matita/matita/contribs/dama/dama_duality/group.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16
  17 include "excess.ma".
  18
  19 definition left_neutral ≝ λC:apartness.λop.λe:C. ∀x:C. op e x ≈ x.
  20 definition right_neutral ≝ λC:apartness.λop. λe:C. ∀x:C. op x e ≈ x.
  21 definition left_inverse ≝ λC:apartness.λop.λe:C.λinv:C→C. ∀x:C. op (inv x) x ≈ e.
  22 definition right_inverse ≝ λC:apartness.λop.λe:C.λ inv: C→ C. ∀x:C. op x (inv x) ≈ e.
  23 (* ALLOW DEFINITION WITH SOME METAS *)
  24
  25 definition distributive_left ≝
  26  λA:apartness.λf:A→A→A.λg:A→A→A.
  27   ∀x,y,z. f x (g y z) ≈ g (f x y) (f x z).
  28
  29 definition distributive_right ≝
  30  λA:apartness.λf:A→A→A.λg:A→A→A.
  31   ∀x,y,z. f (g x y) z ≈ g (f x z) (f y z).
  32
  33 record abelian_group : Type ≝
  34  { carr:> apartness;
  35    plus: carr → carr → carr;
  36    zero: carr;
  37    opp: carr → carr;
  38    plus_assoc_: associative ? plus (eq carr);
  39    plus_comm_: commutative ? plus (eq carr);
  40    zero_neutral_: left_neutral ? plus zero;
  41    opp_inverse_: left_inverse ? plus zero opp;
  42    plus_strong_ext: ∀z.strong_ext ? (plus z)
  43 }.
  44
  45 notation "0" with precedence 89 for @{ 'zero }.
  46
  47 interpretation "Abelian group zero" 'zero = (zero ?).
  48
  49 interpretation "Abelian group plus" 'plus a b = (plus ? a b).
  50
  51 interpretation "Abelian group opp" 'uminus a = (opp ? a).
  52
  53 definition minus ≝
  54  λG:abelian_group.λa,b:G. a + -b.
  55
  56 interpretation "Abelian group minus" 'minus a b = (minus ? a b).
  57
  58 lemma plus_assoc: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G.x+(y+z)≈x+y+z ≝ plus_assoc_.
  59 lemma plus_comm: ∀G:abelian_group.∀x,y:G.x+y≈y+x ≝ plus_comm_.
  60 lemma zero_neutral: ∀G:abelian_group.∀x:G.0+x≈x ≝ zero_neutral_.
  61 lemma opp_inverse: ∀G:abelian_group.∀x:G.-x+x≈0 ≝ opp_inverse_.
  62
  63 definition ext ≝ λA:apartness.λop:A→A. ∀x,y. x ≈ y → op x ≈ op y.
  64
  65 lemma strong_ext_to_ext: ∀A:apartness.∀op:A→A. strong_ext ? op → ext ? op.
  66 intros 6 (A op SEop x y Exy); intro Axy; apply Exy; apply SEop; assumption;
  67 qed.
  68
  69 lemma feq_plusl: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y ≈ z →  x+y ≈ x+z.
  70 intros (G x y z Eyz); apply (strong_ext_to_ext ?? (plus_strong_ext ? x));
  71 assumption;
  72 qed.
  73
  74 coercion cic:/matita/group/feq_plusl.con nocomposites.
  75
  76 lemma plus_strong_extr: ∀G:abelian_group.∀z:G.strong_ext ? (λx.x + z).
  77 intros 5 (G z x y A); simplify in A;
  78 lapply (plus_comm ? z x) as E1; lapply (plus_comm ? z y) as E2;
  79 lapply (Ap≪ ? E1 A) as A1; lapply (Ap≫ ? E2 A1) as A2;
  80 apply (plus_strong_ext ???? A2);
  81 qed.
  82
  83 lemma plus_cancl_ap: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G.z+x # z + y → x # y.
