matita/library/nat/primes.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/primes".
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18 include "nat/minimization.ma".
  19 include "nat/sigma_and_pi.ma".
  20 include "nat/factorial.ma".
  21
  22 inductive divides (n,m:nat) : Prop \def
  23 witness : \forall p:nat.m = times n p \to divides n m.
  24
  25 interpretation "divides" 'divides n m = (cic:/matita/nat/primes/divides.ind#xpointer(1/1) n m).
  26 interpretation "not divides" 'ndivides n m =
  27  (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/primes/divides.ind#xpointer(1/1) n m)).
  28
  29 theorem reflexive_divides : reflexive nat divides.
  30 unfold reflexive.
  31 intros.
  32 exact (witness x x (S O) (times_n_SO x)).
  33 qed.
  34
  35 theorem divides_to_div_mod_spec :
  36 \forall n,m. O < n \to n \divides m \to div_mod_spec m n (m / n) O.
  37 intros.elim H1.rewrite > H2.
  38 constructor 1.assumption.
  39 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
  40 rewrite < plus_n_O.
  41 rewrite > div_times.apply sym_times.
  42 qed.
  43
  44 theorem div_mod_spec_to_divides :
  45 \forall n,m,p. div_mod_spec m n p O \to n \divides m.
  46 intros.elim H.
  47 apply (witness n m p).
  48 rewrite < sym_times.
  49 rewrite > (plus_n_O (p*n)).assumption.
  50 qed.
  51
  52 theorem divides_to_mod_O:
  53 \forall n,m. O < n \to n \divides m \to (m \mod n) = O.
  54 intros.apply (div_mod_spec_to_eq2 m n (m / n) (m \mod n) (m / n) O).
  55 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
  56 apply divides_to_div_mod_spec.assumption.assumption.
  57 qed.
  58
  59 theorem mod_O_to_divides:
  60 \forall n,m. O< n \to (m \mod n) = O \to  n \divides m.
  61 intros.
  62 apply (witness n m (m / n)).
  63 rewrite > (plus_n_O (n * (m / n))).
  64 rewrite < H1.
  65 rewrite < sym_times.
  66 (* Andrea: perche' hint non lo trova ?*)
  67 apply div_mod.
  68 assumption.
  69 qed.
  70
  71 theorem divides_n_O: \forall n:nat. n \divides O.
  72 intro. apply (witness n O O).apply times_n_O.
  73 qed.
  74
  75 theorem divides_n_n: \forall n:nat. n \divides n.
  76 intro. apply (witness n n (S O)).apply times_n_SO.
  77 qed.
  78
  79 theorem divides_SO_n: \forall n:nat. (S O) \divides n.
  80 intro. apply (witness (S O) n n). simplify.apply plus_n_O.
  81 qed.
  82
  83 theorem divides_plus: \forall n,p,q:nat.
  84 n \divides p \to n \divides q \to n \divides p+q.
  85 intros.
  86 elim H.elim H1. apply (witness n (p+q) (n2+n1)).
  87 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_plus.
  88 qed.
  89
  90 theorem divides_minus: \forall n,p,q:nat.
  91 divides n p \to divides n q \to divides n (p-q).
  92 intros.
  93 elim H.elim H1. apply (witness n (p-q) (n2-n1)).
  94 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_minus.
  95 qed.
  96
  97 theorem divides_times: \forall n,m,p,q:nat.
  98 n \divides p \to m \divides q \to n*m \divides p*q.
  99 intros.
 100 elim H.elim H1. apply (witness (n*m) (p*q) (n2*n1)).
 101 rewrite > H2.rewrite > H3.
 102 apply (trans_eq nat ? (n*(m*(n2*n1)))).
 103 apply (trans_eq nat ? (n*(n2*(m*n1)))).
 104 apply assoc_times.
 105 apply eq_f.
 106 apply (trans_eq nat ? ((n2*m)*n1)).
 107 apply sym_eq. apply assoc_times.
 108 rewrite > (sym_times n2 m).apply assoc_times.
 109 apply sym_eq. apply assoc_times.
 110 qed.
 111
 112 theorem transitive_divides: transitive ? divides.
 113 unfold.
 114 intros.
