matita/matita/contribs/assembly/freescale/word16.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                           Progetto FreeScale                           *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (* Sviluppato da:                                                         *)
  19 (*   Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                                  *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* Questo materiale fa parte della tesi:                                  *)
  22 (*   "Formalizzazione Interattiva dei Microcontroller a 8bit FreeScale"   *)
  23 (*                                                                        *)
  24 (*                    data ultima modifica 15/11/2007                     *)
  25 (* ********************************************************************** *)
  26
  27 include "freescale/byte8.ma".
  28
  29 (* ********************** *)
  30 (* DEFINIZIONE DELLE WORD *)
  31 (* ********************** *)
  32
  33 record word16 : Type ≝
  34  {
  35  w16h: byte8;
  36  w16l: byte8
  37  }.
  38
  39 (* \langle \rangle *)
  40 notation "〈x:y〉" non associative with precedence 80
  41  for @{ 'mk_word16 $x $y }.
  42 interpretation "mk_word16" 'mk_word16 x y = (mk_word16 x y).
  43
  44 (* operatore = *)
  45 definition eq_w16 ≝ λw1,w2.(eq_b8 (w16h w1) (w16h w2)) ⊗ (eq_b8 (w16l w1) (w16l w2)).
  46
  47 (* operatore < *)
  48 definition lt_w16 ≝
  49 λw1,w2:word16.match lt_b8 (w16h w1) (w16h w2) with
  50  [ true ⇒ true
  51  | false ⇒ match gt_b8 (w16h w1) (w16h w2) with
  52   [ true ⇒ false
  53   | false ⇒ lt_b8 (w16l w1) (w16l w2) ]].
  54
  55 (* operatore ≤ *)
  56 definition le_w16 ≝ λw1,w2:word16.(eq_w16 w1 w2) ⊕ (lt_w16 w1 w2).
  57
  58 (* operatore > *)
  59 definition gt_w16 ≝ λw1,w2:word16.⊖ (le_w16 w1 w2).
  60
  61 (* operatore ≥ *)
  62 definition ge_w16 ≝ λw1,w2:word16.⊖ (lt_w16 w1 w2).
  63
  64 (* operatore and *)
  65 definition and_w16 ≝
  66 λw1,w2:word16.mk_word16 (and_b8 (w16h w1) (w16h w2)) (and_b8 (w16l w1) (w16l w2)).
  67
  68 (* operatore or *)
  69 definition or_w16 ≝
  70 λw1,w2:word16.mk_word16 (or_b8 (w16h w1) (w16h w2)) (or_b8 (w16l w1) (w16l w2)).
  71
  72 (* operatore xor *)
  73 definition xor_w16 ≝
  74 λw1,w2:word16.mk_word16 (xor_b8 (w16h w1) (w16h w2)) (xor_b8 (w16l w1) (w16l w2)).
  75
  76 (* operatore rotazione destra con carry *)
  77 definition rcr_w16 ≝
  78 λw:word16.λc:bool.match rcr_b8 (w16h w) c with
  79  [ pair wh' c' ⇒ match rcr_b8 (w16l w) c' with
  80   [ pair wl' c'' ⇒ pair ?? (mk_word16 wh' wl') c'' ]].
  81
  82 (* operatore shift destro *)
  83 definition shr_w16 ≝
  84 λw:word16.match rcr_b8 (w16h w) false with
  85  [ pair wh' c' ⇒ match rcr_b8 (w16l w) c' with
  86   [ pair wl' c'' ⇒ pair ?? (mk_word16 wh' wl') c'' ]].
  87
  88 (* operatore rotazione destra *)
  89 definition ror_w16 ≝
  90 λw:word16.match rcr_b8 (w16h w) false with
  91  [ pair wh' c' ⇒ match rcr_b8 (w16l w) c' with
  92   [ pair wl' c'' ⇒ match c'' with
  93    [ true ⇒ mk_word16 (or_b8 (mk_byte8 x8 x0) wh') wl'
  94    | false ⇒ mk_word16 wh' wl' ]]].
