matita/library/nat/orders.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/orders".
  16
  17 include "nat/nat.ma".
  18 include "higher_order_defs/ordering.ma".
  19
  20 (* definitions *)
  21 inductive le (n:nat) : nat \to Prop \def
  22   | le_n : le n n
  23   | le_S : \forall m:nat. le n m \to le n (S m).
  24
  25 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y).
  26
  27 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y =
  28   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con
  29     (cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1) x y)).
  30
  31 definition lt: nat \to nat \to Prop \def
  32 \lambda n,m:nat.(S n) \leq m.
  33
  34 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y).
  35
  36 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y =
  37   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/orders/lt.con x y)).
  38
  39 definition ge: nat \to nat \to Prop \def
  40 \lambda n,m:nat.m \leq n.
  41
  42 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (cic:/matita/nat/orders/ge.con x y).
  43
  44 definition gt: nat \to nat \to Prop \def
  45 \lambda n,m:nat.m<n.
  46
  47 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y).
  48
  49 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y =
  50   (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/orders/gt.con x y)).
  51
  52 theorem transitive_le : transitive nat le.
  53 unfold transitive.intros.elim H1.
  54 assumption.
  55 apply le_S.assumption.
  56 qed.
  57
  58 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
  59 \def transitive_le.
  60
  61 theorem transitive_lt: transitive nat lt.
  62 unfold transitive.unfold lt.intros.elim H1.
  63 apply le_S. assumption.
  64 apply le_S.assumption.
  65 qed.
  66
  67 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
  68 \def transitive_lt.
  69
  70 theorem le_S_S: \forall n,m:nat. n \leq m \to S n \leq S m.
  71 intros.elim H.
  72 apply le_n.
  73 apply le_S.assumption.
  74 qed.
  75
  76 theorem le_O_n : \forall n:nat. O \leq n.
  77 intros.elim n.
  78 apply le_n.apply
  79 le_S. assumption.
  80 qed.
  81
  82 theorem le_n_Sn : \forall n:nat. n \leq S n.
  83 intros. apply le_S.apply le_n.
  84 qed.
  85
  86 theorem le_pred_n : \forall n:nat. pred n \leq n.
  87 intros.elim n.
  88 simplify.apply le_n.
  89 simplify.apply le_n_Sn.
  90 qed.
  91
  92 theorem le_S_S_to_le : \forall n,m:nat. S n \leq S m \to n \leq m.
  93 intros.change with (pred (S n) \leq pred (S m)).
  94 elim H.apply le_n.apply (trans_le ? (pred n1)).assumption.
  95 apply le_pred_n.
  96 qed.
  97
  98 theorem lt_S_S_to_lt: \forall n,m.
  99   S n < S m \to n < m.
 100 intros. apply le_S_S_to_le. assumption.
 101 qed.
 102
 103 theorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 104 intros;
 105 unfold lt in H;
 106 apply (le_S_S ? ? H).
 107 qed.
 108
 109 theorem leS_to_not_zero : \forall n,m:nat. S n \leq m \to not_zero m.
 110 intros.elim H.exact I.exact I.
 111 qed.
 112
 113 (* not le *)
 114 theorem not_le_Sn_O: \forall n:nat. S n \nleq O.
 115 intros.unfold Not.simplify.intros.apply (leS_to_not_zero ? ? H).
 116 qed.
 117
 118 theorem not_le_Sn_n: \forall n:nat. S n \nleq n.
 119 intros.elim n.apply not_le_Sn_O.unfold Not.simplify.intros.cut (S n1 \leq n1).
 120 apply H.assumption.
 121 apply le_S_S_to_le.assumption.
 122 qed.
 123
 124 theorem lt_pred: \forall n,m.
 125   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 126 apply nat_elim2
 127   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 128   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 129   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 130   ]
 131 qed.
 132
 133 (* le to lt or eq *)
 134 theorem le_to_or_lt_eq : \forall n,m:nat.
 135 n \leq m \to n < m \lor n = m.
 136 intros.elim H.
 137 right.reflexivity.
