matita/library/nat/ord.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/ord".
  16
  17 include "datatypes/constructors.ma".
  18 include "nat/exp.ma".
  19 include "nat/gcd.ma".
  20 include "nat/relevant_equations.ma". (* required by auto paramod *)
  21
  22 let rec p_ord_aux p n m \def
  23   match n \mod m with
  24   [ O \Rightarrow
  25     match p with
  26       [ O \Rightarrow pair nat nat O n
  27       | (S p) \Rightarrow
  28        match (p_ord_aux p (n / m) m) with
  29        [ (pair q r) \Rightarrow pair nat nat (S q) r] ]
  30   | (S a) \Rightarrow pair nat nat O n].
  31
  32 (* p_ord n m = <q,r> if m divides n q times, with remainder r *)
  33 definition p_ord \def \lambda n,m:nat.p_ord_aux n n m.
  34
  35 theorem p_ord_aux_to_Prop: \forall p,n,m. O < m \to
  36   match p_ord_aux p n m with
  37   [ (pair q r) \Rightarrow n = m \sup q *r ].
  38 intro.
  39 elim p.simplify.
  40 apply (nat_case (n \mod m)).
  41 simplify.apply plus_n_O.
  42 intros.
  43 simplify.apply plus_n_O.
  44 simplify.
  45 apply (nat_case1 (n1 \mod m)).intro.
  46 simplify.
  47 generalize in match (H (n1 / m) m).
  48 elim (p_ord_aux n (n1 / m) m).
  49 simplify.
  50 rewrite > assoc_times.
  51 rewrite < H3.rewrite > (plus_n_O (m*(n1 / m))).
  52 rewrite < H2.
  53 rewrite > sym_times.
  54 rewrite < div_mod.reflexivity.
  55 assumption.assumption.
  56 intros.simplify.apply plus_n_O.
  57 qed.
  58
  59 theorem p_ord_aux_to_exp: \forall p,n,m,q,r. O < m \to
  60   (pair nat nat q r) = p_ord_aux p n m \to n = m \sup q * r.
  61 intros.
  62 change with
  63 match (pair nat nat q r) with
  64   [ (pair q r) \Rightarrow n = m \sup q * r ].
  65 rewrite > H1.
  66 apply p_ord_aux_to_Prop.
  67 assumption.
  68 qed.
  69
  70 (* questo va spostato in primes1.ma *)
  71 theorem p_ord_exp: \forall n,m,i. O < m \to n \mod m \neq O \to
  72 \forall p. i \le p \to p_ord_aux p (m \sup i * n) m = pair nat nat i n.
  73 intros 5.
  74 elim i.
  75 simplify.
  76 rewrite < plus_n_O.
  77 apply (nat_case p).
  78 simplify.
  79 elim (n \mod m).simplify.reflexivity.simplify.reflexivity.
  80 intro.
  81 simplify.
  82 cut (O < n \mod m \lor O = n \mod m).
  83 elim Hcut.apply (lt_O_n_elim (n \mod m) H3).
  84 intros. simplify.reflexivity.
  85 apply False_ind.
  86 apply H1.apply sym_eq.assumption.
  87 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
  88 generalize in match H3.
  89 apply (nat_case p).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O n1 H4).
  90 intros.
  91 simplify. fold simplify (m \sup (S n1)).
  92 cut (((m \sup (S n1)*n) \mod m) = O).
  93 rewrite > Hcut.
  94 simplify.fold simplify (m \sup (S n1)).
  95 cut ((m \sup (S n1) *n) / m = m \sup n1 *n).
  96 rewrite > Hcut1.
  97 rewrite > (H2 m1). simplify.reflexivity.
  98 apply le_S_S_to_le.assumption.
  99 (* div_exp *)
 100 simplify.
 101 rewrite > assoc_times.
 102 apply (lt_O_n_elim m H).
 103 intro.apply div_times.
 104 (* mod_exp = O *)
 105 apply divides_to_mod_O.
 106 assumption.
 107 simplify.rewrite > assoc_times.
 108 apply (witness ? ? (m \sup n1 *n)).reflexivity.
 109 qed.
 110
 111 theorem p_ord_aux_to_Prop1: \forall p,n,m. (S O) < m \to O < n \to n \le p \to
 112   match p_ord_aux p n m with
 113   [ (pair q r) \Rightarrow r \mod m \neq O].
