matita/matita/contribs/lambda/background/preamble.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basics/star.ma".
  16 include "basics/lists/lstar.ma".
  17 include "arithmetics/exp.ma".
  18
  19 include "background/xoa_notation.ma".
  20 include "background/xoa.ma".
  21 include "background/notation.ma".
  22
  23 (* logic *)
  24
  25 (* Note: For some reason this cannot be in the standard library *)
  26 interpretation "logical false" 'false = False.
  27
  28 (* booleans *)
  29
  30 (* Note: For some reason this cannot be in the standard library *)
  31 interpretation "boolean false" 'false = false.
  32
  33 (* Note: For some reason this cannot be in the standard library *)
  34 interpretation "boolean true" 'true = true.
  35
  36 (* arithmetics *)
  37
  38 lemma lt_refl_false: ∀n. n < n → ⊥.
  39 #n #H elim (lt_to_not_eq … H) -H /2 width=1/
  40 qed-.
  41
  42 lemma lt_zero_false: ∀n. n < 0 → ⊥.
  43 #n #H elim (lt_to_not_le … H) -H /2 width=1/
  44 qed-.
  45
  46 lemma plus_lt_false: ∀m,n. m + n < m → ⊥.
  47 #m #n #H elim (lt_to_not_le … H) -H /2 width=1/
  48 qed-.
  49
  50 lemma lt_or_eq_or_gt: ∀m,n. ∨∨ m < n | n = m | n < m.
  51 #m #n elim (lt_or_ge m n) /2 width=1/
  52 #H elim H -m /2 width=1/
  53 #m #Hm * #H /2 width=1/ /3 width=1/
  54 qed-.
  55
  56 (* trichotomy operator *)
  57
  58 (* Note: this is "if eqb n1 n2 then a2 else if leb n1 n2 then a1 else a3" *)
  59 let rec tri (A:Type[0]) n1 n2 a1 a2 a3 on n1 : A ≝
  60   match n1 with
  61   [ O    ⇒ match n2 with [ O ⇒ a2 | S n2 ⇒ a1 ]
  62   | S n1 ⇒ match n2 with [ O ⇒ a3 | S n2 ⇒ tri A n1 n2 a1 a2 a3 ]
  63   ].
  64
  65 lemma tri_lt: ∀A,a1,a2,a3,n2,n1. n1 < n2 → tri A n1 n2 a1 a2 a3 = a1.
  66 #A #a1 #a2 #a3 #n2 elim n2 -n2
  67 [ #n1 #H elim (lt_zero_false … H)
  68 | #n2 #IH #n1 elim n1 -n1 // /3 width=1/
  69 ]
  70 qed.
  71
  72 lemma tri_eq: ∀A,a1,a2,a3,n. tri A n n a1 a2 a3 = a2.
  73 #A #a1 #a2 #a3 #n elim n -n normalize //
  74 qed.
  75
  76 lemma tri_gt: ∀A,a1,a2,a3,n1,n2. n2 < n1 → tri A n1 n2 a1 a2 a3 = a3.
  77 #A #a1 #a2 #a3 #n1 elim n1 -n1
  78 [ #n2 #H elim (lt_zero_false … H)
  79 | #n1 #IH #n2 elim n2 -n2 // /3 width=1/
  80 ]
  81 qed.
  82
  83 (* lists *)
  84
  85 (* Note: notation for nil not involving brackets *)
  86 notation > "◊"
  87   non associative with precedence 90
  88   for @{'nil}.
  89
  90 definition map_cons: ∀A. A → list (list A) → list (list A) ≝ λA,a.
  91                      map … (cons … a).
  92
  93 interpretation "map_cons" 'ho_cons a l = (map_cons ? a l).
  94
  95 notation "hvbox(a ::: break l)"
  96   right associative with precedence 47
  97   for @{'ho_cons $a $l}.
  98
  99 (* lstar *)
 100
 101 (* Note: this cannot be in lib because of the missing xoa quantifier *)
 102 lemma lstar_inv_pos: ∀A,B,R,l,b1,b2. lstar A B R l b1 b2 → 0 < |l| →
 103                      ∃∃a,ll,b. a::ll = l & R a b1 b & lstar A B R ll b b2.
 104 #A #B #R #l #b1 #b2 #H @(lstar_ind_l ????????? H) -b1
 105 [ #H elim (lt_refl_false … H)
 106 | #a #ll #b1 #b #Hb1 #Hb2 #_ #_ /2 width=6/ (**) (* auto fail if we do not remove the inductive premise *)
 107 ]
 108 qed-.