matita/matita/contribs/dama/dama_duality/lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "excess.ma".
  16
  17 record semi_lattice_base : Type ≝ {
  18   sl_carr:> apartness;
  19   sl_op: sl_carr → sl_carr → sl_carr;
  20   sl_op_refl: ∀x.sl_op x x ≈ x;
  21   sl_op_comm: ∀x,y:sl_carr. sl_op x y ≈ sl_op y x;
  22   sl_op_assoc: ∀x,y,z:sl_carr. sl_op x (sl_op y z) ≈ sl_op (sl_op x y) z;
  23   sl_strong_extop: ∀x.strong_ext ? (sl_op x)
  24 }.
  25
  26 notation "a \cross b" left associative with precedence 55 for @{ 'op $a $b }.
  27 interpretation "semi lattice base operation" 'op a b = (sl_op ? a b).
  28
  29 lemma excess_of_semi_lattice_base: semi_lattice_base → excess.
  30 intro l;
  31 apply mk_excess;
  32 [1: apply mk_excess_;
  33     [1: apply mk_excess_dual_smart;
  34
  35   apply (mk_excess_base (sl_carr l));
  36     [1: apply (λa,b:sl_carr l.a # (a ✗ b));
  37     |2: unfold; intros 2 (x H); simplify in H;
  38         lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
  39         apply (ap_coreflexive ?? H1);
  40     |3: unfold; simplify; intros (x y z H1);
  41         cases (ap_cotransitive ??? ((x ✗ z) ✗ y) H1) (H2 H2);[2:
  42           lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H2) as H21;
  43           lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) H21) as H22; clear H21 H2;
  44           lapply (sl_strong_extop ???? H22); clear H22;
  45           left; apply ap_symmetric; assumption;]
  46         cases (ap_cotransitive ??? (x ✗ z) H2) (H3 H3);[left;assumption]
  47         right; lapply (Ap≫ ? (sl_op_assoc ????) H3) as H31;
  48         apply (sl_strong_extop ???? H31);]
  49
  50     |2:
  51     apply apartness_of_excess_base;
  52
  53   apply (mk_excess_base (sl_carr l));
  54     [1: apply (λa,b:sl_carr l.a # (a ✗ b));
  55     |2: unfold; intros 2 (x H); simplify in H;
  56         lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
  57         apply (ap_coreflexive ?? H1);
  58     |3: unfold; simplify; intros (x y z H1);
  59         cases (ap_cotransitive ??? ((x ✗ z) ✗ y) H1) (H2 H2);[2:
  60           lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H2) as H21;
  61           lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) H21) as H22; clear H21 H2;
  62           lapply (sl_strong_extop ???? H22); clear H22;
  63           left; apply ap_symmetric; assumption;]
  64         cases (ap_cotransitive ??? (x ✗ z) H2) (H3 H3);[left;assumption]
  65         right; lapply (Ap≫ ? (sl_op_assoc ????) H3) as H31;
  66         apply (sl_strong_extop ???? H31);]
  67
  68     |3: apply refl_eq;]
  69 |2,3: intros (x y H); assumption;]
  70 qed.
  71
  72 record semi_lattice : Type ≝ {
  73   sl_exc:> excess;
  74   sl_meet: sl_exc → sl_exc → sl_exc;
  75   sl_meet_refl: ∀x.sl_meet x x ≈ x;
  76   sl_meet_comm: ∀x,y. sl_meet x y ≈ sl_meet y x;
  77   sl_meet_assoc: ∀x,y,z. sl_meet x (sl_meet y z) ≈ sl_meet (sl_meet x y) z;
  78   sl_strong_extm: ∀x.strong_ext ? (sl_meet x);
  79   sl_le_to_eqm: ∀x,y.x ≤ y → x ≈ sl_meet x y;
  80   sl_lem: ∀x,y.(sl_meet x y) ≤ y
  81 }.
  82
  83 interpretation "semi lattice meet" 'and a b = (sl_meet ? a b).
  84
  85 lemma sl_feq_ml: ∀ml:semi_lattice.∀a,b,c:ml. a ≈ b → (c ∧ a) ≈ (c ∧ b).
  86 intros (l a b c H); unfold eq in H ⊢ %; unfold Not in H ⊢ %;
  87 intro H1; apply H; clear H; apply (sl_strong_extm ???? H1);
  88 qed.
  89
  90 lemma sl_feq_mr: ∀ml:semi_lattice.∀a,b,c:ml. a ≈ b → (a ∧ c) ≈ (b ∧ c).