  95
  96 (* operatore rotazione destra n-volte *)
  97 let rec ror_w16_n (w:word16) (n:nat) on n ≝
  98  match n with
  99   [ O ⇒ w
 100   | S n' ⇒ ror_w16_n (ror_w16 w) n' ].
 101
 102 (* operatore rotazione sinistra con carry *)
 103 definition rcl_w16 ≝
 104 λw:word16.λc:bool.match rcl_b8 (w16l w) c with
 105  [ pair wl' c' ⇒ match rcl_b8 (w16h w) c' with
 106   [ pair wh' c'' ⇒ pair ?? (mk_word16 wh' wl') c'' ]].
 107
 108 (* operatore shift sinistro *)
 109 definition shl_w16 ≝
 110 λw:word16.match rcl_b8 (w16l w) false with
 111  [ pair wl' c' ⇒ match rcl_b8 (w16h w) c' with
 112   [ pair wh' c'' ⇒ pair ?? (mk_word16 wh' wl') c'' ]].
 113
 114 (* operatore rotazione sinistra *)
 115 definition rol_w16 ≝
 116 λw:word16.match rcl_b8 (w16l w) false with
 117  [ pair wl' c' ⇒ match rcl_b8 (w16h w) c' with
 118   [ pair wh' c'' ⇒ match c'' with
 119    [ true ⇒ mk_word16 wh' (or_b8 (mk_byte8 x0 x1) wl')
 120    | false ⇒ mk_word16 wh' wl' ]]].
 121
 122 (* operatore rotazione sinistra n-volte *)
 123 let rec rol_w16_n (w:word16) (n:nat) on n ≝
 124  match n with
 125   [ O ⇒ w
 126   | S n' ⇒ rol_w16_n (rol_w16 w) n' ].
 127
 128 (* operatore not/complemento a 1 *)
 129 definition not_w16 ≝
 130 λw:word16.mk_word16 (not_b8 (w16h w)) (not_b8 (w16l w)).
 131
 132 (* operatore somma con carry *)
 133 definition plus_w16 ≝
 134 λw1,w2:word16.λc:bool.
 135  match plus_b8 (w16l w1) (w16l w2) c with
 136   [ pair l c' ⇒ match plus_b8 (w16h w1) (w16h w2) c' with
 137    [ pair h c'' ⇒ pair ?? (mk_word16 h l) c'' ]].
 138
 139 (* operatore somma senza carry *)
 140 definition plus_w16nc ≝
 141 λw1,w2:word16.fst ?? (plus_w16 w1 w2 false).
 142
 143 (* operatore carry della somma *)
 144 definition plus_w16c ≝
 145 λw1,w2:word16.snd ?? (plus_w16 w1 w2 false).
 146
 147 (* operatore Most Significant Bit *)
 148 definition MSB_w16 ≝ λw:word16.eq_ex x8 (and_ex x8 (b8h (w16h w))).
 149
 150 (* word → naturali *)
 151 definition nat_of_word16 ≝ λw:word16. 256 * (w16h w) + (nat_of_byte8 (w16l w)).
 152
 153 coercion nat_of_word16.
 154
 155 (* naturali → word *)
 156 definition word16_of_nat ≝
 157  λn.mk_word16 (byte8_of_nat (n / 256)) (byte8_of_nat n).
 158
 159 (* operatore predecessore *)
 160 definition pred_w16 ≝
 161 λw:word16.match eq_b8 (w16l w) (mk_byte8 x0 x0) with
 162  [ true ⇒ mk_word16 (pred_b8 (w16h w)) (pred_b8 (w16l w))
 163  | false ⇒ mk_word16 (w16h w) (pred_b8 (w16l w)) ].