  84 intros; apply plus_strong_ext; assumption;
  85 qed.
  86
  87 lemma plus_cancr_ap: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G.x+z # y+z → x # y.
  88 intros; apply plus_strong_extr; assumption;
  89 qed.
  90
  91 lemma feq_plusr: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y ≈ z →  y+x ≈ z+x.
  92 intros (G x y z Eyz); apply (strong_ext_to_ext ?? (plus_strong_extr ? x));
  93 assumption;
  94 qed.
  95
  96 coercion cic:/matita/group/feq_plusr.con nocomposites.
  97
  98 (* generation of coercions to make *_rew[lr] easier *)
  99 lemma feq_plusr_sym_: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G.z ≈ y →  y+x ≈ z+x.
 100 compose feq_plusr with eq_sym (H); apply H; assumption;
 101 qed.
 102 coercion cic:/matita/group/feq_plusr_sym_.con nocomposites.
 103 lemma feq_plusl_sym_: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G.z ≈ y →  x+y ≈ x+z.
 104 compose feq_plusl with eq_sym (H); apply H; assumption;
 105 qed.
 106 coercion cic:/matita/group/feq_plusl_sym_.con nocomposites.
 107
 108 lemma fap_plusl: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y # z →  x+y # x+z.
 109 intros (G x y z Ayz); apply (plus_strong_ext ? (-x));
 110 apply (Ap≪ ((-x + x) + y));
 111 [1: apply plus_assoc;
 112 |2: apply (Ap≫ ((-x +x) +z));
 113     [1: apply plus_assoc;
 114     |2: apply (Ap≪ (0 + y));
 115         [1: apply (feq_plusr ???? (opp_inverse ??));
 116         |2: apply (Ap≪ ? (zero_neutral ? y));
 117             apply (Ap≫ (0 + z) (opp_inverse ??));
 118             apply (Ap≫ ? (zero_neutral ??)); assumption;]]]
 119 qed.
 120
 121 lemma fap_plusr: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y # z →  y+x # z+x.
 122 intros (G x y z Ayz); apply (plus_strong_extr ? (-x));
 123 apply (Ap≪ (y + (x + -x)));
 124 [1: apply (eq_sym ??? (plus_assoc ????));
 125 |2: apply (Ap≫ (z + (x + -x)));
 126     [1: apply (eq_sym ??? (plus_assoc ????));
 127     |2: apply (Ap≪ (y + (-x+x)) (plus_comm ? x (-x)));
 128         apply (Ap≪ (y + 0) (opp_inverse ??));
 129         apply (Ap≪ (0 + y) (plus_comm ???));
 130         apply (Ap≪ y (zero_neutral ??));
 131         apply (Ap≫ (z + (-x+x)) (plus_comm ? x (-x)));
 132         apply (Ap≫ (z + 0) (opp_inverse ??));
 133         apply (Ap≫ (0 + z) (plus_comm ???));
 134         apply (Ap≫ z (zero_neutral ??));
 135         assumption]]
 136 qed.
 137
 138 lemma applus: ∀E:abelian_group.∀x,a,y,b:E.x + a # y + b → x # y ∨ a # b.
 139 intros; cases (ap_cotransitive ??? (y+a) a1); [left|right]
 140 [apply (plus_cancr_ap ??? a)|apply (plus_cancl_ap ??? y)]
 141 assumption;
 142 qed.
 143
 144 lemma plus_cancl: ∀G:abelian_group.∀y,z,x:G. x+y ≈ x+z → y ≈ z.
 145 intros 6 (G y z x E Ayz); apply E; apply fap_plusl; assumption;
 146 qed.
 147
 148 lemma plus_cancr: ∀G:abelian_group.∀y,z,x:G. y+x ≈ z+x → y ≈ z.
 149 intros 6 (G y z x E Ayz); apply E; apply fap_plusr; assumption;
 150 qed.
