matita/matita/contribs/dama/dama_duality/metric_lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
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  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "metric_space.ma".
  16 include "lattice.ma".
  17
  18 record mlattice_ (R : todgroup) : Type ≝ {
  19   ml_mspace_: metric_space R;
  20   ml_lattice:> lattice;
  21   ml_with: ms_carr ? ml_mspace_ = Type_OF_lattice ml_lattice
  22 }.
  23
  24 lemma ml_mspace: ∀R.mlattice_ R → metric_space R.
  25 intros  (R ml); apply (mk_metric_space R (Type_OF_mlattice_ ? ml));
  26 unfold Type_OF_mlattice_; cases (ml_with ? ml); simplify;
  27 [apply (metric ? (ml_mspace_ ? ml));|apply (mpositive ? (ml_mspace_ ? ml));
  28 |apply (mreflexive ? (ml_mspace_ ? ml));|apply (msymmetric ? (ml_mspace_ ? ml));
  29 |apply (mtineq ? (ml_mspace_ ? ml))]
  30 qed.
  31
  32 coercion cic:/matita/metric_lattice/ml_mspace.con.
  33
  34 alias symbol "plus" = "Abelian group plus".
  35 alias symbol "leq" = "Excess less or equal than".
  36 record mlattice (R : todgroup) : Type ≝ {
  37   ml_carr :> mlattice_ R;
  38   ml_prop1: ∀a,b:ml_carr. 0 < δ a b → a # b;
  39   ml_prop2: ∀a,b,c:ml_carr. δ (a∨b) (a∨c) + δ (a∧b) (a∧c) ≤ (δ b c)
  40 }.
  41
  42 interpretation "Metric lattice leq" 'leq a b =
  43   (le (excess_OF_mlattice1 _ _) a b).
  44 interpretation "Metric lattice geq" 'geq a b =
  45   (le (excess_OF_mlattice _ _) a b).
  46
  47 lemma eq_to_ndlt0: ∀R.∀ml:mlattice R.∀a,b:ml. a ≈ b → ¬ 0 < δ a b.
  48 intros (R ml a b E); intro H; apply E; apply ml_prop1;
  49 assumption;
  50 qed.
  51
  52 lemma eq_to_dzero: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml.x ≈ y → δ x y ≈ 0.
  53 intros (R ml x y H); intro H1; apply H; clear H;
  54 apply ml_prop1; split [apply mpositive] apply ap_symmetric;
  55 assumption;
  56 qed.
  57
  58 lemma meq_l: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x≈z → δx y ≈ δz y.
  59 intros (R ml x y z); apply le_le_eq;
  60 [ apply (le_transitive ???? (mtineq ???y z));
  61   apply (le_rewl ??? (0+δz y) (eq_to_dzero ???? H));
  62   apply (le_rewl ??? (δz y) (zero_neutral ??)); apply le_reflexive;
  63 | apply (le_transitive ???? (mtineq ???y x));
  64   apply (le_rewl ??? (0+δx y) (eq_to_dzero ??z x H));
  65   apply (le_rewl ??? (δx y) (zero_neutral ??)); apply le_reflexive;]
  66 qed.
  67
  68 (* 3.3 *)
  69 lemma meq_r: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x≈z → δy x ≈ δy z.
  70 intros; apply (eq_trans ???? (msymmetric ??y x));
  71 apply (eq_trans ????? (msymmetric ??z y)); apply meq_l; assumption;
  72 qed.
  73
  74 lemma dap_to_lt: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml. δ x y # 0 → 0 < δ x y.
  75 intros; split [apply mpositive] apply ap_symmetric; assumption;
  76 qed.
  77
  78 lemma dap_to_ap: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml. δ x y # 0 → x # y.
  79 intros (R ml x y H); apply ml_prop1; split; [apply mpositive;]
  80 apply ap_symmetric; assumption;
  81 qed.
  82
  83 (* 3.11 *)
  84 lemma le_mtri:
  85   ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x ≤ y → y ≤ z → δ x z ≈ δ x y + δ y z.
  86 intros (R ml x y z Lxy Lyz); apply le_le_eq; [apply mtineq]
  87 apply (le_transitive ????? (ml_prop2 ?? (y) ??));
  88 cut ( δx y+ δy z ≈ δ(y∨x) (y∨z)+ δ(y∧x) (y∧z)); [
  89   apply (le_rewr ??? (δx y+ δy z)); [assumption] apply le_reflexive]
  90 lapply (le_to_eqm y x Lxy) as Dxm; lapply (le_to_eqm z y Lyz) as Dym;
  91 lapply (le_to_eqj x y Lxy) as Dxj; lapply (le_to_eqj y z Lyz) as Dyj; clear Lxy Lyz;
  92  STOP
  93 apply (Eq≈ (δ(x∧y) y + δy z) (meq_l ????? Dxm));
  94 apply (Eq≈ (δ(x∧y) (y∧z) + δy z) (meq_r ????? Dym));
  95 apply (Eq≈ (δ(x∧y) (y∧z) + δ(y∨x) z));[
  96   apply feq_plusl; apply meq_l; clear Dyj Dxm Dym; assumption]
  97 apply (Eq≈ (δ(x∧y) (y∧z) + δ(y∨x) (z∨y))); [
  98   apply (feq_plusl ? (δ(x∧y) (y∧z)) ?? (meq_r ??? (y∨x) ? Dyj));]
  99 apply (Eq≈ ? (plus_comm ???));
 100 apply (Eq≈ (δ(y∨x) (y∨z)+ δ(x∧y) (y∧z)));[
 101   apply feq_plusr; apply meq_r; apply (join_comm ??);]
 102 apply feq_plusl;
 103 apply (Eq≈ (δ(y∧x) (y∧z)) (meq_l ????? (meet_comm ??)));
 104 apply eq_reflexive;
 105 qed.
 106
 107
 108 (* 3.17 conclusione: δ x y ≈ 0 *)
 109 (* 3.20 conclusione: δ x y ≈ 0 *)
 110 (* 3.21 sup forte
 111    strong_sup x ≝ ∀n. s n ≤ x ∧ ∀y x ≰ y → ∃n. s n ≰ y
 112    strong_sup_zoli x ≝  ∀n. s n ≤ x ∧ ∄y. y#x ∧ y ≤ x
 113 *)
 114 (* 3.22 sup debole (più piccolo dei maggioranti) *)
 115 (* 3.23 conclusion: δ x sup(...) ≈ 0 *)
 116 (* 3.25 vero nel reticolo e basta (niente δ) *)
 117 (* 3.36 conclusion: δ x y ≈ 0 *)