 114 intro.elim p.absurd (O < n).assumption.
 115 apply le_to_not_lt.assumption.
 116 simplify.
 117 apply (nat_case1 (n1 \mod m)).intro.
 118 generalize in match (H (n1 / m) m).
 119 elim (p_ord_aux n (n1 / m) m).
 120 apply H5.assumption.
 121 apply eq_mod_O_to_lt_O_div.
 122 apply (trans_lt ? (S O)).unfold lt.apply le_n.
 123 assumption.assumption.assumption.
 124 apply le_S_S_to_le.
 125 apply (trans_le ? n1).change with (n1 / m < n1).
 126 apply lt_div_n_m_n.assumption.assumption.assumption.
 127 intros.simplify.
 128 rewrite > H4.
 129 unfold Not.intro.
 130 apply (not_eq_O_S m1).
 131 rewrite > H5.reflexivity.
 132 qed.
 133
 134 theorem p_ord_aux_to_not_mod_O: \forall p,n,m,q,r. (S O) < m \to O < n \to n \le p \to
 135  pair nat nat q r = p_ord_aux p n m \to r \mod m \neq O.
 136 intros.
 137 change with
 138   match (pair nat nat q r) with
 139   [ (pair q r) \Rightarrow r \mod m \neq O].
 140 rewrite > H3.
 141 apply p_ord_aux_to_Prop1.
 142 assumption.assumption.assumption.
 143 qed.
 144
 145 theorem p_ord_exp1: \forall p,n,q,r. O < p \to \lnot p \divides r \to
 146 n = p \sup q * r \to p_ord n p = pair nat nat q r.
 147 intros.unfold p_ord.
 148 rewrite > H2.
 149 apply p_ord_exp
 150  [assumption
 151  |unfold.intro.apply H1.
 152   apply mod_O_to_divides[assumption|assumption]
 153  |apply (trans_le ? (p \sup q)).
 154   cut ((S O) \lt p).
 155   elim q.simplify.apply le_n_Sn.
 156   simplify.
 157   generalize in match H3.
 158   apply (nat_case n1).simplify.
 159   rewrite < times_n_SO.intro.assumption.
 160   intros.
 161   apply (trans_le ? (p*(S m))).
 162   apply (trans_le ? ((S (S O))*(S m))).
 163   simplify.rewrite > plus_n_Sm.
 164   rewrite < plus_n_O.
 165   apply le_plus_n.
 166   apply le_times_l.
 167   assumption.
 168   apply le_times_r.assumption.
 169 alias id "not_eq_to_le_to_lt" = "cic:/matita/algebra/finite_groups/not_eq_to_le_to_lt.con".
 170 apply not_eq_to_le_to_lt.
 171   unfold.intro.apply H1.
 172   rewrite < H3.
 173   apply (witness ? r r ?).simplify.apply plus_n_O.
 174   assumption.
 175   rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?).
 176   apply le_times_r.
 177   change with (O \lt r).
 178   apply not_eq_to_le_to_lt.
 179   unfold.intro.
 180   apply H1.rewrite < H3.
 181   apply (witness ? ? O ?).rewrite < times_n_O.reflexivity.
 182   apply le_O_n.
 183   ]
 184 qed.
 185
 186 theorem p_ord_to_exp1: \forall p,n,q,r. (S O) \lt p \to O \lt n \to p_ord n p = pair nat nat q r\to
 187 \lnot p \divides r \land n = p \sup q * r.
 188 intros.
 189 unfold p_ord in H2.
 190 split.unfold.intro.
 191 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O n n p q r).assumption.assumption.
 192 apply le_n.symmetry.assumption.
 193 apply divides_to_mod_O.apply (trans_lt ? (S O)).
 194 unfold.apply le_n.assumption.assumption.
 195 apply (p_ord_aux_to_exp n).apply (trans_lt ? (S O)).
 196 unfold.apply le_n.assumption.symmetry.assumption.
 197 qed.
 198
 199 theorem p_ord_times: \forall p,a,b,qa,ra,qb,rb. prime p
 200 \to O \lt a \to O \lt b
 201 \to p_ord a p = pair nat nat qa ra
 202 \to p_ord b p = pair nat nat qb rb
 203 \to p_ord (a*b) p = pair nat nat (qa + qb) (ra*rb).
 204 intros.
 205 cut ((S O) \lt p).
 206 elim (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H1 H3).
