matita/matita/contribs/CoRN-Decl/reals/RealFuncts.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/CoRN-Decl/reals/RealFuncts".
  18
  19 include "CoRN.ma".
  20
  21 (* $Id: RealFuncts.v,v 1.4 2004/04/07 15:08:10 lcf Exp $ *)
  22
  23 include "reals/CReals1.ma".
  24
  25 (*#* * Continuity of Functions on Reals
  26 *)
  27
  28 (* begin hide *)
  29
  30 (* UNEXPORTED
  31 Set Implicit Arguments.
  32 *)
  33
  34 (* UNEXPORTED
  35 Unset Strict Implicit.
  36 *)
  37
  38 (* end hide *)
  39
  40 (* UNEXPORTED
  41 Section Continuity
  42 *)
  43
  44 alias id "f" = "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/Continuity/f.var".
  45
  46 alias id "f2" = "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/Continuity/f2.var".
  47
  48 (*#*
  49 Let [f] be a unary setoid operation on [IR] and
  50 let [f2] be a binary setoid operation on [IR].
  51
  52 We use the following notations for intervals. [Intclr a b] for the
  53 closed interval [[a,b]], [Intolr a b] for the
  54 open interval [(a,b)], [Intcl a] for the
  55 left-closed interval $[a,\infty)$#[a,&infin;)#, [Intol a] for the
  56 left-open interval $(a,\infty)$#(a,&infin;)#, [Intcr b] for the
  57 right-closed interval $(-\infty,b]$#(-&infin;,b]#.
  58
  59 Intervals like $[a,b]$#[a,b]# are defined for arbitrary reals [a,b] (being
  60 $\emptyset$#&empty;# for [a [>] b]).
  61 *)
  62
  63 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/Intclr.con".
  64
  65 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/Intolr.con".
  66
  67 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/Intol.con".
  68
  69 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/Intcl.con".
  70
  71 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/Intcr.con".
  72
  73 (*#* The limit of [f(x)] as [x] goes to [p = l], for both unary and binary
  74 functions:
  75
  76 The limit of [f] in [p] is [l] if
  77 [[
  78 forall e [>] Zero, exists d [>] Zero, forall (x : IR)
  79 ( [--]d [<] p[-]x [<] d) -> ( [--]e [<] [--]f(x) [<] e)
  80 ]]
  81 *)
  82
  83 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/funLim.con".
  84
  85 (*#* The definition of limit of [f] in [p] using Cauchy sequences. *)
  86
  87 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/funLim_Cauchy.con".
  88
  89 (*#* The first definition implies the second one. *)
  90
  91 (*
  92  Ax_iom funLim_prop1 :(p,l:IR)(funLim p l)->(funLim_Cauchy p l).
  93 Intros. Unfold funLim_Cauchy. Unfold funLim in H. Intros.
  94 Elim (H e H1). Intros.
  95 Elim s. Intros s_seq s_proof.
  96 Decompose [and] H2.
  97 Cut (Zero  [<]   x[/]TwoNZ).
  98 Intro Hx2.
  99 Elim (s_proof (x[/]TwoNZ) Hx2).
 100 Intros N HN.
 101 Exists N.
 102 Intros.
 103 Apply AbsSmall_minus.
 104 Apply H5.
 105 Generalize (HN m H3).
 106 Intro HmN.
 107 *)
 108
 109 (*#* The limit of [f] in [(p,p')] is [l] if
 110 [[
 111 forall e [>] Zero, exists d [>] Zero, forall (x : IR)
 112 ( [--]d [<] p[-]x [<] d) -> ( [--]d' [<] p'[-]y [<] d') -> ( [--]e [<] l[-]f(x,y) [<] e
 113 ]]
 114 *)
 115
 116 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/funLim2.con".
 117
 118 (*#* The function [f] is continuous at [p] if the limit of [f(x)] as
 119 [x] goes to [p] is [f(p)].  This is the [eps [/] delta] definition.
 120 We also give the definition with limits of Cauchy sequences.
 121 *)
 122
 123 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/continAt.con".
 124
 125 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/continAtCauchy.con".
 126
 127 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/continAt2.con".
 128
 129 (*
 130 Ax_iom continAt_prop1 :(p:IR)(continAt p)->(continAtCauchy p).
 131 *)
 132
 133 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/contin.con".
 134
 135 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/continCauchy.con".
 136
 137 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/contin2.con".
 138
 139 (*#*
 140 Continuous on a closed, resp.%\% open, resp.%\% left open, resp.%\% left closed
 141 interval *)
 142
 143 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/continOnc.con".
 144
 145 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/continOno.con".
 146
 147 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/continOnol.con".
 148
 149 inline "cic:/CoRN/reals/RealFuncts/continOncl.con".
 150
 151 (*
 152 Section Sequence_and_function_limits.
 153
 154 _**
 155 If $\lim_{x->p} (f x) = l$, then for every sequence $p_n$ whose
 156 limit is $p$, $\lim_{n->\infty} f (p_n) =l$.
 157  *_
 158
 159 Lemma funLim_SeqLimit:
 160   (p,l:IR)(fl:(funLim p l))
 161     (pn:nat->IR)(sl:(SeqLimit pn p)) (SeqLimit ( [n:nat] (f (pn n))) l).
