right.
 284 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 n1 ? q r).
 285 assumption.elim H2.
 286 elim H5.
 287 apply False_ind.
 288 apply (not_eq_O_S n).apply sym_eq.assumption.
 289 apply le_S_S_to_le.
 290 exact H5.
 291 assumption.assumption.
 292 cut (r=(S O)).
 293 apply (nat_case n).
 294 left.split.assumption.reflexivity.
 295 intro.right.rewrite > Hcut2.
 296 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 297 cut (r < (S O) ∨ r=(S O)).
 298 elim Hcut2.absurd (O=r).
 299 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H5.
 300 unfold Not.intro.
 301 cut (O=n1).
 302 apply (not_le_Sn_O O).
 303 rewrite > Hcut3 in ⊢ (? ? %).
 304 assumption.rewrite > Hcut.
 305 rewrite < H6.reflexivity.
 306 assumption.
 307 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 308 apply not_lt_to_le.assumption.
 309 apply (decidable_lt (S O) r).
 310 rewrite > sym_times.
 311 apply (p_ord_aux_to_exp n1 n1).
 312 apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 313 qed.
 314
 315 theorem defactorize_factorize: \forall n:nat.defactorize (factorize n) = n.
 316 intro.
 317 apply (nat_case n).reflexivity.
 318 intro.apply (nat_case m).reflexivity.
 319 intro.(*CSC: simplify here does something really nasty *)
 320 change with
 321 (let p \def (max (S(S m1)) (\lambda p:nat.eqb ((S(S m1)) \mod (nth_prime p)) O)) in
 322 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 323 [ (pair q r) \Rightarrow
 324    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 325 intro.
 326 (* generalizing the goal; find a better way *)
 327 cut (\forall q,r.(pair nat nat q r) = (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)) \to
 328 defactorize (match p_ord (S(S m1)) (nth_prime p) with
 329 [ (pair q r) \Rightarrow
 330    nfa_proper (factorize_aux p r (nf_last (pred q)))])=(S(S m1))).
 331 apply (Hcut (fst ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))
 332 (snd ? ? (p_ord (S(S m1)) (nth_prime p)))).
 333 apply sym_eq.apply eq_pair_fst_snd.
 334 intros.
 335 rewrite < H.
 336 simplify.
 337 cut ((S(S m1)) = (nth_prime p) \sup q *r).
 338 cut (O<r).
 339 rewrite > defactorize_aux_factorize_aux.
 340 (*CSC: simplify here does something really nasty *)
 341 change with (r*(nth_prime p) \sup (S (pred q)) = (S(S m1))).
 342 cut ((S (pred q)) = q).
 343 rewrite > Hcut2.
 344 rewrite > sym_times.
 345 apply sym_eq.
 346 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 347 apply lt_O_nth_prime_n.
 348 assumption.
 349 (* O < q *)
 350 apply sym_eq. apply S_pred.
 351 cut (O < q \lor O = q).
 352 elim Hcut2.assumption.
 353 absurd (nth_prime p \divides S (S m1)).
 354 apply (divides_max_prime_factor_n (S (S m1))).
 355 unfold lt.apply le_S_S.apply le_S_S. apply le_O_n.
 356 cut ((S(S m1)) = r).
 357 rewrite > Hcut3 in \vdash (? (? ? %)).
 358 (*CSC: simplify here does something really nasty *)
 359 change with (nth_prime p \divides r \to False).
 360 intro.
 361 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O (S(S m1)) (S(S m1)) (nth_prime p) q r).
 362 apply lt_SO_nth_prime_n.
 363 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.apply le_n.
 364 assumption.
 365 apply divides_to_mod_O.apply lt_O_nth_prime_n.assumption.
 366 rewrite > times_n_SO in \vdash (? ? ? %).
 367 rewrite < sym_times.
 368 rewrite > (exp_n_O (nth_prime p)).
 369 rewrite > H1 in \vdash (? ? ? (? (? ? %) ?)).
