matita/library/nat/ord.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/ord".
  16
  17 include "datatypes/constructors.ma".
  18 include "nat/exp.ma".
  19 include "nat/nth_prime.ma".
  20 include "nat/relevant_equations.ma". (* required by autobatch paramod *)
  21
  22 let rec p_ord_aux p n m \def
  23   match n \mod m with
  24   [ O \Rightarrow
  25     match p with
  26       [ O \Rightarrow pair nat nat O n
  27       | (S p) \Rightarrow
  28        match (p_ord_aux p (n / m) m) with
  29        [ (pair q r) \Rightarrow pair nat nat (S q) r] ]
  30   | (S a) \Rightarrow pair nat nat O n].
  31
  32 (* p_ord n m = <q,r> if m divides n q times, with remainder r *)
  33 definition p_ord \def \lambda n,m:nat.p_ord_aux n n m.
  34
  35 theorem p_ord_aux_to_Prop: \forall p,n,m. O < m \to
  36   match p_ord_aux p n m with
  37   [ (pair q r) \Rightarrow n = m \sup q *r ].
  38 intro.
  39 elim p.simplify.
  40 apply (nat_case (n \mod m)).
  41 simplify.apply plus_n_O.
  42 intros.
  43 simplify.apply plus_n_O.
  44 simplify.
  45 apply (nat_case1 (n1 \mod m)).intro.
  46 simplify.
  47 generalize in match (H (n1 / m) m).
  48 elim (p_ord_aux n (n1 / m) m).
  49 simplify.
  50 rewrite > assoc_times.
  51 rewrite < H3.rewrite > (plus_n_O (m*(n1 / m))).
  52 rewrite < H2.
  53 rewrite > sym_times.
  54 rewrite < div_mod.reflexivity.
  55 assumption.assumption.
  56 intros.simplify.apply plus_n_O.
  57 qed.
  58
  59 theorem p_ord_aux_to_exp: \forall p,n,m,q,r. O < m \to
  60   (pair nat nat q r) = p_ord_aux p n m \to n = m \sup q * r.
  61 intros.
  62 change with
  63 match (pair nat nat q r) with
  64   [ (pair q r) \Rightarrow n = m \sup q * r ].
  65 rewrite > H1.
  66 apply p_ord_aux_to_Prop.
  67 assumption.
  68 qed.
  69
  70 (* questo va spostato in primes1.ma *)
  71 theorem p_ord_exp: \forall n,m,i. O < m \to n \mod m \neq O \to
  72 \forall p. i \le p \to p_ord_aux p (m \sup i * n) m = pair nat nat i n.
  73 intros 5.
  74 elim i.
  75 simplify.
  76 rewrite < plus_n_O.
  77 apply (nat_case p).
  78 simplify.
  79 elim (n \mod m).simplify.reflexivity.simplify.reflexivity.
  80 intro.
  81 simplify.
  82 cut (O < n \mod m \lor O = n \mod m).
  83 elim Hcut.apply (lt_O_n_elim (n \mod m) H3).
  84 intros. simplify.reflexivity.
  85 apply False_ind.
  86 apply H1.apply sym_eq.assumption.
  87 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
  88 generalize in match H3.
  89 apply (nat_case p).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O n1 H4).
  90 intros.
  91 simplify. fold simplify (m \sup (S n1)).
  92 cut (((m \sup (S n1)*n) \mod m) = O).
  93 rewrite > Hcut.
  94 simplify.fold simplify (m \sup (S n1)).
  95 cut ((m \sup (S n1) *n) / m = m \sup n1 *n).
  96 rewrite > Hcut1.
  97 rewrite > (H2 m1). simplify.reflexivity.
  98 apply le_S_S_to_le.assumption.
  99 (* div_exp *)
 100 simplify.
 101 rewrite > assoc_times.
 102 apply (lt_O_n_elim m H).
 103 intro.apply div_times.
 104 (* mod_exp = O *)
 105 apply divides_to_mod_O.
 106 assumption.
 107 simplify.rewrite > assoc_times.
 108 apply (witness ? ? (m \sup n1 *n)).reflexivity.
 109 qed.
 110
 111 theorem p_ord_aux_to_Prop1: \forall p,n,m. (S O) < m \to O < n \to n \le p \to
 112   match p_ord_aux p n m with
 113   [ (pair q r) \Rightarrow r \mod m \neq O].
 114 intro.elim p.absurd (O < n).assumption.
 115 apply le_to_not_lt.assumption.
 116 simplify.
 117 apply (nat_case1 (n1 \mod m)).intro.
 118 generalize in match (H (n1 / m) m).
 119 elim (p_ord_aux n (n1 / m) m).
