matita/matita/contribs/lambda/lift.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "term.ma".
  16
  17 (* RELOCATION ***************************************************************)
  18
  19 (* Policy: level metavariables : d, e
  20            height metavariables: h, k
  21 *)
  22 (* Note: indexes start at zero *)
  23 let rec lift h d M on M ≝ match M with
  24 [ VRef i   ⇒ #(tri … i d i (i + h) (i + h))
  25 | Abst A   ⇒ 𝛌. (lift h (d+1) A)
  26 | Appl B A ⇒ @(lift h d B). (lift h d A)
  27 ].
  28
  29 interpretation "relocation" 'Lift h d M = (lift h d M).
  30
  31 notation "hvbox( ↑ [ term 46 d , break term 46 h ] break term 46 M )"
  32    non associative with precedence 46
  33    for @{ 'Lift $h $d $M }.
  34
  35 notation > "hvbox( ↑ [ term 46 h ] break term 46 M )"
  36    non associative with precedence 46
  37    for @{ 'Lift $h 0 $M }.
  38
  39 notation > "hvbox( ↑ term 46 M )"
  40    non associative with precedence 46
  41    for @{ 'Lift 1 0 $M }.
  42
  43 lemma lift_vref_lt: ∀d,h,i. i < d → ↑[d, h] #i = #i.
  44 normalize /3 width=1/
  45 qed.
  46
  47 lemma lift_vref_ge: ∀d,h,i. d ≤ i → ↑[d, h] #i = #(i+h).
  48 #d #h #i #H elim (le_to_or_lt_eq … H) -H
  49 normalize // /3 width=1/
  50 qed.
  51 (*
  52 lemma lift_vref_pred: ∀d,i. d < i → ↑[d, 1] #(i-1) = #i.
  53 #d #i #Hdi >lift_vref_ge /2 width=1/
  54 <plus_minus_m_m // /2 width=2/
  55 qed.
  56 *)
  57 lemma lift_id: ∀M,d. ↑[d, 0] M = M.
  58 #M elim M -M
  59 [ #i #d elim (lt_or_ge i d) /2 width=1/
  60 | /3 width=1/
  61 | /3 width=1/
  62 ]
  63 qed.
  64
  65 lemma lift_inv_vref_lt: ∀j,d. j < d → ∀h,M. ↑[d, h] M = #j → M = #j.
  66 #j #d #Hjd #h * normalize
  67 [ #i elim (lt_or_eq_or_gt i d) #Hid
  68   [ >(tri_lt ???? … Hid) -Hid -Hjd //
  69   | #H destruct >tri_eq in Hjd; #H
  70     elim (plus_lt_false … H)
  71   | >(tri_gt ???? … Hid)
  72     lapply (transitive_lt … Hjd Hid) -d #H #H0 destruct
  73     elim (plus_lt_false … H)
  74   ]
  75 | #A #H destruct
  76 | #B #A #H destruct
  77 ]
  78 qed.
  79
  80 lemma lift_inv_vref_ge: ∀j,d. d ≤ j → ∀h,M. ↑[d, h] M = #j →
  81                         d + h ≤ j ∧ M = #(j-h).
  82 #j #d #Hdj #h * normalize
  83 [ #i elim (lt_or_eq_or_gt i d) #Hid
  84   [ >(tri_lt ???? … Hid) #H destruct
  85     lapply (le_to_lt_to_lt … Hdj Hid) -Hdj -Hid #H
  86     elim (lt_refl_false … H)
  87   | #H -Hdj destruct /2 width=1/
  88   | >(tri_gt ???? … Hid) #H -Hdj destruct /4 width=1/
  89   ]
  90 | #A #H destruct
  91 | #B #A #H destruct
  92 ]
  93 qed-.
  94
  95 lemma lift_inv_vref_be: ∀j,d,h. d ≤ j → j < d + h → ∀M. ↑[d, h] M = #j → ⊥.
  96 #j #d #h #Hdj #Hjdh #M #H elim (lift_inv_vref_ge … H) -H // -Hdj #Hdhj #_ -M
  97 lapply (lt_to_le_to_lt … Hjdh Hdhj) -d -h #H
  98 elim (lt_refl_false … H)
  99 qed-.