 370 assumption.
 371 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.assumption.
 372 (* e adesso l'ultimo goal. TASSI: che ora non e' piu' l'ultimo :P *)
 373 cut ((S O) < r \lor S O \nlt r).
 374 elim Hcut2.
 375 right.
 376 apply (p_ord_to_lt_max_prime_factor1 (S(S m1)) ? q r).
 377 unfold lt.apply le_S_S. apply le_O_n.
 378 apply le_n.
 379 assumption.assumption.
 380 cut (r=(S O)).
 381 apply (nat_case p).
 382 left.split.assumption.reflexivity.
 383 intro.right.rewrite > Hcut3.
 384 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 385 cut (r \lt (S O) \or r=(S O)).
 386 elim Hcut3.absurd (O=r).
 387 apply le_n_O_to_eq.apply le_S_S_to_le.exact H2.
 388 unfold Not.intro.
 389 apply (not_le_Sn_O O).
 390 rewrite > H3 in \vdash (? ? %).assumption.assumption.
 391 apply (le_to_or_lt_eq r (S O)).
 392 apply not_lt_to_le.assumption.
 393 apply (decidable_lt (S O) r).
 394 (* O < r *)
 395 cut (O < r \lor O = r).
 396 elim Hcut1.assumption.
 397 apply False_ind.
 398 apply (not_eq_O_S (S m1)).
 399 rewrite > Hcut.rewrite < H1.rewrite < times_n_O.reflexivity.
 400 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
 401 (* prova del cut *)
 402 goal 20.
 403 apply (p_ord_aux_to_exp (S(S m1))).
 404 apply lt_O_nth_prime_n.
 405 assumption.
 406 (* fine prova cut *)
 407 qed.
 408
 409 let rec max_p f \def
 410 match f with
 411 [ (nf_last n) \Rightarrow O
 412 | (nf_cons n g) \Rightarrow S (max_p g)].
 413
 414 let rec max_p_exponent f \def
 415 match f with
 416 [ (nf_last n) \Rightarrow n
 417 | (nf_cons n g) \Rightarrow max_p_exponent g].
 418
 419 theorem divides_max_p_defactorize: \forall f:nat_fact.\forall i:nat.
 420 nth_prime ((max_p f)+i) \divides defactorize_aux f i.
 421 intro.
 422 elim f.simplify.apply (witness ? ? ((nth_prime i) \sup n)).
 423 reflexivity.
 424 change with
 425 (nth_prime (S(max_p n1)+i) \divides
 426 (nth_prime i) \sup n *(defactorize_aux n1 (S i))).
 427 elim (H (S i)).
 428 rewrite > H1.
 429 rewrite < sym_times.
 430 rewrite > assoc_times.
 431 rewrite < plus_n_Sm.
 432 apply (witness ? ? (n2* (nth_prime i) \sup n)).
 433 reflexivity.
 434 qed.
 435
 436 theorem divides_exp_to_divides:
 437 \forall p,n,m:nat. prime p \to
 438 p \divides n \sup m \to p \divides n.
 439 intros 3.elim m.simplify in H1.
 440 apply (transitive_divides p (S O)).assumption.
 441 apply divides_SO_n.
 442 cut (p \divides n \lor p \divides n \sup n1).
 443 elim Hcut.assumption.
 444 apply H.assumption.assumption.
 445 apply divides_times_to_divides.assumption.
 446 exact H2.
 447 qed.
 448
 449 theorem divides_exp_to_eq:
 450 \forall p,q,m:nat. prime p \to prime q \to
 451 p \divides q \sup m \to p = q.
 452 intros.
 453 unfold prime in H1.
 454 elim H1.apply H4.
 455 apply (divides_exp_to_divides p q m).
 456 assumption.assumption.
 457 unfold prime in H.elim H.assumption.
 458 qed.
 459
 460 theorem  not_divides_defactorize_aux: \forall f:nat_fact. \forall i,j:nat.