 120 apply H5.assumption.
 121 apply eq_mod_O_to_lt_O_div.
 122 apply (trans_lt ? (S O)).unfold lt.apply le_n.
 123 assumption.assumption.assumption.
 124 apply le_S_S_to_le.
 125 apply (trans_le ? n1).change with (n1 / m < n1).
 126 apply lt_div_n_m_n.assumption.assumption.assumption.
 127 intros.simplify.
 128 rewrite > H4.
 129 unfold Not.intro.
 130 apply (not_eq_O_S m1).
 131 rewrite > H5.reflexivity.
 132 qed.
 133
 134 theorem p_ord_aux_to_not_mod_O: \forall p,n,m,q,r. (S O) < m \to O < n \to n \le p \to
 135  pair nat nat q r = p_ord_aux p n m \to r \mod m \neq O.
 136 intros.
 137 change with
 138   match (pair nat nat q r) with
 139   [ (pair q r) \Rightarrow r \mod m \neq O].
 140 rewrite > H3.
 141 apply p_ord_aux_to_Prop1.
 142 assumption.assumption.assumption.
 143 qed.
 144
 145 theorem p_ord_exp1: \forall p,n,q,r. O < p \to \lnot p \divides r \to
 146 n = p \sup q * r \to p_ord n p = pair nat nat q r.
 147 intros.unfold p_ord.
 148 rewrite > H2.
 149 apply p_ord_exp
 150  [assumption
 151  |unfold.intro.apply H1.
 152   apply mod_O_to_divides[assumption|assumption]
 153  |apply (trans_le ? (p \sup q)).
 154   cut ((S O) \lt p).
 155   elim q.simplify.apply le_n_Sn.
 156   simplify.
 157   generalize in match H3.
 158   apply (nat_case n1).simplify.
 159   rewrite < times_n_SO.intro.assumption.
 160   intros.
 161   apply (trans_le ? (p*(S m))).
 162   apply (trans_le ? ((S (S O))*(S m))).
 163   simplify.rewrite > plus_n_Sm.
 164   rewrite < plus_n_O.
 165   apply le_plus_n.
 166   apply le_times_l.
 167   assumption.
 168   apply le_times_r.assumption.
 169 alias id "not_eq_to_le_to_lt" = "cic:/matita/algebra/finite_groups/not_eq_to_le_to_lt.con".
 170 apply not_eq_to_le_to_lt.
 171   unfold.intro.apply H1.
 172   rewrite < H3.
 173   apply (witness ? r r ?).simplify.apply plus_n_O.
 174   assumption.
 175   rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?).
 176   apply le_times_r.
 177   change with (O \lt r).
 178   apply not_eq_to_le_to_lt.
 179   unfold.intro.
 180   apply H1.rewrite < H3.
 181   apply (witness ? ? O ?).rewrite < times_n_O.reflexivity.
 182   apply le_O_n.
 183   ]
 184 qed.
 185
 186 theorem p_ord_to_exp1: \forall p,n,q,r. (S O) \lt p \to O \lt n \to p_ord n p = pair nat nat q r\to
 187 \lnot p \divides r \land n = p \sup q * r.
 188 intros.
 189 unfold p_ord in H2.
 190 split.unfold.intro.
 191 apply (p_ord_aux_to_not_mod_O n n p q r).assumption.assumption.
 192 apply le_n.symmetry.assumption.
 193 apply divides_to_mod_O.apply (trans_lt ? (S O)).
 194 unfold.apply le_n.assumption.assumption.
 195 apply (p_ord_aux_to_exp n).apply (trans_lt ? (S O)).
 196 unfold.apply le_n.assumption.symmetry.assumption.
 197 qed.
 198
 199 theorem p_ord_times: \forall p,a,b,qa,ra,qb,rb. prime p
 200 \to O \lt a \to O \lt b
 201 \to p_ord a p = pair nat nat qa ra
 202 \to p_ord b p = pair nat nat qb rb
 203 \to p_ord (a*b) p = pair nat nat (qa + qb) (ra*rb).
 204 intros.
 205 cut ((S O) \lt p).
 206 elim (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H1 H3).
 207 elim (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H2 H4).
 208 apply p_ord_exp1.
 209 apply (trans_lt ? (S O)).unfold.apply le_n.assumption.
 210 unfold.intro.
 211 elim (divides_times_to_divides ? ? ? H H9).
 212 apply (absurd ? ? H10 H5).
 213 apply (absurd ? ? H10 H7).
 214 (* rewrite > H6.
 215 rewrite > H8. *)
 216 autobatch paramodulation.
 217 unfold prime in H. elim H. assumption.
 218 qed.