 207 elim (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H2 H4).
 208 apply p_ord_exp1.
 209 apply (trans_lt ? (S O)).unfold.apply le_n.assumption.
 210 unfold.intro.
 211 elim (divides_times_to_divides ? ? ? H H9).
 212 apply (absurd ? ? H10 H5).
 213 apply (absurd ? ? H10 H7).
 214 (* rewrite > H6.
 215 rewrite > H8. *)
 216 auto paramodulation.
 217 unfold prime in H. elim H. assumption.
 218 qed.
 219
 220 theorem fst_p_ord_times: \forall p,a,b. prime p
 221 \to O \lt a \to O \lt b
 222 \to fst ? ? (p_ord (a*b) p) = (fst ? ? (p_ord a p)) + (fst ? ? (p_ord b p)).
 223 intros.
 224 rewrite > (p_ord_times p a b (fst ? ? (p_ord a p)) (snd ? ? (p_ord a p))
 225 (fst ? ? (p_ord b p)) (snd ? ? (p_ord b p)) H H1 H2).
 226 simplify.reflexivity.
 227 apply eq_pair_fst_snd.
 228 apply eq_pair_fst_snd.
 229 qed.
 230
 231 theorem p_ord_p : \forall p:nat. (S O) \lt p \to p_ord p p = pair ? ? (S O) (S O).
 232 intros.
 233 apply p_ord_exp1.
 234 apply (trans_lt ? (S O)). unfold.apply le_n.assumption.
 235 unfold.intro.
 236 apply (absurd ? ? H).
 237 apply le_to_not_lt.
 238 apply divides_to_le.unfold.apply le_n.assumption.
 239 rewrite < times_n_SO.
 240 apply exp_n_SO.
 241 qed.
 242
 243 (* spostare *)
 244 theorem le_plus_to_le:
 245 \forall a,n,m. a + n \le a + m \to n \le m.
 246 intro.
 247 elim a
 248   [assumption
 249   |apply H.
 250    apply le_S_S_to_le.assumption
 251   ]
 252 qed.
 253
 254 theorem le_times_to_le:
 255 \forall a,n,m. O < a \to a * n \le a * m \to n \le m.
 256 intro.
 257 apply nat_elim2;intros
 258   [apply le_O_n
 259   |apply False_ind.
 260    rewrite < times_n_O in H1.
 261    generalize in match H1.
 262    apply (lt_O_n_elim ? H).
 263    intros.
 264    simplify in H2.
 265    apply (le_to_not_lt ? ? H2).
 266    apply lt_O_S
 267   |apply le_S_S.
 268    apply H
 269     [assumption
 270     |rewrite < times_n_Sm in H2.
 271      rewrite < times_n_Sm in H2.
 272      apply (le_plus_to_le a).
 273      assumption
 274     ]
 275   ]
 276 qed.
 277
 278 theorem le_exp_to_le:
 279 \forall a,n,m. S O < a \to exp a n \le exp a m \to n \le m.
 280 intro.
 281 apply nat_elim2;intros
 282   [apply le_O_n
 283   |apply False_ind.
 284    apply (le_to_not_lt ? ? H1).
 285    simplify.
 286    rewrite > times_n_SO.
 287    apply lt_to_le_to_lt_times
 288     [assumption
 289     |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 290     |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 291     ]
 292   |simplify in H2.
 293    apply le_S_S.
 294    apply H
 295     [assumption
 296     |apply (le_times_to_le a)
 297       [apply lt_to_le.assumption|assumption]
 298     ]
 299   ]
 300 qed.
 301
 302 theorem divides_to_p_ord: \forall p,a,b,c,d,n,m:nat.
 303 O < n \to O < m \to prime p
 304 \to divides n m \to p_ord n p = pair ? ? a b \to
 305 p_ord m p = pair ? ? c d \to divides b d \land a \le c.
 306 intros.
 307 cut (S O < p)
 308   [lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H H4).
 309    lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H1 H5).
 310    elim Hletin. clear Hletin.
 311    elim Hletin1. clear Hletin1.
 312    rewrite > H9 in H3.
 313    split
 314     [apply (gcd_SO_to_divides_times_to_divides (exp p c))
 315       [elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_O_n b))
 316         [assumption
 317         |apply False_ind.
 318          apply (lt_to_not_eq O ? H).
 319          rewrite > H7.
 320          rewrite < H10.