 162 Proof.
 163 Intros; Unfold seqLimit.
 164 Intros eps epos.
 165 Elim (fl ? epos); Intros del dh; Elim dh; Intros H0 H1.
 166 Elim (sl ? H0); Intros N Nh.
 167 Exists N. Intros m leNm.
 168 Apply AbsSmall_minus.
 169 Apply H1.
 170 Apply AbsSmall_minus.
 171 Apply (Nh ? leNm).
 172 Qed.
 173
 174 _**** Is the converse constructively provable? **
 175 Lemma SeqLimit_funLim:
 176   (p,l:IR)((pn:nat->IR)(sl:(SeqLimit pn p)) (SeqLimit ( [n:nat] (f (pn n))) l))->
 177     (funLim p l).
 178 ****_
 179
 180 _**
 181 Now the same Lemma in terms of Cauchy sequences: if $\lim_{x->p} (f x) = l$,
 182 then for every Cauchy sequence $s_n$ whose
 183 limit is $p$, $\lim_{n->\infty} f (s_n) =l$.
 184  *_
 185
 186 Ax_iom funLim_isCauchy:
 187   (p,l:IR)(funLim p l)->(s:CauchySeqR)((Lim s)  [=]   p)->
 188         (e:IR)(Zero  [<]  e)->(Ex [N:nat] (m:nat)(le N m)
 189                          ->(AbsSmall e ((s m) [-] (s N)))).
 190
 191 End Sequence_and_function_limits.
 192
 193 Section Monotonic_functions.
 194
 195 Definition str_monot  := (x,y:IR)(x  [<]  y)->((f x)  [<]  (f y)).
 196
 197 Definition str_monotOnc  := [a,b:IR]
 198          (x,y:IR)(Intclr a b x)->(Intclr a b y)
 199                 ->(x  [<]  y)->((f x)  [<]  (f y)).
 200
 201 Definition str_monotOncl  := [a:IR]
 202          (x,y:IR)(Intcl a x)->(Intcl a y)
 203                 ->(x  [<]  y)->((f x)  [<]  (f y)).
 204
 205 Definition str_monotOnol  := [a:IR]
 206          (x,y:IR)(Intol a x)->(Intol a y)
 207                 ->(x  [<]  y)->((f x)  [<]  (f y)).
 208
 209 _** Following probably not needed for the FTA proof;
 210 it stated that strong monotonicity on a closed interval implies that the
 211 intermediate value theorem holds on this interval. For FTA we need IVT on
 212 $[0,\infty>$.
 213 *_
 214
 215 Ax_iom strmonc_imp_ivt :(a,b:IR)(str_monotOnc a b)
 216            ->(x,y:IR)(x  [<]  y)->(Intclr a b x)->(Intclr a b y)
 217                ->((f x)  [<]  Zero)->(Zero  [<]  (f y))
 218                    ->(EX z:IR | (Intclr x y z)/\((f z)  [=]  Zero)).
 219 _**
 220 $\forall c\in\RR (f\mbox{ strongly monotonic on }[c,\infty>)
 221 \rightarrow \forall a,b\in\RR(c <a)\rightarrow( c< b)\rightarrow\ (f (a)<0)
 222 \rightarrow\ (0:<f(b))
 223          \rightarrow \forall x,y\in\RR (a\leq x\leq b)\rightarrow
 224         (a\leq y\leq b)\rightarrow (x<y)
 225                 \rightarrow \exists z\in\RR(x\leq z\leq y)\wedge(f(z)\noto 0))$
 226 *_
 227
 228 Ax_iom strmon_ivt_prem : (c:IR)(str_monotOncl c)->
 229   (a,b:IR)(Intcl c a)->(Intcl c b)->((f a)  [<]   Zero)->(Zero   [<]  (f b))
 230        ->(x,y:IR)(Intclr a b x)->(Intclr a b y)->(x  [<]  y)
 231               ->(EX z:IR | (Intclr x y z)/\((f z)  [#]  Zero)).
 232
 233 _** The following is lemma 5.8 from the skeleton
 234
 235 $\forall c\in\RR (f\mbox{ strongly monotonic on }[c,\infty>)
 236 \rightarrow \forall a,b\in\RR(a<b) \rightarrow(c <a)\rightarrow( c< b)
 237 \rightarrow(f (a)<0)\rightarrow (0:<f(b))
 238          \rightarrow \exists z\in\RR(a\leq z\leq b)\wedge(f(z)= 0))$
 239 *_
 240
 241 Ax_iom strmoncl_imp_ivt : (c:IR)(str_monotOncl c)
 242            ->(a,b:IR)(a  [<]  b)->(Intcl c a)->(Intcl c b)
 243                ->((f a)  [<]  Zero)->(Zero  [<]  (f b))
 244                    ->(EX z:IR | (Intclr a b z)/\ ((f z)  [=]  Zero)).
 245 End Monotonic_functions.
 246
 247 *)
 248
 249 (* UNEXPORTED
 250 End Continuity
 251 *)
 252
 253 (* begin hide *)
 254
 255 (* UNEXPORTED
 256 Set Strict Implicit.
 257 *)
 258
 259 (* UNEXPORTED
 260 Unset Implicit Arguments.
 261 *)
 262
 263 (* end hide *)
 264