matita/library/nat/orders.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/orders".
  16
  17 include "nat/nat.ma".
  18 include "higher_order_defs/ordering.ma".
  19
  20 (* definitions *)
  21 inductive le (n:nat) : nat \to Prop \def
  22   | le_n : le n n
  23   | le_S : \forall m:nat. le n m \to le n (S m).
  24
  25 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y).
  26
  27 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y =
  28   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con
  29     (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y)).
  30
  31 definition lt: nat \to nat \to Prop \def
  32 \lambda n,m:nat.(S n) \leq m.
  33
  34 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y).
  35
  36 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y =
  37   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y)).
  38
  39 definition ge: nat \to nat \to Prop \def
  40 \lambda n,m:nat.m \leq n.
  41
  42 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (cic:/matita/nat/orders/ge.con x y).
  43
  44 definition gt: nat \to nat \to Prop \def
  45 \lambda n,m:nat.m<n.
  46
  47 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y).
  48
  49 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y =
  50   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y)).
  51
  52 theorem transitive_le : transitive nat le.
  53 unfold transitive.intros.elim H1.
  54 assumption.
  55 apply le_S.assumption.
  56 qed.
  57
  58 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
  59 \def transitive_le.
  60
  61 theorem transitive_lt: transitive nat lt.
  62 unfold transitive.unfold lt.intros.elim H1.
  63 apply le_S. assumption.
  64 apply le_S.assumption.
  65 qed.
  66
  67 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
  68 \def transitive_lt.
  69
  70 theorem le_S_S: \forall n,m:nat. n \leq m \to S n \leq S m.
  71 intros.elim H.
  72 apply le_n.
  73 apply le_S.assumption.
  74 qed.
  75
  76 theorem le_O_n : \forall n:nat. O \leq n.
  77 intros.elim n.
  78 apply le_n.apply
  79 le_S. assumption.
  80 qed.
  81
  82 theorem le_n_Sn : \forall n:nat. n \leq S n.
  83 intros. apply le_S.apply le_n.
  84 qed.
  85
  86 theorem le_pred_n : \forall n:nat. pred n \leq n.
  87 intros.elim n.
  88 simplify.apply le_n.
  89 simplify.apply le_n_Sn.
  90 qed.
  91
  92 theorem le_S_S_to_le : \forall n,m:nat. S n \leq S m \to n \leq m.
  93 intros.change with (pred (S n) \leq pred (S m)).
  94 elim H.apply le_n.apply (trans_le ? (pred n1)).assumption.
  95 apply le_pred_n.
  96 qed.
  97
  98 theorem lt_S_S_to_lt: \forall n,m.
  99   S n < S m \to n < m.
 100 intros. apply le_S_S_to_le. assumption.
 101 qed.
 102
 103 theorem leS_to_not_zero : \forall n,m:nat. S n \leq m \to not_zero m.
 104 intros.elim H.exact I.exact I.
 105 qed.
 106
 107 (* not le *)
 108 theorem not_le_Sn_O: \forall n:nat. S n \nleq O.
 109 intros.unfold Not.simplify.intros.apply (leS_to_not_zero ? ? H).
 110 qed.
 111
 112 theorem not_le_Sn_n: \forall n:nat. S n \nleq n.
 113 intros.elim n.apply not_le_Sn_O.unfold Not.simplify.intros.cut (S n1 \leq n1).
 114 apply H.assumption.
 115 apply le_S_S_to_le.assumption.
 116 qed.
 117
 118 theorem lt_pred: \forall n,m.
 119   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 120 apply nat_elim2
 121   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 122   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 123   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 124   ]
 125 qed.
 126
 127 (* le to lt or eq *)
 128 theorem le_to_or_lt_eq : \forall n,m:nat.
 129 n \leq m \to n < m \lor n = m.
 130 intros.elim H.
 131 right.reflexivity.
 132 left.unfold lt.apply le_S_S.assumption.
 133 qed.