 321          auto
 322         ]
 323       |elim c
 324         [rewrite > sym_gcd.
 325          apply gcd_SO_n
 326         |simplify.
 327          apply eq_gcd_times_SO
 328           [apply lt_to_le.assumption
 329           |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 330           |rewrite > sym_gcd.
 331            (* hint non trova prime_to_gcd_SO e
 332               auto non chiude il goal *)
 333            apply prime_to_gcd_SO
 334             [assumption|assumption]
 335           |assumption
 336           ]
 337         ]
 338       |apply (trans_divides ? n)
 339         [apply (witness ? ? (exp p a)).
 340          rewrite > sym_times.
 341          assumption
 342         |assumption
 343         ]
 344       ]
 345     |apply (le_exp_to_le p)
 346       [assumption
 347       |apply divides_to_le
 348         [apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 349         |apply (gcd_SO_to_divides_times_to_divides d)
 350           [apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 351           |elim a
 352             [apply gcd_SO_n
 353             |simplify.rewrite < sym_gcd.
 354              apply eq_gcd_times_SO
 355               [apply lt_to_le.assumption
 356               |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 357               |rewrite > sym_gcd.
 358               (* hint non trova prime_to_gcd_SO e
 359                  auto non chiude il goal *)
 360                apply prime_to_gcd_SO
 361                 [assumption|assumption]
 362               |rewrite > sym_gcd. assumption
 363               ]
 364             ]
 365           |apply (trans_divides ? n)
 366             [apply (witness ? ? b).assumption
 367             |rewrite > sym_times.assumption
 368             ]
 369           ]
 370         ]
 371       ]
 372     ]
 373   |elim H2.assumption
 374   ]
 375 qed.
 376
 377 definition ord :nat \to nat \to nat \def
 378 \lambda n,p. fst ? ? (p_ord n p).
 379
 380 definition ord_rem :nat \to nat \to nat \def
 381 \lambda n,p. snd ? ? (p_ord n p).
 382
 383 theorem divides_to_ord: \forall p,n,m:nat.
 384 O < n \to O < m \to prime p
 385 \to divides n m
 386 \to divides (ord_rem n p) (ord_rem m p) \land (ord n p) \le (ord m p).
 387 intros.
 388 apply (divides_to_p_ord p ? ? ? ? n m H H1 H2 H3)
 389   [unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 390   |unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 391   ]
 392 qed.
 393
 394 theorem divides_to_divides_ord_rem: \forall p,n,m:nat.
 395 O < n \to O < m \to prime p \to divides n m \to
 396 divides (ord_rem n p) (ord_rem m p).
 397 intros.
 398 elim (divides_to_ord p n m H H1 H2 H3).assumption.
 399 qed.
 400
 401 theorem divides_to_le_ord: \forall p,n,m:nat.
 402 O < n \to O < m \to prime p \to divides n m \to
 403 (ord n p) \le (ord m p).
 404 intros.
 405 elim (divides_to_ord p n m H H1 H2 H3).assumption.
 406 qed.
 407
 408 theorem exp_ord: \forall p,n. (S O) \lt p
 409 \to O \lt n \to n = p \sup (ord n p) * (ord_rem n p).
 410 intros.
 411 elim (p_ord_to_exp1 p n (ord n p) (ord_rem n p))
 412   [assumption
 413   |assumption
 414   |assumption
 415   |unfold ord.unfold ord_rem.
 416    apply eq_pair_fst_snd
 417   ]
 418 qed.
 419
 420 theorem divides_ord_rem: \forall p,n. (S O) < p \to O < n
 421 \to divides (ord_rem n p) n.
 422 intros.
 423 apply (witness ? ? (p \sup (ord n p))).
 424 rewrite > sym_times.
 425 apply exp_ord[assumption|assumption]
 426 qed.
 427
 428 theorem lt_O_ord_rem: \forall p,n. (S O) < p \to O < n \to O < ord_rem n p.
 429 intros.
 430 elim (le_to_or_lt_eq O (ord_rem n p))
 431   [assumption
 432   |apply False_ind.
 433    apply (lt_to_not_eq ? ? H1).
 434    lapply (divides_ord_rem ? ? H H1).
 435    rewrite < H2 in Hletin.
 436    elim Hletin.
 437    rewrite > H3.
 438    reflexivity
 439   |apply le_O_n
 440   ]
 441 qed.