 100
 101 lemma lift_inv_vref_ge_plus: ∀j,d,h. d + h ≤ j →
 102                              ∀M. ↑[d, h] M = #j → M = #(j-h).
 103 #j #d #h #Hdhj #M #H elim (lift_inv_vref_ge … H) -H // -M /2 width=2/
 104 qed.
 105
 106 lemma lift_inv_abst: ∀C,d,h,M. ↑[d, h] M = 𝛌.C →
 107                      ∃∃A. ↑[d+1, h] A = C & M = 𝛌.A.
 108 #C #d #h * normalize
 109 [ #i #H destruct
 110 | #A #H destruct /2 width=3/
 111 | #B #A #H destruct
 112 ]
 113 qed-.
 114
 115 lemma lift_inv_appl: ∀D,C,d,h,M. ↑[d, h] M = @D.C →
 116                      ∃∃B,A. ↑[d, h] B = D & ↑[d, h] A = C & M = @B.A.
 117 #D #C #d #h * normalize
 118 [ #i #H destruct
 119 | #A #H destruct
 120 | #B #A #H destruct /2 width=5/
 121 ]
 122 qed-.
 123
 124 theorem lift_lift_le: ∀h1,h2,M,d1,d2. d2 ≤ d1 →
 125                       ↑[d2, h2] ↑[d1, h1] M = ↑[d1 + h2, h1] ↑[d2, h2] M.
 126 #h1 #h2 #M elim M -M
 127 [ #i #d1 #d2 #Hd21 elim (lt_or_ge i d2) #Hid2
 128   [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid2 Hd21) -Hd21 #Hid1
 129     >(lift_vref_lt … Hid1) >(lift_vref_lt … Hid2)
 130     >lift_vref_lt // /2 width=1/
 131   | >(lift_vref_ge … Hid2) elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
 132     [ >(lift_vref_lt … Hid1) >(lift_vref_ge … Hid2)
 133       >lift_vref_lt // -d2 /2 width=1/
 134     | >(lift_vref_ge … Hid1) >lift_vref_ge /2 width=1/
 135       >lift_vref_ge // /2 width=1/
 136     ]
 137   ]
 138 | normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd21 >IHA // /2 width=1/
 139 | normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd21 >IHB >IHA //
 140 ]
 141 qed.
 142
 143 theorem lift_lift_be: ∀h1,h2,M,d1,d2. d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + h1 →
 144                       ↑[d2, h2] ↑[d1, h1] M = ↑[d1, h1 + h2] M.
 145 #h1 #h2 #M elim M -M
 146 [ #i #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
 147   [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 -Hd21 #Hid2
 148     >(lift_vref_lt … Hid1) >(lift_vref_lt … Hid1) /2 width=1/
 149   | lapply (transitive_le … (i+h1) Hd21 ?) -Hd21 -Hd12 /2 width=1/ #Hd2
 150     >(lift_vref_ge … Hid1) >(lift_vref_ge … Hid1) /2 width=1/
 151   ]
 152 | normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 >IHA // /2 width=1/
 153 | normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 >IHB >IHA //
 154 ]
 155 qed.
 156
 157 theorem lift_lift_ge: ∀h1,h2,M,d1,d2. d1 + h1 ≤ d2 →
 158                       ↑[d2, h2] ↑[d1, h1] M = ↑[d1, h1] ↑[d2 - h1, h2] M.
 159 #h1 #h2 #M #d1 #d2 #Hd12
 160 >(lift_lift_le h2 h1) /2 width=1/ <plus_minus_m_m // /2 width=2/
 161 qed.
 162
 163 (* Note: this is "∀h,d. injective … (lift h d)" *)
 164 theorem lift_inj: ∀h,M1,M2,d. ↑[d, h] M2 = ↑[d, h] M1 → M2 = M1.