  91 intros (l a b c H);
  92 apply (Eq≈ ? (sl_meet_comm ???)); apply (Eq≈ ?? (sl_meet_comm ???));
  93 apply sl_feq_ml; assumption;
  94 qed.
  95
  96
  97 (*
  98 lemma semi_lattice_of_semi_lattice_base: semi_lattice_base → semi_lattice.
  99 intro slb; apply (mk_semi_lattice (excess_of_semi_lattice_base slb));
 100 [1: apply (sl_op slb);
 101 |2: intro x; apply (eq_trans (excess_of_semi_lattice_base slb)); [2:
 102       apply (sl_op_refl slb);|1:skip] (sl_op slb x x)); ? (sl_op_refl slb x));
 103
 104  unfold excess_of_semi_lattice_base; simplify;
 105     intro H; elim H;
 106     [
 107
 108
 109     lapply (ap_rewl (excess_of_semi_lattice_base slb) x ? (sl_op slb x x)
 110       (eq_sym (excess_of_semi_lattice_base slb) ?? (sl_op_refl slb x)) t);
 111     change in x with (sl_carr slb);
 112     apply (Ap≪ (x ✗ x)); (sl_op_refl slb x));
 113
 114 whd in H; elim H; clear H;
 115     [ apply (ap_coreflexive (excess_of_semi_lattice_base slb) (x ✗ x) t);
 116
 117 prelattice (excess_of_directed l_)); [apply (sl_op l_);]
 118 unfold excess_of_directed; try unfold apart_of_excess; simplify;
 119 unfold excl; simplify;
 120 [intro x; intro H; elim H; clear H;
 121  [apply (sl_op_refl l_ x);
 122   lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) t) as H; clear t;
 123   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H); apply ap_symmetric; assumption
 124  | lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ?x) t) as H; clear t;
 125    lapply (sl_strong_extop l_ ??? H); apply (sl_op_refl l_ x);
 126    apply ap_symmetric; assumption]
 127 |intros 3 (x y H); cases H (H1 H2); clear H;
 128  [lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ x y)) H1) as H; clear H1;
 129   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 130   lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H1); apply (ap_coreflexive ?? Hletin);
 131  |lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ y x)) H2) as H; clear H2;
 132   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 133   lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H1);apply (ap_coreflexive ?? Hletin);]
 134 |intros 4 (x y z H); cases H (H1 H2); clear H;
 135  [lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ x (sl_op l_ y z))) H1) as H; clear H1;
 136   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 137   lapply (Ap≪ ? (eq_sym ??? (sl_op_assoc ?x y z)) H1) as H; clear H1;
 138   apply (ap_coreflexive ?? H);
 139  |lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ (sl_op l_ x y) z)) H2) as H; clear H2;
 140   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 141   lapply (Ap≪ ? (sl_op_assoc ?x y z) H1) as H; clear H1;
 142   apply (ap_coreflexive ?? H);]
 143 |intros (x y z H); elim H (H1 H1); clear H;
 144  lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H1) as H; clear H1;
 145  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 146  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H1) as H; clear H1;
 147  cases (ap_cotransitive ??? (sl_op l_ y z) H);[left|right|right|left] try assumption;
 148  [apply ap_symmetric;apply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???));
 149  |apply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???));
 150  |apply ap_symmetric;] assumption;
 151 |intros 4 (x y H H1); apply H; clear H; elim H1 (H H);
 152  lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
 153  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H1) as H; clear H1;[2: apply ap_symmetric]
 154  assumption
 155 |intros 3 (x y H);
 156  cut (sl_op l_ x y ≈ sl_op l_ x (sl_op l_ y y)) as H1;[2:
 157    intro; lapply (sl_strong_extop ???? a); apply (sl_op_refl l_ y);
 158    apply ap_symmetric; assumption;]
 159  lapply (Ap≪ ? (eq_sym ??? H1) H); apply (sl_op_assoc l_ x y y);
 160  assumption; ]
 161 qed.
 162 *)
 163
 164 (* ED(≰,≱) → EB(≰') → ED(≰',≱') *)
 165 lemma subst_excess_base: excess_dual → excess_base → excess_dual.
 166 intros; apply (mk_excess_dual_smart e1);
 167 qed.
 168
 169 (* E_(ED(≰,≱),AP(#),c ED = c AP) → ED' → c DE' = c E_ → E_(ED',#,p) *)
 170 lemma subst_dual_excess: ∀e:excess_.∀e1:excess_dual.exc_carr e = exc_carr e1 → excess_.