 461 i < j \to nth_prime i \ndivides defactorize_aux f j.
 462 intro.elim f.
 463 change with
 464 (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup (S n) \to False).
 465 intro.absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 466 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 467 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 468 assumption.unfold Not.
 469 intro.cut (i = j).
 470 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut in \vdash (? ? %).assumption.
 471 apply (injective_nth_prime ? ? H2).
 472 unfold Not.simplify.
 473 intro.
 474 cut (nth_prime i \divides (nth_prime j) \sup n
 475 \lor nth_prime i \divides defactorize_aux n1 (S j)).
 476 elim Hcut.
 477 absurd ((nth_prime i) = (nth_prime j)).
 478 apply (divides_exp_to_eq ? ? n).
 479 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 480 assumption.unfold Not.
 481 intro.
 482 cut (i = j).
 483 apply (not_le_Sn_n i).rewrite > Hcut1 in \vdash (? ? %).assumption.
 484 apply (injective_nth_prime ? ? H4).
 485 apply (H i (S j)).
 486 apply (trans_lt ? j).assumption.unfold lt.apply le_n.
 487 assumption.
 488 apply divides_times_to_divides.
 489 apply prime_nth_prime.assumption.
 490 qed.
 491
 492 lemma not_eq_nf_last_nf_cons: \forall g:nat_fact.\forall n,m,i:nat.
 493 \lnot (defactorize_aux (nf_last n) i= defactorize_aux (nf_cons m g) i).
 494 intros.
 495 change with
 496 (exp (nth_prime i) (S n) = defactorize_aux (nf_cons m g) i \to False).
 497 intro.
 498 cut (S(max_p g)+i= i).
 499 apply (not_le_Sn_n i).
 500 rewrite < Hcut in \vdash (? ? %).
 501 simplify.apply le_S_S.
 502 apply le_plus_n.
 503 apply injective_nth_prime.
 504 apply (divides_exp_to_eq ? ? (S n)).
 505 apply prime_nth_prime.apply prime_nth_prime.
 506 rewrite > H.
 507 change with (divides (nth_prime ((max_p (nf_cons m g))+i))
 508 (defactorize_aux (nf_cons m g) i)).
 509 apply divides_max_p_defactorize.
 510 qed.
 511
 512 lemma not_eq_nf_cons_O_nf_cons: \forall f,g:nat_fact.\forall n,i:nat.
 513 \lnot (defactorize_aux (nf_cons O f) i= defactorize_aux (nf_cons (S n) g) i).
 514 intros.
 515 simplify.unfold Not.rewrite < plus_n_O.
 516 intro.
 517 apply (not_divides_defactorize_aux f i (S i) ?).
 518 unfold lt.apply le_n.
 519 rewrite > H.
 520 rewrite > assoc_times.
 521 apply (witness ? ? ((exp (nth_prime i) n)*(defactorize_aux g (S i)))).
 522 reflexivity.
 523 qed.
 524
 525 theorem eq_defactorize_aux_to_eq: \forall f,g:nat_fact.\forall i:nat.
 526 defactorize_aux f i = defactorize_aux g i \to f = g.
 527 intro.
 528 elim f.
 529 generalize in match H.
 530 elim g.
 531 apply eq_f.
 532 apply inj_S. apply (inj_exp_r (nth_prime i)).
 533 apply lt_SO_nth_prime_n.
 534 assumption.
 535 apply False_ind.
 536 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n2 n n1 i H2).
 537 generalize in match H1.
 538 elim g.
 539 apply False_ind.
 540 apply (not_eq_nf_last_nf_cons n1 n2 n i).
 541 apply sym_eq. assumption.
 542 simplify in H3.
 543 generalize in match H3.
 544 apply (nat_elim2 (\lambda n,n2.
 545 ((nth_prime i) \sup n)*(defactorize_aux n1 (S i)) =
 546 ((nth_prime i) \sup n2)*(defactorize_aux n3 (S i)) \to
 547 nf_cons n n1 = nf_cons n2 n3)).