 164
 165 (* operatore successore *)
 166 definition succ_w16 ≝
 167 λw:word16.match eq_b8 (w16l w) (mk_byte8 xF xF) with
 168  [ true ⇒ mk_word16 (succ_b8 (w16h w)) (succ_b8 (w16l w))
 169  | false ⇒ mk_word16 (w16h w) (succ_b8 (w16l w)) ].
 170
 171 (* operatore neg/complemento a 2 *)
 172 definition compl_w16 ≝
 173 λw:word16.match MSB_w16 w with
 174  [ true ⇒ succ_w16 (not_w16 w)
 175  | false ⇒ not_w16 (pred_w16 w) ].
 176
 177 (*
 178    operatore moltiplicazione senza segno: b*b=[0x0000,0xFE01]
 179    ... in pratica (〈a,b〉*〈c,d〉) = (a*c)<<8+(a*d)<<4+(b*c)<<4+(b*d)
 180 *)
 181 definition mul_b8 ≝
 182 λb1,b2:byte8.match b1 with
 183 [ mk_byte8 b1h b1l ⇒ match b2 with
 184 [ mk_byte8 b2h b2l ⇒ match mul_ex b1l b2l with
 185 [ mk_byte8 t1_h t1_l ⇒ match mul_ex b1h b2l with
 186 [ mk_byte8 t2_h t2_l ⇒ match mul_ex b2h b1l with
 187 [ mk_byte8 t3_h t3_l ⇒ match mul_ex b1h b2h with
 188 [ mk_byte8 t4_h t4_l ⇒
 189  plus_w16nc
 190   (plus_w16nc
 191    (plus_w16nc 〈〈t4_h,t4_l〉:〈x0,x0〉〉 〈〈x0,t3_h〉:〈t3_l,x0〉〉) 〈〈x0,t2_h〉:〈t2_l,x0〉〉)〈〈x0,x0〉:〈t1_h,t1_l〉〉
 192 ]]]]]].
 193
 194 (* divisione senza segno (secondo la logica delle ALU): (quoziente resto) overflow *)
 195 definition div_b8 ≝
 196 λw:word16.λb:byte8.match eq_b8 b 〈x0,x0〉 with
 197 (*
 198    la combinazione n/0 e' illegale, segnala solo overflow senza dare risultato
 199 *)
 200  [ true ⇒ tripleT ??? 〈xF,xF〉 (w16l w) true
 201  | false ⇒ match eq_w16 w 〈〈x0,x0〉:〈x0,x0〉〉 with
 202 (* 0 diviso qualsiasi cosa diverso da 0 da' q=0 r=0 o=false *)
 203   [ true ⇒ tripleT ??? 〈x0,x0〉 〈x0,x0〉 false
 204 (* 1) e' una divisione sensata che produrra' overflow/risultato *)
 205 (* 2) parametri: dividendo, divisore, moltiplicatore, quoziente, contatore *)
 206 (* 3) ad ogni ciclo il divisore e il moltiplicatore vengono scalati di 1 a dx *)
 207 (* 4) il moltiplicatore e' la quantita' aggiunta al quoziente se il divisore *)
 208 (*    puo' essere sottratto al dividendo *)
 209   | false ⇒ let rec aux (divd:word16) (divs:word16) (molt:byte8) (q:byte8) (c:nat) on c ≝
 210   let w' ≝ plus_w16nc divd (compl_w16 divs) in
 211    match c with
 212    [ O ⇒ match le_w16 divs divd with
 213     [ true ⇒ tripleT ??? (or_b8 molt q) (w16l w') (⊖ (eq_b8 (w16h w') 〈x0,x0〉))
 214     | false ⇒ tripleT ??? q (w16l divd) (⊖ (eq_b8 (w16h divd) 〈x0,x0〉)) ]
 215    | S c' ⇒ match le_w16 divs divd with
 216     [ true ⇒ aux w' (ror_w16 divs) (ror_b8 molt) (or_b8 molt q) c'
 217     | false ⇒ aux divd (ror_w16 divs) (ror_b8 molt) q c' ]]
 218   in aux w (rol_w16_n 〈〈x0,x0〉:b〉 7) 〈x8,x0〉 〈x0,x0〉 7 ]].