 171 intros (e e1 p); apply (mk_excess_ e1 e); cases p; reflexivity;
 172 qed.
 173
 174 (* E(E_,H1,H2) → E_' → H1' → H2' → E(E_',H1',H2') *)
 175 alias symbol "nleq" = "Excess excess_".
 176 lemma subst_excess_: ∀e:excess. ∀e1:excess_.
 177   (∀y,x:e1. y # x → y ≰ x ∨ x ≰ y) →
 178   (∀y,x:e1.y ≰ x ∨ x ≰ y →  y # x) →
 179   excess.
 180 intros (e e1 H1 H2); apply (mk_excess e1 H1 H2);
 181 qed.
 182
 183 definition hole ≝ λT:Type.λx:T.x.
 184
 185 notation < "\ldots" non associative with precedence 55 for @{'hole}.
 186 interpretation "hole" 'hole = (hole ? ?).
 187
 188 (* SL(E,M,H2-5(#),H67(≰)) → E' → c E = c E' → H67'(≰') → SL(E,M,p2-5,H67') *)
 189 lemma subst_excess:
 190   ∀l:semi_lattice.
 191   ∀e:excess.
 192   ∀p:exc_ap l = exc_ap e.
 193   (∀x,y:e.(le (exc_dual_base e)) x y → x ≈ (?(sl_meet l)) x y) →
 194   (∀x,y:e.(le (exc_dual_base e)) ((?(sl_meet l)) x y) y) →
 195   semi_lattice.
 196 [1,2:intro M;
 197  change with ((λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e);
 198  cases p; apply M;
 199 |intros (l e p H1 H2);
 200  apply (mk_semi_lattice e);
 201    [ change with ((λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e);
 202      cases p; simplify; apply (sl_meet l);
 203    |2: change in ⊢ (% → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_refl;
 204    |3: change in ⊢ (% → % → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_comm;
 205    |4: change in ⊢ (% → % → % → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_assoc;
 206    |5: change in ⊢ (% → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_strong_extm;
 207    |6: clear H2; apply hole; apply H1;
 208    |7: clear H1; apply hole; apply H2;]]
 209 qed.
 210
 211 lemma excess_of_excess_base: excess_base → excess.
 212 intro eb;
 213 apply mk_excess;
 214   [apply (mk_excess_ (mk_excess_dual_smart eb));
 215     [apply (apartness_of_excess_base eb);
 216     |reflexivity]
 217   |2,3: intros; assumption]
 218 qed.
 219
 220 lemma subst_excess_preserves_aprtness:
 221   ∀l:semi_lattice.
 222   ∀e:excess.
 223   ∀p,H1,H2.
 224   exc_ap l = exc_ap (subst_excess l e p H1 H2).
 225 intros;
 226 unfold subst_excess;
 227 simplify; assumption;
 228 qed.
 229
 230
 231 lemma subst_excess__preserves_aprtness:
 232   ∀l:excess.
 233   ∀e:excess_base.
 234   ∀p,H1,H2.
 235   exc_ap l = apartness_OF_excess (subst_excess_ l (subst_dual_excess l (subst_excess_base l e) p) H1 H2).
 236 intros 3; (unfold subst_excess_; unfold subst_dual_excess; unfold subst_excess_base; unfold exc_ap; unfold mk_excess_dual_smart; simplify);
 237 (unfold subst_excess_base in p; unfold mk_excess_dual_smart in p; simplify in p);
 238 intros; cases p;
 239 reflexivity;
 240 qed.
 241
 242 lemma subst_excess_base_in_excess_:
 243   ∀d:excess_.
 244   ∀eb:excess_base.
 245   ∀p:exc_carr d = exc_carr eb.
 246   excess_.
 247 intros (e_ eb);
 248 apply (subst_dual_excess e_);
 249   [apply (subst_excess_base e_ eb);
 250   |assumption]
 251 qed.
 252
 253 lemma subst_excess_base_in_excess:
 254   ∀d:excess.
 255   ∀eb:excess_base.
 256   ∀p:exc_carr d = exc_carr eb.
 257   (∀y1,x1:eb. (?(ap_apart d)) y1  x1 → y1 ≰ x1 ∨ x1 ≰ y1) →
 258   (∀y2,x2:eb.y2 ≰ x2 ∨ x2 ≰ y2 →  (?(ap_apart d)) y2 x2) →
 259   excess.