 548 intro.
 549 elim n4. apply eq_f.
 550 apply (H n3 (S i)).
 551 simplify in H4.
 552 rewrite > plus_n_O.
 553 rewrite > (plus_n_O (defactorize_aux n3 (S i))).assumption.
 554 apply False_ind.
 555 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n1 n3 n5 i).assumption.
 556 intros.
 557 apply False_ind.
 558 apply (not_eq_nf_cons_O_nf_cons n3 n1 n4 i).
 559 apply sym_eq.assumption.
 560 intros.
 561 cut (nf_cons n4 n1 = nf_cons m n3).
 562 cut (n4=m).
 563 cut (n1=n3).
 564 rewrite > Hcut1.rewrite > Hcut2.reflexivity.
 565 change with
 566 (match nf_cons n4 n1 with
 567 [ (nf_last m) \Rightarrow n1
 568 | (nf_cons m g) \Rightarrow g ] = n3).
 569 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 570 change with
 571 (match nf_cons n4 n1 with
 572 [ (nf_last m) \Rightarrow m
 573 | (nf_cons m g) \Rightarrow m ] = m).
 574 rewrite > Hcut.simplify.reflexivity.
 575 apply H4.simplify in H5.
 576 apply (inj_times_r1 (nth_prime i)).
 577 apply lt_O_nth_prime_n.
 578 rewrite < assoc_times.rewrite < assoc_times.assumption.
 579 qed.
 580
 581 theorem injective_defactorize_aux: \forall i:nat.
 582 injective nat_fact nat (\lambda f.defactorize_aux f i).
 583 simplify.
 584 intros.
 585 apply (eq_defactorize_aux_to_eq x y i H).
 586 qed.
 587
 588 theorem injective_defactorize:
 589 injective nat_fact_all nat defactorize.
 590 unfold injective.
 591 change with (\forall f,g.defactorize f = defactorize g \to f=g).
 592 intro.elim f.
 593 generalize in match H.elim g.
 594 (* zero - zero *)
 595 reflexivity.
 596 (* zero - one *)
 597 simplify in H1.
 598 apply False_ind.
 599 apply (not_eq_O_S O H1).
 600 (* zero - proper *)
 601 simplify in H1.
 602 apply False_ind.
 603 apply (not_le_Sn_n O).
 604 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 605 change with (O < defactorize_aux n O).
 606 apply lt_O_defactorize_aux.
 607 generalize in match H.
 608 elim g.
 609 (* one - zero *)
 610 simplify in H1.
 611 apply False_ind.
 612 apply (not_eq_O_S O).apply sym_eq. assumption.
 613 (* one - one *)
 614 reflexivity.
 615 (* one - proper *)
 616 simplify in H1.
 617 apply False_ind.
 618 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 619 rewrite > H1 in \vdash (? ? %).
 620 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 621 apply lt_SO_defactorize_aux.
 622 generalize in match H.elim g.
 623 (* proper - zero *)
 624 simplify in H1.
 625 apply False_ind.
 626 apply (not_le_Sn_n O).
 627 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 628 change with (O < defactorize_aux n O).
 629 apply lt_O_defactorize_aux.
 630 (* proper - one *)
 631 simplify in H1.
 632 apply False_ind.
 633 apply (not_le_Sn_n (S O)).
 634 rewrite < H1 in \vdash (? ? %).
 635 change with ((S O) < defactorize_aux n O).
 636 apply lt_SO_defactorize_aux.
 637 (* proper - proper *)
 638 apply eq_f.
 639 apply (injective_defactorize_aux O).
 640 exact H1.
 641 qed.
 642
 643 theorem factorize_defactorize:
 644 \forall f,g: nat_fact_all. factorize (defactorize f) = f.
 645 intros.
 646 apply injective_defactorize.
 647 apply defactorize_factorize.
 648 qed.