 219
 220 (* operatore x in [inf,sup] *)
 221 definition in_range ≝
 222 λx,inf,sup:word16.(le_w16 inf sup) ⊗ (ge_w16 x inf) ⊗ (le_w16 x sup).
 223
 224 (* iteratore sulle word *)
 225 definition forall_word16 ≝
 226  λP.
 227   forall_byte8 (λbh.
 228   forall_byte8 (λbl.
 229    P (mk_word16 bh bl ))).
 230
 231 (* ********************** *)
 232 (* TEOREMI/LEMMMI/ASSIOMI *)
 233 (* ********************** *)
 234
 235 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 236 axiom word16_of_nat_nat_of_word16: ∀b. word16_of_nat (nat_of_word16 b) = b.
 237
 238 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 239 axiom lt_nat_of_word16_65536: ∀b. nat_of_word16 b < (256 * 256).
 240
 241 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 242 axiom nat_of_word16_word16_of_nat: ∀n. nat_of_word16 (word16_of_nat n) = n \mod (256 * 256).
 243
 244 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 245 axiom eq_nat_of_word16_n_nat_of_word16_mod_n_65536:
 246  ∀n. word16_of_nat n = word16_of_nat (n \mod (256 * 256)).
 247
 248 lemma plusw16_ok:
 249  ∀b1,b2,c.
 250   match plus_w16 b1 b2 c with
 251    [ pair r c' ⇒ b1 + b2 + nat_of_bool c = nat_of_word16 r + nat_of_bool c' * (256 * 256)
 252    ].
 253  intros; elim daemon.
 254 qed.
 255
 256 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 257 axiom plusw16_O_x:
 258  ∀b. plus_w16 (mk_word16 (mk_byte8 x0 x0) (mk_byte8 x0 x0)) b false = pair ?? b false.
 259
 260 lemma plusw16nc_O_x:
 261  ∀x. plus_w16nc (mk_word16 (mk_byte8 x0 x0) (mk_byte8 x0 x0)) x = x.
 262  intros;
 263  unfold plus_w16nc;
 264  rewrite > plusw16_O_x;
 265  reflexivity.
 266 qed.
 267
 268 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 269 axiom eq_nat_of_word16_mod: ∀b. nat_of_word16 b = nat_of_word16 b \mod (256 * 256).
 270
 271 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 272 axiom plusw16nc_ok:
 273  ∀b1,b2:word16. nat_of_word16 (plus_w16nc b1 b2) = (b1 + b2) \mod (256 * 256).
 274
 275 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 276 axiom eq_eqw16_x0_x0_x0_x0_word16_of_nat_S_false:
 277  ∀b. b < (256 * 256 - 1) → eq_w16 (mk_word16 (mk_byte8 x0 x0) (mk_byte8 x0 x0)) (word16_of_nat (S b)) = false.
 278
 279 axiom eq_mod_O_to_exists: ∀n,m. n \mod m = 0 → ∃z. n = z*m.
 280
 281 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 282 axiom eq_w16pred_S_a_a:
 283  ∀a. a < (256 * 256 - 1) → pred_w16 (word16_of_nat (S a)) = word16_of_nat a.
 284
 285 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 286 axiom plusw16nc_S:
 287  ∀x:word16.∀n.plus_w16nc (word16_of_nat (x*n)) x = word16_of_nat (x * S n).
 288
 289 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 290 axiom eq_plusw16c_x0_x0_x0_x0_x_false:
 291  ∀x.plus_w16c (mk_word16 (mk_byte8 x0 x0) (mk_byte8 x0 x0)) x = false.
 292
 293 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 294 axiom eqw16_true_to_eq: ∀b,b'. eq_w16 b b' = true → b=b'.