 260 [1,3,4:apply Type|2,5:intro f; cases p; apply f]
 261 intros (d eb p H1 H2);
 262 apply (subst_excess_ d);
 263   [apply (subst_excess_base_in_excess_ d eb p);
 264   |apply hole; clear H2;
 265    change in ⊢ (%→%→?) with (exc_carr eb);
 266    change in ⊢ (?→?→?→? (? % ? ?) (? % ? ?)) with eb; intros (y x H3);
 267    apply H1; generalize in match H3;
 268    unfold ap_apart; unfold subst_excess_base_in_excess_;
 269    unfold subst_dual_excess; simplify;
 270    generalize in match x;
 271    generalize in match y;
 272    cases p; simplify; intros; assumption;
 273   |apply hole; clear H1;
 274    change in ⊢ (%→%→?) with (exc_carr eb);
 275    change in ⊢ (?→?→? (? % ? ?) (? % ? ?)→?) with eb; intros (y x H3);
 276    unfold ap_apart; unfold subst_excess_base_in_excess_;
 277    unfold subst_dual_excess; simplify; generalize in match (H2 ?? H3);
 278    generalize in match x; generalize in match y; cases p;
 279    intros; assumption;]
 280 qed.
 281
 282 lemma tech1: ∀e:excess.
 283  ∀eb:excess_base.
 284  ∀p,H1,H2.
 285  exc_ap e = exc_ap_  (subst_excess_base_in_excess e eb p H1 H2).
 286 intros (e eb p H1 H2);
 287 unfold subst_excess_base_in_excess;
 288 unfold subst_excess_; simplify;
 289 unfold subst_excess_base_in_excess_;
 290 unfold subst_dual_excess; simplify; reflexivity;
 291 qed.
 292
 293 lemma tech2:
 294  ∀e:excess_.∀eb.∀p.
 295   exc_ap e = exc_ap (mk_excess_ (subst_excess_base e eb) (exc_ap e) p).
 296 intros (e eb p);unfold exc_ap; simplify; cases p; simplify; reflexivity;
 297 qed.
 298
 299 (*
 300 lemma eq_fap:
 301  ∀a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,b5.
 302  a1=b1 → a2=b2 → a3=b3 → a4=b4 → a5=b5 → mk_apartness a1 a2 a3 a4 a5 = mk_apartness b1 b2 b3 b4 b5.
 303 intros; cases H; cases H1; cases H2; cases H3; cases H4; reflexivity;
 304 qed.
 305 *)
 306
 307 lemma subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness:
 308  ∀e:excess.
 309  ∀eb:excess_base.
 310  ∀H,H1,H2.
 311  apartness_OF_excess e =
 312  apartness_OF_excess (subst_excess_base_in_excess e eb H H1 H2).
 313 intros (e eb p H1 H2);
 314 unfold subst_excess_base_in_excess;
 315 unfold subst_excess_; unfold subst_excess_base_in_excess_;
 316 unfold subst_dual_excess; unfold apartness_OF_excess;
 317 simplify in ⊢ (? ? ? (? %));
 318 rewrite < (tech2 e eb );
 319 reflexivity;
 320 qed.
 321
 322
 323
 324 alias symbol "nleq" = "Excess base excess".
 325 lemma subst_excess_base_in_semi_lattice:
 326   ∀sl:semi_lattice.
 327   ∀eb:excess_base.
 328   ∀p:exc_carr sl = exc_carr eb.
 329   (∀y1,x1:eb. (?(ap_apart sl)) y1  x1 → y1 ≰ x1 ∨ x1 ≰ y1) →
 330   (∀y2,x2:eb.y2 ≰ x2 ∨ x2 ≰ y2 →  (?(ap_apart sl)) y2 x2) →
 331   (∀x3,y3:eb.(le eb) x3 y3 → (?(eq sl)) x3 ((?(sl_meet sl)) x3 y3)) →
 332   (∀x4,y4:eb.(le eb) ((?(sl_meet sl)) x4 y4) y4) →
 333   semi_lattice.