 115 elim H.elim H1. apply (witness x z (n2*n)).
 116 rewrite > H3.rewrite > H2.
 117 apply assoc_times.
 118 qed.
 119
 120 variant trans_divides: \forall n,m,p.
 121  n \divides m \to m \divides p \to n \divides p \def transitive_divides.
 122
 123 theorem eq_mod_to_divides:\forall n,m,p. O< p \to
 124 mod n p = mod m p \to divides p (n-m).
 125 intros.
 126 cut (n \le m \or \not n \le m).
 127 elim Hcut.
 128 cut (n-m=O).
 129 rewrite > Hcut1.
 130 apply (witness p O O).
 131 apply times_n_O.
 132 apply eq_minus_n_m_O.
 133 assumption.
 134 apply (witness p (n-m) ((div n p)-(div m p))).
 135 rewrite > distr_times_minus.
 136 rewrite > sym_times.
 137 rewrite > (sym_times p).
 138 cut ((div n p)*p = n - (mod n p)).
 139 rewrite > Hcut1.
 140 rewrite > eq_minus_minus_minus_plus.
 141 rewrite > sym_plus.
 142 rewrite > H1.
 143 rewrite < div_mod.reflexivity.
 144 assumption.
 145 apply sym_eq.
 146 apply plus_to_minus.
 147 rewrite > sym_plus.
 148 apply div_mod.
 149 assumption.
 150 apply (decidable_le n m).
 151 qed.
 152
 153 theorem antisymmetric_divides: antisymmetric nat divides.
 154 unfold antisymmetric.intros.elim H. elim H1.
 155 apply (nat_case1 n2).intro.
 156 rewrite > H3.rewrite > H2.rewrite > H4.
 157 rewrite < times_n_O.reflexivity.
 158 intros.
 159 apply (nat_case1 n).intro.
 160 rewrite > H2.rewrite > H3.rewrite > H5.
 161 rewrite < times_n_O.reflexivity.
 162 intros.
 163 apply antisymmetric_le.
 164 rewrite > H2.rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?).
 165 apply le_times_r.rewrite > H4.apply le_S_S.apply le_O_n.
 166 rewrite > H3.rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?).
 167 apply le_times_r.rewrite > H5.apply le_S_S.apply le_O_n.
 168 qed.
 169
 170 (* divides le *)
 171 theorem divides_to_le : \forall n,m. O < m \to n \divides m \to n \le m.
 172 intros. elim H1.rewrite > H2.cut (O < n2).
 173 apply (lt_O_n_elim n2 Hcut).intro.rewrite < sym_times.
 174 simplify.rewrite < sym_plus.
 175 apply le_plus_n.
 176 elim (le_to_or_lt_eq O n2).
 177 assumption.
 178 absurd (O<m).assumption.
 179 rewrite > H2.rewrite < H3.rewrite < times_n_O.
 180 apply (not_le_Sn_n O).
 181 apply le_O_n.
 182 qed.
 183
 184 theorem divides_to_lt_O : \forall n,m. O < m \to n \divides m \to O < n.
 185 intros.elim H1.
 186 elim (le_to_or_lt_eq O n (le_O_n n)).
 187 assumption.
 188 rewrite < H3.absurd (O < m).assumption.
 189 rewrite > H2.rewrite < H3.
 190 simplify.exact (not_le_Sn_n O).
 191 qed.
 192
 193 (* boolean divides *)
 194 definition divides_b : nat \to nat \to bool \def
 195 \lambda n,m :nat. (eqb (m \mod n) O).
 196
 197 theorem divides_b_to_Prop :
 198 \forall n,m:nat. O < n \to
 199 match divides_b n m with
 200 [ true \Rightarrow n \divides m
 201 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 202 intros.unfold divides_b.
 203 apply eqb_elim.
 204 intro.simplify.apply mod_O_to_divides.assumption.assumption.
 205 intro.simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply divides_to_mod_O.assumption.assumption.
 206 qed.
 207
 208 theorem divides_b_true_to_divides1:
 209 \forall n,m:nat. O < n \to
 210 (divides_b n m = true ) \to n \divides m.
 211 intros.
 212 change with
 213 match true with
 214 [ true \Rightarrow n \divides m
 215 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 216 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 217 assumption.