 165 #h #M1 elim M1 -M1
 166 [ #i #M2 #d #H elim (lt_or_ge i d) #Hid
 167   [ >(lift_vref_lt … Hid) in H; #H
 168     >(lift_inv_vref_lt … Hid … H) -M2 -d -h //
 169   | >(lift_vref_ge … Hid) in H; #H
 170     >(lift_inv_vref_ge_plus … H) -M2 // /2 width=1/
 171   ]
 172 | normalize #A1 #IHA1 #M2 #d #H
 173   elim (lift_inv_abst … H) -H #A2 #HA12 #H destruct
 174   >(IHA1 … HA12) -IHA1 -A2 //
 175 | normalize #B1 #A1 #IHB1 #IHA1 #M2 #d #H
 176   elim (lift_inv_appl … H) -H #B2 #A2 #HB12 #HA12 #H destruct
 177   >(IHB1 … HB12) -IHB1 -B2 >(IHA1 … HA12) -IHA1 -A2 //
 178 ]
 179 qed-.
 180
 181 theorem lift_inv_lift_le: ∀h1,h2,M1,M2,d1,d2. d2 ≤ d1 →
 182                           ↑[d2, h2] M2 = ↑[d1 + h2, h1] M1 →
 183                           ∃∃M. ↑[d1, h1] M = M2 & ↑[d2, h2] M = M1.
 184 #h1 #h2 #M1 elim M1 -M1
 185 [ #i #M2 #d1 #d2 #Hd21 elim (lt_or_ge i (d1+h2)) #Hid1
 186   [ >(lift_vref_lt … Hid1) elim (lt_or_ge i d2) #Hid2 #H
 187     [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid2 Hd21) -Hd21 -Hid1 #Hid1
 188       >(lift_inv_vref_lt … Hid2 … H) -M2 /3 width=3/
 189     | elim (lift_inv_vref_ge … H) -H -Hd21 // -Hid2 #Hdh2i #H destruct
 190       elim (le_inv_plus_l … Hdh2i) -Hdh2i #Hd2i #Hh2i
 191       @(ex2_intro … (#(i-h2))) [ /4 width=1/ ] -Hid1
 192       >lift_vref_ge // -Hd2i /3 width=1/ (**) (* auto: needs some help here *)
 193     ]
 194   | elim (le_inv_plus_l … Hid1) #Hd1i #Hh2i
 195     lapply (transitive_le (d2+h2) … Hid1) /2 width=1/ -Hd21 #Hdh2i
 196     elim (le_inv_plus_l … Hdh2i) #Hd2i #_
 197     >(lift_vref_ge … Hid1) #H -Hid1
 198     >(lift_inv_vref_ge_plus … H) -H /2 width=3/ -Hdh2i
 199     @(ex2_intro … (#(i-h2))) (**) (* auto: needs some help here *)
 200     [ >lift_vref_ge // -Hd1i /3 width=1/
 201     | >lift_vref_ge // -Hd2i -Hd1i /3 width=1/
 202     ]
 203   ]
 204 | normalize #A1 #IHA1 #M2 #d1 #d2 #Hd21 #H
 205   elim (lift_inv_abst … H) -H >plus_plus_comm_23 #A2 #HA12 #H destruct
 206   elim (IHA1 … HA12) -IHA1 -HA12 /2 width=1/ -Hd21 #A #HA2 #HA1
 207   @(ex2_intro … (𝛌.A)) normalize //
 208 | normalize #B1 #A1 #IHB1 #IHA1 #M2 #d1 #d2 #Hd21 #H
 209   elim (lift_inv_appl … H) -H #B2 #A2 #HB12 #HA12 #H destruct
 210   elim (IHB1 … HB12) -IHB1 -HB12 // #B #HB2 #HB1
 211   elim (IHA1 … HA12) -IHA1 -HA12 // -Hd21 #A #HA2 #HA1
 212   @(ex2_intro … (@B.A)) normalize //
 213 ]
 214 qed-.
 215
 216 theorem lift_inv_lift_be: ∀h1,h2,M1,M2,d1,d2. d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + h1 →
 217                           ↑[d2, h2] M2 = ↑[d1, h1 + h2] M1 → ↑[d1, h1] M1 = M2.
