matita/library/nat/totient.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       __                                                               *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/totient".
  16
  17 include "nat/count.ma".
  18 include "nat/chinese_reminder.ma".
  19
  20 definition totient : nat \to nat \def
  21 \lambda n. count n (\lambda m. eqb (gcd m n) (S O)).
  22
  23 theorem totient3: totient (S(S(S O))) = (S(S O)).
  24 reflexivity.
  25 qed.
  26
  27 theorem totient6: totient (S(S(S(S(S(S O)))))) = (S(S O)).
  28 reflexivity.
  29 qed.
  30
  31 theorem totient_times: \forall n,m:nat. (gcd m n) = (S O) \to
  32 totient (n*m) = (totient n)*(totient m).
  33 intro.
  34 apply (nat_case n).
  35 intro.simplify.intro.reflexivity.
  36 intros 2.apply (nat_case m1).
  37 rewrite < sym_times.
  38 rewrite < (sym_times (totient O)).
  39 simplify.intro.reflexivity.
  40 intros.
  41 unfold totient.
  42 apply (count_times m m2 ? ? ?
  43 (\lambda b,a. cr_pair (S m) (S m2) a b) (\lambda x. x \mod (S m)) (\lambda x. x \mod (S m2))).
  44 intros.unfold cr_pair.
  45 apply (le_to_lt_to_lt ? (pred ((S m)*(S m2)))).
  46 unfold min.
  47 apply le_min_aux_r.unfold lt.
  48 apply (nat_case ((S m)*(S m2))).apply le_n.
  49 intro.apply le_n.
  50 intros.
  51 generalize in match (mod_cr_pair (S m) (S m2) a b H1 H2 H).
  52 intro.elim H3.
  53 apply H4.
  54 intros.
  55 generalize in match (mod_cr_pair (S m) (S m2) a b H1 H2 H).
  56 intro.elim H3.
  57 apply H5.
  58 intros.
  59 generalize in match (mod_cr_pair (S m) (S m2) a b H1 H2 H).
  60 intro.elim H3.
  61 apply eqb_elim.
  62 intro.
  63 rewrite > eq_to_eqb_true.
  64 rewrite > eq_to_eqb_true.
  65 reflexivity.
  66 rewrite < H4.
  67 rewrite > sym_gcd.
  68 rewrite > gcd_mod.
  69 apply (gcd_times_SO_to_gcd_SO ? ? (S m2)).
  70 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  71 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  72 assumption.
  73 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  74 rewrite < H5.
  75 rewrite > sym_gcd.
  76 rewrite > gcd_mod.
  77 apply (gcd_times_SO_to_gcd_SO ? ? (S m)).
  78 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  79 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  80 rewrite > sym_times.
  81 assumption.
  82 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  83 intro.
  84 apply eqb_elim.
  85 intro.apply eqb_elim.
  86 intro.apply False_ind.
  87 apply H6.
  88 apply eq_gcd_times_SO.
  89 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  90 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  91 rewrite < gcd_mod.
  92 rewrite > H4.
  93 rewrite > sym_gcd.assumption.
  94 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  95 rewrite < gcd_mod.
  96 rewrite > H5.
  97 rewrite > sym_gcd.assumption.
  98 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
  99 intro.reflexivity.
 100 intro.reflexivity.
 101 qed.