 218 qed.
 219
 220 theorem divides_b_true_to_divides:
 221 \forall n,m:nat. divides_b n m = true \to n \divides m.
 222 intros 2.apply (nat_case n)
 223   [apply (nat_case m)
 224     [intro.apply divides_n_n
 225     |simplify.intros.apply False_ind.
 226      apply not_eq_true_false.apply sym_eq.assumption
 227     ]
 228   |intros.
 229    apply divides_b_true_to_divides1
 230     [apply lt_O_S|assumption]
 231   ]
 232 qed.
 233
 234 theorem divides_b_false_to_not_divides1:
 235 \forall n,m:nat. O < n \to
 236 (divides_b n m = false ) \to n \ndivides m.
 237 intros.
 238 change with
 239 match false with
 240 [ true \Rightarrow n \divides m
 241 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 242 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 243 assumption.
 244 qed.
 245
 246 theorem divides_b_false_to_not_divides:
 247 \forall n,m:nat. divides_b n m = false \to n \ndivides m.
 248 intros 2.apply (nat_case n)
 249   [apply (nat_case m)
 250     [simplify.unfold Not.intros.
 251      apply not_eq_true_false.assumption
 252     |unfold Not.intros.elim H1.
 253      apply (not_eq_O_S m1).apply sym_eq.
 254      assumption
 255     ]
 256   |intros.
 257    apply divides_b_false_to_not_divides1
 258     [apply lt_O_S|assumption]
 259   ]
 260 qed.
 261
 262 theorem decidable_divides: \forall n,m:nat.O < n \to
 263 decidable (n \divides m).
 264 intros.unfold decidable.
 265 cut
 266 (match divides_b n m with
 267 [ true \Rightarrow n \divides m
 268 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to n \divides m \lor n \ndivides m).
 269 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 270 elim (divides_b n m).left.apply H1.right.apply H1.
 271 qed.
 272
 273 theorem divides_to_divides_b_true : \forall n,m:nat. O < n \to
 274 n \divides m \to divides_b n m = true.
 275 intros.
 276 cut (match (divides_b n m) with
 277 [ true \Rightarrow n \divides m
 278 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to ((divides_b n m) = true)).
 279 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 280 elim (divides_b n m).reflexivity.
 281 absurd (n \divides m).assumption.assumption.
 282 qed.
 283
 284 theorem not_divides_to_divides_b_false: \forall n,m:nat. O < n \to
 285 \lnot(n \divides m) \to (divides_b n m) = false.
 286 intros.
 287 cut (match (divides_b n m) with
 288 [ true \Rightarrow n \divides m
 289 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to ((divides_b n m) = false)).
 290 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 291 elim (divides_b n m).
 292 absurd (n \divides m).assumption.assumption.
 293 reflexivity.
 294 qed.
 295
 296 theorem divides_b_true_to_lt_O: \forall n,m. O < n \to divides_b m n = true \to O < m.
 297 intros.
 298 elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_O_n m))
 299   [assumption
 300   |apply False_ind.
 301    elim H1.
 302    rewrite < H2 in H1.
 303    simplify in H1.
 304    apply (lt_to_not_eq O n H).
 305    apply sym_eq.
 306    apply eqb_true_to_eq.
 307    assumption
 308   ]
 309 qed.
 310
 311 (* divides and pi *)
 312 theorem divides_f_pi_f : \forall f:nat \to nat.\forall n,m,i:nat.
 313 m \le i \to i \le n+m \to f i \divides pi n f m.
 314 intros 5.elim n.simplify.
 315 cut (i = m).rewrite < Hcut.apply divides_n_n.
 316 apply antisymmetric_le.assumption.assumption.
 317 simplify.
 318 cut (i < S n1+m \lor i = S n1 + m).
 319 elim Hcut.
 320 apply (transitive_divides ? (pi n1 f m)).
 321 apply H1.apply le_S_S_to_le. assumption.
 322 apply (witness ? ? (f (S n1+m))).apply sym_times.
 323 rewrite > H3.
 324 apply (witness ? ? (pi n1 f m)).reflexivity.
 325 apply le_to_or_lt_eq.assumption.
 326 qed.