 334 [2:apply Prop|3,7,9,10:apply Type|4:apply (exc_carr eb)|1,5,6,8,11:intro f; cases p; apply f;]
 335 intros (sl eb H H1 H2 H3 H4);
 336 apply (subst_excess sl);
 337   [apply (subst_excess_base_in_excess sl eb H H1 H2);
 338   |apply subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness;
 339   |change in ⊢ (%→%→?) with ((λx.ap_carr x) (subst_excess_base_in_excess (sl_exc sl) eb H H1 H2)); simplify;
 340    intros 3 (x y LE); clear H3 LE;
 341    generalize in match x as x; generalize in match y as y;
 342    generalize in match H1 as H1;generalize in match H2 as H2;
 343    clear x y H1 H2 H4; STOP
 344
 345    apply (match H return λr:Type.λm:Type_OF_semi_lattice sl=r.
 346    ∀H2:(Πy2:exc_carr eb
 347                .Πx2:exc_carr eb
 348                 .Or (exc_excess eb y2 x2) (exc_excess eb x2 y2)
 349                  →match H
 350                      in eq
 351                      return
 352                     λright_1:Type
 353                     .(λmatched:eq Type (Type_OF_semi_lattice sl) right_1
 354                       .right_1→right_1→Type)
 355                      with
 356                     [refl_eq⇒ap_apart (apartness_OF_semi_lattice sl)] y2 x2)
 357 .∀H1:Πy1:exc_carr eb
 358                .Πx1:exc_carr eb
 359                 .match H
 360                   in eq
 361                   return
 362                  λright_1:Type
 363                  .(λmatched:eq Type (Type_OF_semi_lattice sl) right_1
 364                    .right_1→right_1→Type)
 365                   with
 366                  [refl_eq⇒ap_apart (apartness_OF_semi_lattice sl)] y1 x1
 367                  →Or (exc_excess eb y1 x1) (exc_excess eb x1 y1)
 368  .∀y:ap_carr
 369               (apartness_OF_excess (subst_excess_base_in_excess (sl_exc sl) eb H H1 H2))
 370   .∀x:ap_carr
 371                (apartness_OF_excess
 372                 (subst_excess_base_in_excess (sl_exc sl) eb H H1 H2))
 373    .eq
 374     (apartness_OF_excess (subst_excess_base_in_excess (sl_exc sl) eb H H1 H2)) x
 375     (match
 376      subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness (sl_exc sl) eb H H1 H2
 377       in eq
 378       return
 379      λright_1:apartness
 380      .(λmatched:eq apartness (apartness_OF_semi_lattice sl) right_1
 381        .ap_carr right_1→ap_carr right_1→ap_carr right_1)
 382       with
 383      [refl_eq⇒sl_meet sl] x y)
 384
 385    with [ refl_eq ⇒ ?]);
 386
 387
 388    cases (subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness sl eb H H1 H2);
 389    cases H;
 390    cases (subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness (sl_exc sl) eb H H1 H2); simplify;
 391    change in x:(%) with (exc_carr eb);
 392    change in y:(%) with (exc_carr eb);
 393    generalize in match OK; generalize in match x as x; generalize in match y as y;
 394    cases H; simplify; (* funge, ma devo fare 2 rewrite in un colpo solo *)
 395    *)
 396   |cases FALSE;
 397   ]
 398 qed.
 399
 400 record lattice_ : Type ≝ {
 401   latt_mcarr:> semi_lattice;
 402   latt_jcarr_: semi_lattice;
 403   W1:?; W2:?; W3:?; W4:?; W5:?;
 404   latt_with1: latt_jcarr_ = subst_excess_base_in_semi_lattice latt_jcarr_
 405     (excess_base_OF_semi_lattice latt_mcarr) W1 W2 W3 W4 W5
 406 }.
 407
 408 lemma latt_jcarr : lattice_ → semi_lattice.
 409 intro l; apply (subst_excess_base_in_semi_lattice (latt_jcarr_ l) (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l)) (W1 l) (W2 l) (W3 l) (W4 l) (W5 l));
 410 qed.
 411
 412 coercion cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con.
 413
 414 interpretation "Lattice meet" 'and a b =
 415  (sl_meet (latt_mcarr _) a b).
 416
 417 interpretation "Lattice join" 'or a b =
 418  (sl_meet (latt_jcarr _) a b).
 419
 420 record lattice : Type ≝ {
 421   latt_carr:> lattice_;
 422   absorbjm: ∀f,g:latt_carr. (f ∨ (f ∧ g)) ≈ f;
 423   absorbmj: ∀f,g:latt_carr. (f ∧ (f ∨ g)) ≈ f
 424 }.
 425
 426 notation "'meet'"        non associative with precedence 55 for @{'meet}.
 427 notation "'meet_refl'"   non associative with precedence 55 for @{'meet_refl}.
