matita/library/nat/ord.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/log".
  16
  17 include "datatypes/constructors.ma".
  18 include "nat/exp.ma".
  19 include "nat/lt_arith.ma".
  20 include "nat/primes.ma".
  21
  22 (* this definition of log is based on pairs, with a remainder *)
  23
  24 let rec p_ord_aux p n m \def
  25   match n \mod m with
  26   [ O \Rightarrow
  27     match p with
  28       [ O \Rightarrow pair nat nat O n
  29       | (S p) \Rightarrow
  30        match (p_ord_aux p (n / m) m) with
  31        [ (pair q r) \Rightarrow pair nat nat (S q) r] ]
  32   | (S a) \Rightarrow pair nat nat O n].
  33
  34 (* p_ord n m = <q,r> if m divides n q times, with remainder r *)
  35 definition p_ord \def \lambda n,m:nat.p_ord_aux n n m.
  36
  37 theorem p_ord_aux_to_Prop: \forall p,n,m. O < m \to
  38   match p_ord_aux p n m with
  39   [ (pair q r) \Rightarrow n = m \sup q *r ].
  40 intro.
  41 elim p.simplify.
  42 apply (nat_case (n \mod m)).
  43 simplify.apply plus_n_O.
  44 intros.
  45 simplify.apply plus_n_O.
  46 simplify.
  47 apply (nat_case1 (n1 \mod m)).intro.
  48 simplify.
  49 generalize in match (H (n1 / m) m).
  50 elim (p_ord_aux n (n1 / m) m).
  51 simplify.
  52 rewrite > assoc_times.
  53 rewrite < H3.rewrite > (plus_n_O (m*(n1 / m))).
  54 rewrite < H2.
  55 rewrite > sym_times.
  56 rewrite < div_mod.reflexivity.
  57 assumption.assumption.
  58 intros.simplify.apply plus_n_O.
  59 qed.
  60
  61 theorem p_ord_aux_to_exp: \forall p,n,m,q,r. O < m \to
  62   (pair nat nat q r) = p_ord_aux p n m \to n = m \sup q * r.
  63 intros.
  64 change with
  65 match (pair nat nat q r) with
  66   [ (pair q r) \Rightarrow n = m \sup q * r ].
  67 rewrite > H1.
  68 apply p_ord_aux_to_Prop.
  69 assumption.
  70 qed.
  71 (* questo va spostato in primes1.ma *)
  72 theorem p_ord_exp: \forall n,m,i. O < m \to n \mod m \neq O \to
  73 \forall p. i \le p \to p_ord_aux p (m \sup i * n) m = pair nat nat i n.
  74 intros 5.
  75 elim i.
  76 simplify.
  77 rewrite < plus_n_O.
  78 apply (nat_case p).
  79 simplify.
  80 elim (n \mod m).simplify.reflexivity.simplify.reflexivity.
  81 intro.
  82 simplify.
  83 cut (O < n \mod m \lor O = n \mod m).
  84 elim Hcut.apply (lt_O_n_elim (n \mod m) H3).
  85 intros. simplify.reflexivity.
  86 apply False_ind.
  87 apply H1.apply sym_eq.assumption.
  88 apply le_to_or_lt_eq.apply le_O_n.
  89 generalize in match H3.
  90 apply (nat_case p).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O n1 H4).
  91 intros.
  92 simplify. fold simplify (m \sup (S n1)).
  93 cut (((m \sup (S n1)*n) \mod m) = O).
  94 rewrite > Hcut.
  95 simplify.fold simplify (m \sup (S n1)).
  96 cut ((m \sup (S n1) *n) / m = m \sup n1 *n).
  97 rewrite > Hcut1.
  98 rewrite > (H2 m1). simplify.reflexivity.
  99 apply le_S_S_to_le.assumption.
 100 (* div_exp *)
 101 simplify.
 102 rewrite > assoc_times.
 103 apply (lt_O_n_elim m H).
 104 intro.apply div_times.
 105 (* mod_exp = O *)
 106 apply divides_to_mod_O.
 107 assumption.
 108 simplify.rewrite > assoc_times.
 109 apply (witness ? ? (m \sup n1 *n)).reflexivity.
 110 qed.
 111
 112 theorem p_ord_aux_to_Prop1: \forall p,n,m. (S O) < m \to O < n \to n \le p \to
 113   match p_ord_aux p n m with
 114   [ (pair q r) \Rightarrow r \mod m \neq O].
 115 intro.elim p.absurd (O < n).assumption.
 116 apply le_to_not_lt.assumption.
 117 simplify.
 118 apply (nat_case1 (n1 \mod m)).intro.
 119 generalize in match (H (n1 / m) m).
 120 elim (p_ord_aux n (n1 / m) m).
 121 apply H5.assumption.
 122 apply eq_mod_O_to_lt_O_div.
 123 apply (trans_lt ? (S O)).unfold lt.apply le_n.
 124 assumption.assumption.assumption.
 125 apply le_S_S_to_le.
 126 apply (trans_le ? n1).change with (n1 / m < n1).
 127 apply lt_div_n_m_n.assumption.assumption.assumption.
 128 intros.simplify.
 129 rewrite > H4.
 130 unfold Not.intro.
 131 apply (not_eq_O_S m1).
 132 rewrite > H5.reflexivity.
 133 qed.
 134
 135 theorem p_ord_aux_to_not_mod_O: \forall p,n,m,q,r. (S O) < m \to O < n \to n \le p \to
 136  pair nat nat q r = p_ord_aux p n m \to r \mod m \neq O.
 137 intros.
 138 change with
 139   match (pair nat nat q r) with
 140   [ (pair q r) \Rightarrow r \mod m \neq O].
 141 rewrite > H3.
 142 apply p_ord_aux_to_Prop1.
 143 assumption.assumption.assumption.
 144 qed.
 145