 327
 328 (*
 329 theorem mod_S_pi: \forall f:nat \to nat.\forall n,i:nat.
 330 i < n \to (S O) < (f i) \to (S (pi n f)) \mod (f i) = (S O).
 331 intros.cut (pi n f) \mod (f i) = O.
 332 rewrite < Hcut.
 333 apply mod_S.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 334 rewrite > Hcut.assumption.
 335 apply divides_to_mod_O.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 336 apply divides_f_pi_f.assumption.
 337 qed.
 338 *)
 339
 340 (* divides and fact *)
 341 theorem divides_fact : \forall n,i:nat.
 342 O < i \to i \le n \to i \divides n!.
 343 intros 3.elim n.absurd (O<i).assumption.apply (le_n_O_elim i H1).
 344 apply (not_le_Sn_O O).
 345 change with (i \divides (S n1)*n1!).
 346 apply (le_n_Sm_elim i n1 H2).
 347 intro.
 348 apply (transitive_divides ? n1!).
 349 apply H1.apply le_S_S_to_le. assumption.
 350 apply (witness ? ? (S n1)).apply sym_times.
 351 intro.
 352 rewrite > H3.
 353 apply (witness ? ? n1!).reflexivity.
 354 qed.
 355
 356 theorem mod_S_fact: \forall n,i:nat.
 357 (S O) < i \to i \le n \to (S n!) \mod i = (S O).
 358 intros.cut (n! \mod i = O).
 359 rewrite < Hcut.
 360 apply mod_S.apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 361 rewrite > Hcut.assumption.
 362 apply divides_to_mod_O.apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 363 apply divides_fact.apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 364 assumption.
 365 qed.
 366
 367 theorem not_divides_S_fact: \forall n,i:nat.
 368 (S O) < i \to i \le n \to i \ndivides S n!.
 369 intros.
 370 apply divides_b_false_to_not_divides.
 371 unfold divides_b.
 372 rewrite > mod_S_fact[simplify.reflexivity|assumption|assumption].
 373 qed.
 374
 375 (* prime *)
 376 definition prime : nat \to  Prop \def
 377 \lambda n:nat. (S O) < n \land
 378 (\forall m:nat. m \divides n \to (S O) < m \to  m = n).
 379
 380 theorem not_prime_O: \lnot (prime O).
 381 unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_O (S O) H1).
 382 qed.
 383
 384 theorem not_prime_SO: \lnot (prime (S O)).
 385 unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_n (S O) H1).
 386 qed.
 387
 388 theorem prime_to_lt_O: \forall p. prime p \to O < p.
 389 intros.elim H.apply lt_to_le.assumption.
 390 qed.
 391
 392 (* smallest factor *)
 393 definition smallest_factor : nat \to nat \def
 394 \lambda n:nat.
 395 match n with
 396 [ O \Rightarrow O
 397 | (S p) \Rightarrow
 398   match p with
 399   [ O \Rightarrow (S O)
 400   | (S q) \Rightarrow min_aux q (S (S O)) (\lambda m.(eqb ((S(S q)) \mod m) O))]].
 401
 402 (* it works !
 403 theorem example1 : smallest_factor (S(S(S O))) = (S(S(S O))).
 404 normalize.reflexivity.
 405 qed.
 406
 407 theorem example2: smallest_factor (S(S(S(S O)))) = (S(S O)).
 408 normalize.reflexivity.
 409 qed.
 410
 411 theorem example3 : smallest_factor (S(S(S(S(S(S(S O))))))) = (S(S(S(S(S(S(S O))))))).
 412 simplify.reflexivity.
 413 qed. *)
 414
 415 theorem lt_SO_smallest_factor:
 416 \forall n:nat. (S O) < n \to (S O) < (smallest_factor n).
 417 intro.
 418 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S O) H).
 419 intro.apply (nat_case m).intro. apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (S O) H).
 420 intros.
 421 change with
 422 (S O < min_aux m1 (S (S O)) (\lambda m.(eqb ((S(S m1)) \mod m) O))).
 423 apply (lt_to_le_to_lt ? (S (S O))).
 424 apply (le_n (S(S O))).
 425 cut ((S(S O)) = (S(S m1)) - m1).