 134
 135 (* not eq *)
 136 theorem lt_to_not_eq : \forall n,m:nat. n<m \to n \neq m.
 137 unfold Not.intros.cut ((le (S n) m) \to False).
 138 apply Hcut.assumption.rewrite < H1.
 139 apply not_le_Sn_n.
 140 qed.
 141
 142 (*not lt*)
 143 theorem eq_to_not_lt: \forall a,b:nat.
 144 a = b \to a \nlt b.
 145 intros.
 146 unfold Not.
 147 intros.
 148 rewrite > H in H1.
 149 apply (lt_to_not_eq b b)
 150 [ assumption
 151 | reflexivity
 152 ]
 153 qed.
 154
 155 (* le vs. lt *)
 156 theorem lt_to_le : \forall n,m:nat. n<m \to n \leq m.
 157 simplify.intros.unfold lt in H.elim H.
 158 apply le_S. apply le_n.
 159 apply le_S. assumption.
 160 qed.
 161
 162 theorem lt_S_to_le : \forall n,m:nat. n < S m \to n \leq m.
 163 simplify.intros.
 164 apply le_S_S_to_le.assumption.
 165 qed.
 166
 167 theorem not_le_to_lt: \forall n,m:nat. n \nleq m \to m<n.
 168 intros 2.
 169 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \nleq m \to m<n)).
 170 intros.apply (absurd (O \leq n1)).apply le_O_n.assumption.
 171 unfold Not.unfold lt.intros.apply le_S_S.apply le_O_n.
 172 unfold Not.unfold lt.intros.apply le_S_S.apply H.intros.apply H1.apply le_S_S.
 173 assumption.
 174 qed.
 175
 176 theorem lt_to_not_le: \forall n,m:nat. n<m \to m \nleq n.
 177 unfold Not.unfold lt.intros 3.elim H.
 178 apply (not_le_Sn_n n H1).
 179 apply H2.apply lt_to_le. apply H3.
 180 qed.
 181
 182 theorem not_lt_to_le: \forall n,m:nat. Not (lt n m) \to le m n.
 183 simplify.intros.
 184 apply lt_S_to_le.
 185 apply not_le_to_lt.exact H.
 186 qed.
 187
 188 theorem le_to_not_lt: \forall n,m:nat. le n m \to Not (lt m n).
 189 intros.unfold Not.unfold lt.
 190 apply lt_to_not_le.unfold lt.
 191 apply le_S_S.assumption.
 192 qed.
 193
 194 (* le elimination *)
 195 theorem le_n_O_to_eq : \forall n:nat. n \leq O \to O=n.
 196 intro.elim n.reflexivity.
 197 apply False_ind.
 198 apply not_le_Sn_O;
 199 [2: apply H1 | skip].
 200 qed.
 201
 202 theorem le_n_O_elim: \forall n:nat.n \leq O \to \forall P: nat \to Prop.
 203 P O \to P n.
 204 intro.elim n.
 205 assumption.
 206 apply False_ind.
 207 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 208 qed.
 209
 210 theorem le_n_Sm_elim : \forall n,m:nat.n \leq S m \to
 211 \forall P:Prop. (S n \leq S m \to P) \to (n=S m \to P) \to P.
 212 intros 4.elim H.
 213 apply H2.reflexivity.
 214 apply H3. apply le_S_S. assumption.
 215 qed.
 216
 217 (* le and eq *)
 218 lemma le_to_le_to_eq: \forall n,m. n \le m \to m \le n \to n = m.
 219 apply nat_elim2
 220   [intros.apply le_n_O_to_eq.assumption
 221   |intros.apply sym_eq.apply le_n_O_to_eq.assumption
 222   |intros.apply eq_f.apply H
 223     [apply le_S_S_to_le.assumption
 224     |apply le_S_S_to_le.assumption
 225     ]
 226   ]
 227 qed.
 228
 229 (* lt and le trans *)
 230 theorem lt_O_S : \forall n:nat. O < S n.
 231 intro. unfold. apply le_S_S. apply le_O_n.