 138 left.unfold lt.apply le_S_S.assumption.
 139 qed.
 140
 141 (* not eq *)
 142 theorem lt_to_not_eq : \forall n,m:nat. n<m \to n \neq m.
 143 unfold Not.intros.cut ((le (S n) m) \to False).
 144 apply Hcut.assumption.rewrite < H1.
 145 apply not_le_Sn_n.
 146 qed.
 147
 148 (*not lt*)
 149 theorem eq_to_not_lt: \forall a,b:nat.
 150 a = b \to a \nlt b.
 151 intros.
 152 unfold Not.
 153 intros.
 154 rewrite > H in H1.
 155 apply (lt_to_not_eq b b)
 156 [ assumption
 157 | reflexivity
 158 ]
 159 qed.
 160
 161 (* le vs. lt *)
 162 theorem lt_to_le : \forall n,m:nat. n<m \to n \leq m.
 163 simplify.intros.unfold lt in H.elim H.
 164 apply le_S. apply le_n.
 165 apply le_S. assumption.
 166 qed.
 167
 168 theorem lt_S_to_le : \forall n,m:nat. n < S m \to n \leq m.
 169 simplify.intros.
 170 apply le_S_S_to_le.assumption.
 171 qed.
 172
 173 theorem not_le_to_lt: \forall n,m:nat. n \nleq m \to m<n.
 174 intros 2.
 175 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \nleq m \to m<n)).
 176 intros.apply (absurd (O \leq n1)).apply le_O_n.assumption.
 177 unfold Not.unfold lt.intros.apply le_S_S.apply le_O_n.
 178 unfold Not.unfold lt.intros.apply le_S_S.apply H.intros.apply H1.apply le_S_S.
 179 assumption.
 180 qed.
 181
 182 theorem lt_to_not_le: \forall n,m:nat. n<m \to m \nleq n.
 183 unfold Not.unfold lt.intros 3.elim H.
 184 apply (not_le_Sn_n n H1).
 185 apply H2.apply lt_to_le. apply H3.
 186 qed.
 187
 188 theorem not_lt_to_le: \forall n,m:nat. Not (lt n m) \to le m n.
 189 simplify.intros.
 190 apply lt_S_to_le.
 191 apply not_le_to_lt.exact H.
 192 qed.
 193
 194 theorem le_to_not_lt: \forall n,m:nat. le n m \to Not (lt m n).
 195 intros.unfold Not.unfold lt.
 196 apply lt_to_not_le.unfold lt.
 197 apply le_S_S.assumption.
 198 qed.
 199
 200 (* le elimination *)
 201 theorem le_n_O_to_eq : \forall n:nat. n \leq O \to O=n.
 202 intro.elim n.reflexivity.
 203 apply False_ind.
 204 apply not_le_Sn_O;
 205 [2: apply H1 | skip].
 206 qed.
 207
 208 theorem le_n_O_elim: \forall n:nat.n \leq O \to \forall P: nat \to Prop.
 209 P O \to P n.
 210 intro.elim n.
 211 assumption.
 212 apply False_ind.
 213 apply  (not_le_Sn_O ? H1).
 214 qed.
 215
 216 theorem le_n_Sm_elim : \forall n,m:nat.n \leq S m \to
 217 \forall P:Prop. (S n \leq S m \to P) \to (n=S m \to P) \to P.
 218 intros 4.elim H.
 219 apply H2.reflexivity.
 220 apply H3. apply le_S_S. assumption.
 221 qed.
 222
 223 (* le and eq *)
 224 lemma le_to_le_to_eq: \forall n,m. n \le m \to m \le n \to n = m.
 225 apply nat_elim2
 226   [intros.apply le_n_O_to_eq.assumption
 227   |intros.apply sym_eq.apply le_n_O_to_eq.assumption
 228   |intros.apply eq_f.apply H
 229     [apply le_S_S_to_le.assumption
 230     |apply le_S_S_to_le.assumption
 231     ]
 232   ]
 233 qed.
 234
 235 (* lt and le trans *)
 236 theorem lt_O_S : \forall n:nat. O < S n.