 428 notation "'meet_comm'"   non associative with precedence 55 for @{'meet_comm}.
 429 notation "'meet_assoc'"  non associative with precedence 55 for @{'meet_assoc}.
 430 notation "'strong_extm'" non associative with precedence 55 for @{'strong_extm}.
 431 notation "'le_to_eqm'"   non associative with precedence 55 for @{'le_to_eqm}.
 432 notation "'lem'"         non associative with precedence 55 for @{'lem}.
 433 notation "'join'"        non associative with precedence 55 for @{'join}.
 434 notation "'join_refl'"   non associative with precedence 55 for @{'join_refl}.
 435 notation "'join_comm'"   non associative with precedence 55 for @{'join_comm}.
 436 notation "'join_assoc'"  non associative with precedence 55 for @{'join_assoc}.
 437 notation "'strong_extj'" non associative with precedence 55 for @{'strong_extj}.
 438 notation "'le_to_eqj'"   non associative with precedence 55 for @{'le_to_eqj}.
 439 notation "'lej'"         non associative with precedence 55 for @{'lej}.
 440
 441 interpretation "Lattice meet"        'meet        = (sl_meet (latt_mcarr ?)).
 442 interpretation "Lattice meet_refl"   'meet_refl   = (sl_meet_refl (latt_mcarr ?)).
 443 interpretation "Lattice meet_comm"   'meet_comm   = (sl_meet_comm (latt_mcarr ?)).
 444 interpretation "Lattice meet_assoc"  'meet_assoc  = (sl_meet_assoc (latt_mcarr ?)).
 445 interpretation "Lattice strong_extm" 'strong_extm = (sl_strong_extm (latt_mcarr ?)).
 446 interpretation "Lattice le_to_eqm"   'le_to_eqm   = (sl_le_to_eqm (latt_mcarr ?)).
 447 interpretation "Lattice lem"         'lem         = (sl_lem (latt_mcarr ?)).
 448 interpretation "Lattice join"        'join        = (sl_meet (latt_jcarr ?)).
 449 interpretation "Lattice join_refl"   'join_refl   = (sl_meet_refl (latt_jcarr ?)).
 450 interpretation "Lattice join_comm"   'join_comm   = (sl_meet_comm (latt_jcarr ?)).
 451 interpretation "Lattice join_assoc"  'join_assoc  = (sl_meet_assoc (latt_jcarr ?)).
 452 interpretation "Lattice strong_extm" 'strong_extj = (sl_strong_extm (latt_jcarr ?)).
 453 interpretation "Lattice le_to_eqj"   'le_to_eqj   = (sl_le_to_eqm (latt_jcarr ?)).
 454 interpretation "Lattice lej"         'lej         = (sl_lem (latt_jcarr ?)).
 455
 456 notation "'feq_jl'" non associative with precedence 55 for @{'feq_jl}.
 457 notation "'feq_jr'" non associative with precedence 55 for @{'feq_jr}.
 458 notation "'feq_ml'" non associative with precedence 55 for @{'feq_ml}.
 459 notation "'feq_mr'" non associative with precedence 55 for @{'feq_mr}.
 460 interpretation "Lattice feq_jl" 'feq_jl = (sl_feq_ml (latt_jcarr ?)).
 461 interpretation "Lattice feq_jr" 'feq_jr = (sl_feq_mr (latt_jcarr ?)).
 462 interpretation "Lattice feq_ml" 'feq_ml = (sl_feq_ml (latt_mcarr ?)).
 463 interpretation "Lattice feq_mr" 'feq_mr = (sl_feq_mr (latt_mcarr ?)).
 464
 465
 466 interpretation "Lattive meet le" 'leq a b = (le (excess_OF_lattice1 ?) a b).
 467
 468 interpretation "Lattive join le (aka ge)" 'geq a b =
 469  (le (excess_OF_lattice _) a b).
 470
 471 (* these coercions help unification, handmaking a bit of conversion
 472    over an open term
 473 *)
 474 lemma le_to_ge: ∀l:lattice.∀a,b:l.a ≤ b → b ≥ a.
 475 intros(l a b H); apply H;
 476 qed.
 477
 478 lemma ge_to_le: ∀l:lattice.∀a,b:l.b ≥ a → a ≤ b.
 479 intros(l a b H); apply H;
 480 qed.
 481
 482 coercion cic:/matita/lattice/le_to_ge.con nocomposites.
 483 coercion cic:/matita/lattice/ge_to_le.con nocomposites.