 151
 152 theorem eq_opp_plus_plus_opp_opp:
 153   ∀G:abelian_group.∀x,y:G. -(x+y) ≈ -x + -y.
 154 intros (G x y); apply (plus_cancr ??? (x+y));
 155 apply (Eq≈ 0 (opp_inverse ??));
 156 apply (Eq≈ (-x + -y + x + y)); [2: apply (eq_sym ??? (plus_assoc ????))]
 157 apply (Eq≈ (-y + -x + x + y)); [2: repeat apply feq_plusr; apply plus_comm]
 158 apply (Eq≈ (-y + (-x + x) + y)); [2: apply feq_plusr; apply plus_assoc;]
 159 apply (Eq≈ (-y + 0 + y));
 160   [2: apply feq_plusr; apply feq_plusl; apply eq_sym; apply opp_inverse]
 161 apply (Eq≈ (-y + y));
 162   [2: apply feq_plusr; apply eq_sym;
 163       apply (Eq≈ (0+-y)); [apply plus_comm|apply zero_neutral]]
 164 apply eq_sym; apply opp_inverse.
 165 qed.
 166
 167 theorem eq_opp_opp_x_x: ∀G:abelian_group.∀x:G.--x ≈ x.
 168 intros (G x); apply (plus_cancl ??? (-x));
 169 apply (Eq≈ (--x + -x) (plus_comm ???));
 170 apply (Eq≈ 0 (opp_inverse ??));
 171 apply eq_sym; apply opp_inverse;
 172 qed.
 173
 174 theorem eq_zero_opp_zero: ∀G:abelian_group.0 ≈ -0. [assumption]
 175 intro G; apply (plus_cancr ??? 0);
 176 apply (Eq≈ 0); [apply zero_neutral;]
 177 apply eq_sym; apply opp_inverse;
 178 qed.
 179
 180 lemma feq_oppr: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y ≈ z → x ≈ -y → x ≈ -z.
 181 intros (G x y z H1 H2); apply (plus_cancr ??? z);
 182 apply (Eq≈ 0 ? (opp_inverse ??));
 183 apply (Eq≈ (-y + z) H2);
 184 apply (Eq≈ (-y + y) H1);
 185 apply (Eq≈ 0 (opp_inverse ??));
 186 apply eq_reflexive;
 187 qed.
 188
 189 lemma feq_oppl: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. y ≈ z → -y ≈ x → -z ≈ x.
 190 intros (G x y z H1 H2); apply eq_sym; apply (feq_oppr ??y);
 191 [2:apply eq_sym] assumption;
 192 qed.
 193
 194 lemma feq_opp: ∀G:abelian_group.∀x,y:G. x ≈ y → -x ≈ -y.
 195 intros (G x y H); apply (feq_oppl ??y ? H); apply eq_reflexive;
 196 qed.
 197
 198 coercion cic:/matita/group/feq_opp.con nocomposites.
 199
 200 lemma eq_opp_sym: ∀G:abelian_group.∀x,y:G. y ≈ x → -x ≈ -y.
 201 compose feq_opp with eq_sym (H); apply H; assumption;
 202 qed.
 203
 204 coercion cic:/matita/group/eq_opp_sym.con nocomposites.
 205
 206 lemma eq_opp_plusr: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. x ≈ y → -(x + z) ≈ -(y + z).
 207 compose feq_plusr with feq_opp(H); apply H; assumption;
 208 qed.
 209
 210 coercion cic:/matita/group/eq_opp_plusr.con nocomposites.
 211
 212 lemma eq_opp_plusl: ∀G:abelian_group.∀x,y,z:G. x ≈ y → -(z + x) ≈ -(z + y).
 213 compose feq_plusl with feq_opp(H); apply H; assumption;
 214 qed.
 215
 216 coercion cic:/matita/group/eq_opp_plusl.con nocomposites.