 232 qed.
 233
 234 theorem lt_to_le_to_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to le m p \to lt n p.
 235 intros.elim H1.
 236 assumption.unfold lt.apply le_S.assumption.
 237 qed.
 238
 239 theorem le_to_lt_to_lt: \forall n,m,p:nat. le n m \to lt m p \to lt n p.
 240 intros 4.elim H.
 241 assumption.apply H2.unfold lt.
 242 apply lt_to_le.assumption.
 243 qed.
 244
 245 theorem lt_S_to_lt: \forall n,m. S n < m \to n < m.
 246 intros.
 247 apply (trans_lt ? (S n))
 248   [apply le_n|assumption]
 249 qed.
 250
 251 theorem ltn_to_ltO: \forall n,m:nat. lt n m \to lt O m.
 252 intros.apply (le_to_lt_to_lt O n).
 253 apply le_O_n.assumption.
 254 qed.
 255
 256 theorem lt_O_n_elim: \forall n:nat. lt O n \to
 257 \forall P:nat\to Prop. (\forall m:nat.P (S m)) \to P n.
 258 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 259 apply H2.
 260 qed.
 261
 262 (* other abstract properties *)
 263 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 264 unfold antisymmetric.intros 2.
 265 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 266 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 267 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 268 intros.apply eq_f.apply H.
 269 apply le_S_S_to_le.assumption.
 270 apply le_S_S_to_le.assumption.
 271 qed.
 272
 273 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 274 \def antisymmetric_le.
 275
 276 theorem decidable_le: \forall n,m:nat. decidable (n \leq m).
 277 intros.
 278 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.decidable (n \leq m))).
 279 intros.unfold decidable.left.apply le_O_n.
 280 intros.unfold decidable.right.exact (not_le_Sn_O n1).
 281 intros 2.unfold decidable.intro.elim H.
 282 left.apply le_S_S.assumption.
 283 right.unfold Not.intro.apply H1.apply le_S_S_to_le.assumption.
 284 qed.
 285
 286 theorem decidable_lt: \forall n,m:nat. decidable (n < m).
 287 intros.exact (decidable_le (S n) m).
 288 qed.
 289
 290 (* well founded induction principles *)
 291
 292 theorem nat_elim1 : \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
 293 (\forall m.(\forall p. (p \lt m) \to P p) \to P m) \to P n.
 294 intros.cut (\forall q:nat. q \le n \to P q).
 295 apply (Hcut n).apply le_n.
 296 elim n.apply (le_n_O_elim q H1).
 297 apply H.
 298 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O p H2).
 299 apply H.intros.apply H1.
 300 cut (p < S n1).
 301 apply lt_S_to_le.assumption.
 302 apply (lt_to_le_to_lt p q (S n1) H3 H2).
 303 qed.
 304
 305 (* some properties of functions *)
 306
 307 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 308 \forall n:nat. f n < f (S n).
 309
 310 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 311 increasing f \to monotonic nat lt f.
 312 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 313 apply (trans_le ? (f n1)).
 314 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 315 apply le_n_Sn.
 316 apply H.
 317 qed.
 318
 319 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 320 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 321 intros.elim n.
 322 apply le_O_n.
 323 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 324 apply le_S_S.apply H1.
 325 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 326 qed.
 327
 328 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 329 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 330 intros.elim m.
 331 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 332 elim H1.
 333 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 334 apply (trans_le ? (S (f a))).
 335 apply le_S_S.assumption.
 336 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 337 apply H.
 338 qed.
 339
 340 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 341 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 342 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 343 intros.elim H1.
 344 apply (ex_intro ? ? O).
 345 split.apply le_n.apply H.
 346 elim H3.elim H4.
 347 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 348 elim Hcut.
 349 apply (ex_intro ? ? a).
 350 split.apply le_S. assumption.assumption.
 351 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 352 split.rewrite < H7.apply le_n.
 353 rewrite > H7.
 354 apply H.
 355 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 356 qed.