 219
 220 theorem fst_p_ord_times: \forall p,a,b. prime p
 221 \to O \lt a \to O \lt b
 222 \to fst ? ? (p_ord (a*b) p) = (fst ? ? (p_ord a p)) + (fst ? ? (p_ord b p)).
 223 intros.
 224 rewrite > (p_ord_times p a b (fst ? ? (p_ord a p)) (snd ? ? (p_ord a p))
 225 (fst ? ? (p_ord b p)) (snd ? ? (p_ord b p)) H H1 H2).
 226 simplify.reflexivity.
 227 apply eq_pair_fst_snd.
 228 apply eq_pair_fst_snd.
 229 qed.
 230
 231 theorem p_ord_p : \forall p:nat. (S O) \lt p \to p_ord p p = pair ? ? (S O) (S O).
 232 intros.
 233 apply p_ord_exp1.
 234 apply (trans_lt ? (S O)). unfold.apply le_n.assumption.
 235 unfold.intro.
 236 apply (absurd ? ? H).
 237 apply le_to_not_lt.
 238 apply divides_to_le.unfold.apply le_n.assumption.
 239 rewrite < times_n_SO.
 240 apply exp_n_SO.
 241 qed.
 242
 243 (* p_ord and divides *)
 244 theorem divides_to_p_ord: \forall p,a,b,c,d,n,m:nat.
 245 O < n \to O < m \to prime p
 246 \to divides n m \to p_ord n p = pair ? ? a b \to
 247 p_ord m p = pair ? ? c d \to divides b d \land a \le c.
 248 intros.
 249 cut (S O < p)
 250   [lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H H4).
 251    lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? Hcut H1 H5).
 252    elim Hletin. clear Hletin.
 253    elim Hletin1. clear Hletin1.
 254    rewrite > H9 in H3.
 255    split
 256     [apply (gcd_SO_to_divides_times_to_divides (exp p c))
 257       [elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_O_n b))
 258         [assumption
 259         |apply False_ind.
 260          apply (lt_to_not_eq O ? H).
 261          rewrite > H7.
 262          rewrite < H10.
 263          autobatch
 264         ]
 265       |elim c
 266         [rewrite > sym_gcd.
 267          apply gcd_SO_n
 268         |simplify.
 269          apply eq_gcd_times_SO
 270           [apply lt_to_le.assumption
 271           |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 272           |rewrite > sym_gcd.
 273            (* hint non trova prime_to_gcd_SO e
 274               autobatch non chiude il goal *)
 275            apply prime_to_gcd_SO
 276             [assumption|assumption]
 277           |assumption
 278           ]
 279         ]
 280       |apply (trans_divides ? n)
 281         [apply (witness ? ? (exp p a)).
 282          rewrite > sym_times.
 283          assumption
 284         |assumption
 285         ]
 286       ]
 287     |apply (le_exp_to_le p)
 288       [assumption
 289       |apply divides_to_le
 290         [apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 291         |apply (gcd_SO_to_divides_times_to_divides d)
 292           [apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 293           |elim a
 294             [apply gcd_SO_n
 295             |simplify.rewrite < sym_gcd.
 296              apply eq_gcd_times_SO
 297               [apply lt_to_le.assumption
 298               |apply lt_O_exp.apply lt_to_le.assumption
 299               |rewrite > sym_gcd.
 300               (* hint non trova prime_to_gcd_SO e
 301                  autobatch non chiude il goal *)
 302                apply prime_to_gcd_SO
 303                 [assumption|assumption]
 304               |rewrite > sym_gcd. assumption
 305               ]
 306             ]
 307           |apply (trans_divides ? n)
 308             [apply (witness ? ? b).assumption
 309             |rewrite > sym_times.assumption
 310             ]
 311           ]
 312         ]
 313       ]
 314     ]
 315   |elim H2.assumption
 316   ]
 317 qed.
 318
 319 (* p_ord and primes *)
 320 theorem not_divides_to_p_ord_O: \forall n,i.
 321 Not (divides (nth_prime i) n) \to p_ord n (nth_prime i) =
 322 pair nat nat O n.
 323 intros.
 324 apply p_ord_exp1
 325   [apply lt_O_nth_prime_n
 326   |assumption
 327   |autobatch
 328   ]
 329 qed.
 330
 331 theorem p_ord_O_to_not_divides: \forall n,i,r.
 332 O < n \to
 333 p_ord n (nth_prime i) = pair nat nat O r
 334 \to Not (divides (nth_prime i) n).
 335 intros.
 336 lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? ? ? H1)
 337   [apply lt_SO_nth_prime_n
 338   |assumption
 339   |elim Hletin.
 340    simplify in H3.
 341    rewrite > H3.
 342    rewrite < plus_n_O.