 295
 296 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 297 axiom eqw16_false_to_not_eq: ∀b,b'. eq_w16 b b' = false → b ≠ b'.
 298
 299 (* TODO: dimostrare diversamente *)
 300 axiom word16_of_nat_mod: ∀n.word16_of_nat n = word16_of_nat (n \mod (256 * 256)).
 301
 302 (* nuovi *)
 303
 304 (*
 305 lemma ok_mul_b8: ∀b1,b2:byte8. nat_of_word16 (mul_b8 b1 b2) = b1 * b2.
 306  intros;
 307  cases b1 (b1h b1l);
 308  cases b2 (b2h b2l);
 309  change in ⊢ (? ? (? %) ?) with
 310   (match mul_ex b1l b2l with
 311 [ mk_byte8 t1_h t1_l ⇒ match mul_ex b1h b2l with
 312 [ mk_byte8 t2_h t2_l ⇒ match mul_ex b2h b1l with
 313 [ mk_byte8 t3_h t3_l ⇒ match mul_ex b1h b2h with
 314 [ mk_byte8 t4_h t4_l ⇒
 315  plus_w16nc
 316   (plus_w16nc
 317    (plus_w16nc 〈〈t4_h,t4_l〉:〈x0,x0〉〉 〈〈x0,t3_h〉:〈t3_l,x0〉〉) 〈〈x0,t2_h〉:〈t2_l,x0〉〉)〈〈x0,x0〉:〈t1_h,t1_l〉〉
 318 ]]]]);
 319  lapply (ok_mul_ex b1l b2l) as ll;
 320  lapply (ok_mul_ex b1h b2l) as hl;
 321  lapply (ok_mul_ex b2h b1l) as lh;
 322  lapply (ok_mul_ex b1h b2h) as hh;
 323  elim (mul_ex b1l b2l) (t1_h t1_l);
 324  change in ⊢ (? ? (? %) ?) with
 325   (match mul_ex b1h b2l with
 326 [ mk_byte8 t2_h t2_l ⇒ match mul_ex b2h b1l with
 327 [ mk_byte8 t3_h t3_l ⇒ match mul_ex b1h b2h with
 328 [ mk_byte8 t4_h t4_l ⇒
 329  plus_w16nc
 330   (plus_w16nc
 331    (plus_w16nc 〈〈t4_h,t4_l〉:〈x0,x0〉〉 〈〈x0,t3_h〉:〈t3_l,x0〉〉) 〈〈x0,t2_h〉:〈t2_l,x0〉〉)〈〈x0,x0〉:〈t1_h,t1_l〉〉
 332 ]]]);
 333  elim (mul_ex b1h b2l) (t2_h t2_l);
 334  change in ⊢ (? ? (? %) ?) with
 335   (match mul_ex b2h b1l with
 336 [ mk_byte8 t3_h t3_l ⇒ match mul_ex b1h b2h with
 337 [ mk_byte8 t4_h t4_l ⇒
 338  plus_w16nc
 339   (plus_w16nc
 340    (plus_w16nc 〈〈t4_h,t4_l〉:〈x0,x0〉〉 〈〈x0,t3_h〉:〈t3_l,x0〉〉) 〈〈x0,t2_h〉:〈t2_l,x0〉〉)〈〈x0,x0〉:〈t1_h,t1_l〉〉
 341 ]]);
 342  elim (mul_ex b2h b1l) (t3_h t3_l);
 343  change in ⊢ (? ? (? %) ?) with
 344   (match mul_ex b1h b2h with
 345 [ mk_byte8 t4_h t4_l ⇒
 346  plus_w16nc
 347   (plus_w16nc
 348    (plus_w16nc 〈〈t4_h,t4_l〉:〈x0,x0〉〉 〈〈x0,t3_h〉:〈t3_l,x0〉〉) 〈〈x0,t2_h〉:〈t2_l,x0〉〉)〈〈x0,x0〉:〈t1_h,t1_l〉〉
 349 ]);
 350  elim (mul_ex b1h b2h) (t4_h t4_l);
 351  change in ⊢ (? ? (? %) ?) with
 352   (plus_w16nc
 353   (plus_w16nc
 354    (plus_w16nc 〈〈t4_h,t4_l〉:〈x0,x0〉〉 〈〈x0,t3_h〉:〈t3_l,x0〉〉) 〈〈x0,t2_h〉:〈t2_l,x0〉〉)〈〈x0,x0〉:〈t1_h,t1_l〉〉);
 355  do 3 (rewrite > plusw16nc_ok);
 356  unfold nat_of_word16;
 357  unfold nat_of_byte8;
 358 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? (? (? ? (? (? ? (? (? %))) ?)) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 359 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? (? ? (? (? ? (? (? %))) ?)) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 360 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? (? ? (? ? (? (? %)))) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 361 whd in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? (? ? (? ? %)) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 362 whd in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? (? ? %) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 363 simplify in ⊢ (? ? (? (? ? (? (? ? (? (? ? (? %)) ?)) ?)) ?) ?);