 426 rewrite > Hcut.
 427 apply le_min_aux.
 428 apply sym_eq.apply plus_to_minus.
 429 rewrite < sym_plus.simplify.reflexivity.
 430 qed.
 431
 432 theorem lt_O_smallest_factor: \forall n:nat. O < n \to O < (smallest_factor n).
 433 intro.
 434 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_n O H).
 435 intro.apply (nat_case m).intro.
 436 simplify.unfold lt.apply le_n.
 437 intros.apply (trans_lt ? (S O)).
 438 unfold lt.apply le_n.
 439 apply lt_SO_smallest_factor.unfold lt. apply le_S_S.
 440 apply le_S_S.apply le_O_n.
 441 qed.
 442
 443 theorem divides_smallest_factor_n :
 444 \forall n:nat. O < n \to smallest_factor n \divides n.
 445 intro.
 446 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O O H).
 447 intro.apply (nat_case m).intro. simplify.
 448 apply (witness ? ? (S O)). simplify.reflexivity.
 449 intros.
 450 apply divides_b_true_to_divides.
 451 change with
 452 (eqb ((S(S m1)) \mod (min_aux m1 (S (S O))
 453   (\lambda m.(eqb ((S(S m1)) \mod m) O)))) O = true).
 454 apply f_min_aux_true.
 455 apply (ex_intro nat ? (S(S m1))).
 456 split.split.
 457 apply (le_S_S_to_le (S (S O)) (S (S m1)) ?).
 458 apply (minus_le_O_to_le (S (S (S O))) (S (S (S m1))) ?).
 459 apply (le_n O).
 460 rewrite < sym_plus. simplify. apply le_n.
 461 apply (eq_to_eqb_true (mod (S (S m1)) (S (S m1))) O ?).
 462 apply (mod_n_n (S (S m1)) ?).
 463 apply (H).
 464 qed.
 465
 466 theorem le_smallest_factor_n :
 467 \forall n:nat. smallest_factor n \le n.
 468 intro.apply (nat_case n).simplify.apply le_n.
 469 intro.apply (nat_case m).simplify.apply le_n.
 470 intro.apply divides_to_le.
 471 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 472 apply divides_smallest_factor_n.
 473 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 474 qed.
 475
 476 theorem lt_smallest_factor_to_not_divides: \forall n,i:nat.
 477 (S O) < n \to (S O) < i \to i < (smallest_factor n) \to i \ndivides n.
 478 intros 2.
 479 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S O) H).
 480 intro.apply (nat_case m).intro. apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (S O) H).
 481 intros.
 482 apply divides_b_false_to_not_divides.
 483 apply (lt_min_aux_to_false
 484 (\lambda i:nat.eqb ((S(S m1)) \mod i) O) (S (S O)) m1 i).
 485 assumption.
 486 assumption.
 487 qed.
 488
 489 theorem prime_smallest_factor_n :
 490 \forall n:nat. (S O) < n \to prime (smallest_factor n).
 491 intro.change with ((S(S O)) \le n \to (S O) < (smallest_factor n) \land
 492 (\forall m:nat. m \divides smallest_factor n \to (S O) < m \to  m = (smallest_factor n))).
 493 intro.split.
 494 apply lt_SO_smallest_factor.assumption.
 495 intros.
 496 cut (le m (smallest_factor n)).
 497 elim (le_to_or_lt_eq m (smallest_factor n) Hcut).
 498 absurd (m \divides n).
 499 apply (transitive_divides m (smallest_factor n)).
 500 assumption.
 501 apply divides_smallest_factor_n.
 502 apply (trans_lt ? (S O)). unfold lt. apply le_n. exact H.
 503 apply lt_smallest_factor_to_not_divides.
 504 exact H.assumption.assumption.assumption.
 505 apply divides_to_le.
 506 apply (trans_lt O (S O)).
 507 apply (le_n (S O)).
 508 apply lt_SO_smallest_factor.
 509 exact H.
 510 assumption.
 511 qed.
 512
 513 theorem prime_to_smallest_factor: \forall n. prime n \to
 514 smallest_factor n = n.
 515 intro.apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_prime_O H).
 516 intro.apply (nat_case m).intro.apply False_ind.apply (not_prime_SO H).