 218 #h1 #h2 #M1 elim M1 -M1
 219 [ #i #M2 #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
 220   [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 -Hd21 #Hid2
 221     >(lift_vref_lt … Hid1) #H >(lift_inv_vref_lt … Hid2 … H) -h2 -M2 -d2 /2 width=1/
 222   | lapply (transitive_le … (i+h1) Hd21 ?) -Hd12 -Hd21 /2 width=1/ #Hd2
 223     >(lift_vref_ge … Hid1) #H >(lift_inv_vref_ge_plus … H) -M2 /2 width=1/
 224   ]
 225 | normalize #A1 #IHA1 #M2 #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 #H
 226   elim (lift_inv_abst … H) -H #A #HA12 #H destruct
 227   >(IHA1 … HA12) -IHA1 -HA12 // /2 width=1/
 228 | normalize #B1 #A1 #IHB1 #IHA1 #M2 #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 #H
 229   elim (lift_inv_appl … H) -H #B #A #HB12 #HA12 #H destruct
 230   >(IHB1 … HB12) -IHB1 -HB12 // >(IHA1 … HA12) -IHA1 -HA12 //
 231 ]
 232 qed-.
 233
 234 theorem lift_inv_lift_ge: ∀h1,h2,M1,M2,d1,d2. d1 + h1 ≤ d2 →
 235                           ↑[d2, h2] M2 = ↑[d1, h1] M1 →
 236                           ∃∃M. ↑[d1, h1] M = M2 & ↑[d2 - h1, h2] M = M1.
 237 #h1 #h2 #M1 #M2 #d1 #d2 #Hd12 #H
 238 elim (le_inv_plus_l … Hd12) -Hd12 #Hd12 #Hh1d2
 239 lapply (sym_eq term … H) -H >(plus_minus_m_m … Hh1d2) in ⊢ (???%→?); -Hh1d2 #H
 240 elim (lift_inv_lift_le … Hd12 … H) -H -Hd12 /2 width=3/
 241 qed-.
 242
 243 definition liftable: predicate (relation term) ≝ λR.
 244                      ∀h,M1,M2. R M1 M2 → ∀d. R (↑[d, h] M1) (↑[d, h] M2).
 245
 246 definition deliftable_sn: predicate (relation term) ≝ λR.
 247                           ∀h,N1,N2. R N1 N2 → ∀d,M1. ↑[d, h] M1 = N1 →
 248                           ∃∃M2. R M1 M2 & ↑[d, h] M2 = N2.
 249
 250 lemma star_liftable: ∀R. liftable R → liftable (star … R).
 251 #R #HR #h #M1 #M2 #H elim H -M2 // /3 width=3/
 252 qed.
 253
 254 lemma star_deliftable_sn: ∀R. deliftable_sn R → deliftable_sn (star … R).
 255 #R #HR #h #N1 #N2 #H elim H -N2 /2 width=3/
 256 #N #N2 #_ #HN2 #IHN1 #d #M1 #HMN1
 257 elim (IHN1 … HMN1) -N1 #M #HM1 #HMN
 258 elim (HR … HN2 … HMN) -N /3 width=3/
 259 qed-.
 260
 261 lemma lstar_liftable: ∀T,R. (∀t. liftable (R t)) →
 262                       ∀l. liftable (lstar T … R l).
 263 #T #R #HR #l #h #M1 #M2 #H
 264 @(lstar_ind_l ????????? H) -l -M1 // /3 width=3/
 265 qed.
 266
 267 lemma lstar_deliftable_sn: ∀T,R. (∀t. deliftable_sn (R t)) →
 268                            ∀l. deliftable_sn (lstar T … R l).
 269 #T #R #HR #l #h #N1 #N2 #H
 270 @(lstar_ind_l ????????? H) -l -N1 /2 width=3/
 271 #t #l #N1 #N #HN1 #_ #IHN2 #d #M1 #HMN1
 272 elim (HR … HN1 … HMN1) -N1 #M #HM1 #HMN
 273 elim (IHN2 … HMN) -N /3 width=3/
 274 qed-.