 343    assumption
 344   ]
 345 qed.
 346
 347 theorem p_ord_to_not_eq_O : \forall n,p,q,r.
 348   (S O) < n \to
 349   p_ord n (nth_prime p) = pair nat nat q r \to
 350   Not (r=O).
 351 intros.
 352 unfold.intro.
 353 cut (O < n)
 354   [lapply (p_ord_to_exp1 ? ? ? ? ? ? H1)
 355     [apply lt_SO_nth_prime_n.
 356     |assumption
 357     |elim Hletin.
 358      apply (lt_to_not_eq ? ? Hcut).
 359      rewrite > H4.
 360      rewrite > H2.
 361      apply times_n_O
 362     ]
 363   |apply (trans_lt ? (S O))[apply lt_O_S|assumption]
 364   ]
 365 qed.
 366
 367 definition ord :nat \to nat \to nat \def
 368 \lambda n,p. fst ? ? (p_ord n p).
 369
 370 definition ord_rem :nat \to nat \to nat \def
 371 \lambda n,p. snd ? ? (p_ord n p).
 372
 373 theorem divides_to_ord: \forall p,n,m:nat.
 374 O < n \to O < m \to prime p
 375 \to divides n m
 376 \to divides (ord_rem n p) (ord_rem m p) \land (ord n p) \le (ord m p).
 377 intros.
 378 apply (divides_to_p_ord p ? ? ? ? n m H H1 H2 H3)
 379   [unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 380   |unfold ord.unfold ord_rem.apply eq_pair_fst_snd
 381   ]
 382 qed.
 383
 384 theorem divides_to_divides_ord_rem: \forall p,n,m:nat.
 385 O < n \to O < m \to prime p \to divides n m \to
 386 divides (ord_rem n p) (ord_rem m p).
 387 intros.
 388 elim (divides_to_ord p n m H H1 H2 H3).assumption.
 389 qed.
 390
 391 theorem divides_to_le_ord: \forall p,n,m:nat.
 392 O < n \to O < m \to prime p \to divides n m \to
 393 (ord n p) \le (ord m p).
 394 intros.
 395 elim (divides_to_ord p n m H H1 H2 H3).assumption.
 396 qed.
 397
 398 theorem exp_ord: \forall p,n. (S O) \lt p
 399 \to O \lt n \to n = p \sup (ord n p) * (ord_rem n p).
 400 intros.
 401 elim (p_ord_to_exp1 p n (ord n p) (ord_rem n p))
 402   [assumption
 403   |assumption
 404   |assumption
 405   |unfold ord.unfold ord_rem.
 406    apply eq_pair_fst_snd
 407   ]
 408 qed.
 409
 410 theorem divides_ord_rem: \forall p,n. (S O) < p \to O < n
 411 \to divides (ord_rem n p) n.
 412 intros.
 413 apply (witness ? ? (p \sup (ord n p))).
 414 rewrite > sym_times.
 415 apply exp_ord[assumption|assumption]
 416 qed.
 417
 418 theorem lt_O_ord_rem: \forall p,n. (S O) < p \to O < n \to O < ord_rem n p.
 419 intros.
 420 elim (le_to_or_lt_eq O (ord_rem n p))
 421   [assumption
 422   |apply False_ind.
 423    apply (lt_to_not_eq ? ? H1).
 424    lapply (divides_ord_rem ? ? H H1).
 425    rewrite < H2 in Hletin.
 426    elim Hletin.
 427    rewrite > H3.
 428    reflexivity
 429   |apply le_O_n
 430   ]
 431 qed.
 432
 433 (* p_ord_inv is the inverse of ord *)
 434 definition p_ord_inv \def
 435 \lambda p,m,x.
 436   match p_ord x p with
 437   [pair q r \Rightarrow r*m+q].
 438
 439 theorem  eq_p_ord_inv: \forall p,m,x.
 440 p_ord_inv p m x = (ord_rem x p)*m+(ord x p).
 441 intros.unfold p_ord_inv. unfold ord_rem.
 442 unfold ord.
 443 elim (p_ord x p).
 444 reflexivity.
 445 qed.
 446
 447 theorem div_p_ord_inv:
 448 \forall p,m,x. ord x p < m \to p_ord_inv p m x / m = ord_rem x p.
 449 intros.rewrite > eq_p_ord_inv.
 450 apply div_plus_times.
 451 assumption.
 452 qed.
 453
 454 theorem mod_p_ord_inv:
 455 \forall p,m,x. ord x p < m \to p_ord_inv p m x \mod m = ord x p.
 456 intros.rewrite > eq_p_ord_inv.
 457 apply mod_plus_times.
 458 assumption.
 459 qed.