 364 simplify in ⊢ (? ? (? (? ? (? (? ? (? ? (? (? %)))) ?)) ?) ?);
 365 simplify in ⊢ (? ? (? (? ? (? (? ? (? ? %)) ?)) ?) ?);
 366 whd in ⊢ (? ? (? (? ? (? % ?)) ?) ?);
 367 simplify in ⊢ (? ? (? (? ? (? ? (? (? ? (? (? %))) ?))) ?) ?);
 368 simplify in ⊢ (? ? (? (? ? (? ? (? ? (? (? %))))) ?) ?);
 369 simplify in ⊢ (? ? ? (? (? (? ? (? %)) ?) ?));
 370 simplify in ⊢ (? ? ? (? (? ? (? %)) ?));
 371 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? (? (? ? (? %)) ?)));
 372 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? (? ? (? %))));
 373 simplify in ⊢ (? ? (? (? ? (? ? (? (? ? (? %)) ?))) ?) ?);
 374 simplify in ⊢ (? ? (? (? ? (? ? (? ? (? %)))) ?) ?);
 375 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? ? (? ? (? ? (? %)))) ?) ?) ?) ?);
 376 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? ? (? ? (? (? ? (? %)) ?))) ?) ?) ?) ?);
 377 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? ? (? (? ? (? ? (? %))) ?)) ?) ?) ?) ?);
 378 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? ? (? (? ? (? (? ? (? %)) ?)) ?)) ?) ?) ?) ?);
 379 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? ? (? ? (? ? (? %)))) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 380 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? ? (? (? ? (? ? (? %))) ?)) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 381 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? (? (? ? (? (? ? (? %)) ?)) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 382 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? (? (? ? (? ? (? %))) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 383 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? ? (? ? (? (? ? (? %)) ?))) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 384 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? ? (? (? ? (? (? ? (? %)) ?)) ?)) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 385 rewrite < plus_n_O;
 386 change in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?) ?) with (16*nat_of_exadecim t1_h+nat_of_exadecim t1_l);
 387 unfold nat_of_byte8 in H H1 H2 H3;
 388 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? ? (? (? ? (? (? ? %) ?)) ?)) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 389 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? ? (? ? (? ? %))) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 390 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? ? (? (? ? (? (? ? %) ?)) ?)) ?) ?) ?) ?);
 391 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? ? (? ? (? ? %))) ?) ?) ?) ?);
 392 rewrite < plus_n_O;
 393 rewrite < plus_n_O;
 394 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? (? (? ? (? (? ? %) ?)) ?) ?) ?) ?) ?) ?);
 395 simplify in ⊢ (? ? (? (? (? (? ? (? (? ? %) ?)) ?) ?) ?) ?);
 396 elim daemon.
 397 qed.
 398 *)