 517 intro.
 518 change with
 519 ((S O) < (S(S m1)) \land
 520 (\forall m:nat. m \divides S(S m1) \to (S O) < m \to  m = (S(S m1))) \to
 521 smallest_factor (S(S m1)) = (S(S m1))).
 522 intro.elim H.apply H2.
 523 apply divides_smallest_factor_n.
 524 apply (trans_lt ? (S O)).unfold lt. apply le_n.assumption.
 525 apply lt_SO_smallest_factor.
 526 assumption.
 527 qed.
 528
 529 (* a number n > O is prime iff its smallest factor is n *)
 530 definition primeb \def \lambda n:nat.
 531 match n with
 532 [ O \Rightarrow false
 533 | (S p) \Rightarrow
 534   match p with
 535   [ O \Rightarrow false
 536   | (S q) \Rightarrow eqb (smallest_factor (S(S q))) (S(S q))]].
 537
 538 (* it works!
 539 theorem example4 : primeb (S(S(S O))) = true.
 540 normalize.reflexivity.
 541 qed.
 542
 543 theorem example5 : primeb (S(S(S(S(S(S O)))))) = false.
 544 normalize.reflexivity.
 545 qed.
 546
 547 theorem example6 : primeb (S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O)))))))))))) = true.
 548 normalize.reflexivity.
 549 qed.
 550
 551 theorem example7 : primeb (S(S(S(S(S(S((S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O))))))))))))))))))) = true.
 552 normalize.reflexivity.
 553 qed. *)
 554
 555 theorem primeb_to_Prop: \forall n.
 556 match primeb n with
 557 [ true \Rightarrow prime n
 558 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 559 intro.
 560 apply (nat_case n).simplify.unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_O (S O) H1).
 561 intro.apply (nat_case m).simplify.unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_n (S O) H1).
 562 intro.
 563 change with
 564 match eqb (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1)) with
 565 [ true \Rightarrow prime (S(S m1))
 566 | false \Rightarrow \lnot (prime (S(S m1)))].
 567 apply (eqb_elim (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1))).
 568 intro.simplify.
 569 rewrite < H.
 570 apply prime_smallest_factor_n.
 571 unfold lt.apply le_S_S.apply le_S_S.apply le_O_n.
 572 intro.simplify.
 573 change with (prime (S(S m1)) \to False).
 574 intro.apply H.
 575 apply prime_to_smallest_factor.
 576 assumption.
 577 qed.
 578
 579 theorem primeb_true_to_prime : \forall n:nat.
 580 primeb n = true \to prime n.
 581 intros.change with
 582 match true with
 583 [ true \Rightarrow prime n
 584 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 585 rewrite < H.
 586 apply primeb_to_Prop.
 587 qed.
 588
 589 theorem primeb_false_to_not_prime : \forall n:nat.
 590 primeb n = false \to \lnot (prime n).
 591 intros.change with
 592 match false with
 593 [ true \Rightarrow prime n
 594 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 595 rewrite < H.
 596 apply primeb_to_Prop.
 597 qed.
 598
 599 theorem decidable_prime : \forall n:nat.decidable (prime n).
 600 intro.unfold decidable.
 601 cut
 602 (match primeb n with
 603 [ true \Rightarrow prime n
 604 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to (prime n) \lor \lnot (prime n)).
 605 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 606 elim (primeb n).left.apply H.right.apply H.
 607 qed.
 608
 609 theorem prime_to_primeb_true: \forall n:nat.
 610 prime n \to primeb n = true.
 611 intros.
 612 cut (match (primeb n) with
 613 [ true \Rightarrow prime n
 614 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to ((primeb n) = true)).
 615 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 616 elim (primeb n).reflexivity.
 617 absurd (prime n).assumption.assumption.
 618 qed.
 619
 620 theorem not_prime_to_primeb_false: \forall n:nat.
 621 \lnot(prime n) \to primeb n = false.
 622 intros.
 623 cut (match (primeb n) with
 624 [ true \Rightarrow prime n
 625 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to ((primeb n) = false)).
 626 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 627 elim (primeb n).
 628 absurd (prime n).assumption.assumption.
 629 reflexivity.
 630 qed.
 631