 237 intro. unfold. apply le_S_S. apply le_O_n.
 238 qed.
 239
 240 theorem lt_to_le_to_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to le m p \to lt n p.
 241 intros.elim H1.
 242 assumption.unfold lt.apply le_S.assumption.
 243 qed.
 244
 245 theorem le_to_lt_to_lt: \forall n,m,p:nat. le n m \to lt m p \to lt n p.
 246 intros 4.elim H.
 247 assumption.apply H2.unfold lt.
 248 apply lt_to_le.assumption.
 249 qed.
 250
 251 theorem lt_S_to_lt: \forall n,m. S n < m \to n < m.
 252 intros.
 253 apply (trans_lt ? (S n))
 254   [apply le_n|assumption]
 255 qed.
 256
 257 theorem ltn_to_ltO: \forall n,m:nat. lt n m \to lt O m.
 258 intros.apply (le_to_lt_to_lt O n).
 259 apply le_O_n.assumption.
 260 qed.
 261
 262 theorem lt_O_n_elim: \forall n:nat. lt O n \to
 263 \forall P:nat\to Prop. (\forall m:nat.P (S m)) \to P n.
 264 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 265 apply H2.
 266 qed.
 267
 268 (* other abstract properties *)
 269 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 270 unfold antisymmetric.intros 2.
 271 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 272 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 273 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 274 intros.apply eq_f.apply H.
 275 apply le_S_S_to_le.assumption.
 276 apply le_S_S_to_le.assumption.
 277 qed.
 278
 279 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 280 \def antisymmetric_le.
 281
 282 theorem decidable_le: \forall n,m:nat. decidable (n \leq m).
 283 intros.
 284 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.decidable (n \leq m))).
 285 intros.unfold decidable.left.apply le_O_n.
 286 intros.unfold decidable.right.exact (not_le_Sn_O n1).
 287 intros 2.unfold decidable.intro.elim H.
 288 left.apply le_S_S.assumption.
 289 right.unfold Not.intro.apply H1.apply le_S_S_to_le.assumption.
 290 qed.
 291
 292 theorem decidable_lt: \forall n,m:nat. decidable (n < m).
 293 intros.exact (decidable_le (S n) m).
 294 qed.
 295
 296 (* well founded induction principles *)
 297
 298 theorem nat_elim1 : \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
 299 (\forall m.(\forall p. (p \lt m) \to P p) \to P m) \to P n.
 300 intros.cut (\forall q:nat. q \le n \to P q).
 301 apply (Hcut n).apply le_n.
 302 elim n.apply (le_n_O_elim q H1).
 303 apply H.
 304 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O p H2).
 305 apply H.intros.apply H1.
 306 cut (p < S n1).
 307 apply lt_S_to_le.assumption.
 308 apply (lt_to_le_to_lt p q (S n1) H3 H2).
 309 qed.
 310
 311 (* some properties of functions *)
 312
 313 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 314 \forall n:nat. f n < f (S n).
 315
 316 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 317 increasing f \to monotonic nat lt f.
 318 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 319 apply (trans_le ? (f n1)).
 320 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 321 apply le_n_Sn.
 322 apply H.
 323 qed.
 324
 325 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 326 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 327 intros.elim n.
 328 apply le_O_n.
 329 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 330 apply le_S_S.apply H1.
 331 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 332 qed.
 333
 334 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 335 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 336 intros.elim m.
 337 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 338 elim H1.
 339 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 340 apply (trans_le ? (S (f a))).
 341 apply le_S_S.assumption.
 342 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 343 apply H.
 344 qed.
 345
 346 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 347 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 348 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 349 intros.elim H1.
 350 apply (ex_intro ? ? O).
 351 split.apply le_n.apply H.
 352 elim H3.elim H4.
 353 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 354 elim Hcut.
 355 apply (ex_intro ? ? a).
 356 split.apply le_S. assumption.assumption.
 357 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 358 split.rewrite < H7.apply le_n.
 359 rewrite > H7.
 360 apply H.
 361 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 362 qed.