matita/matita/contribs/lambda/preamble.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basics/star.ma".
  16 include "basics/lists/list.ma".
  17 include "arithmetics/exp.ma".
  18
  19 include "xoa_notation.ma".
  20 include "xoa.ma".
  21
  22 (* logic *)
  23
  24 (* Note: For some reason this cannot be in the standard library *)
  25 interpretation "logical false" 'false = False.
  26
  27 notation "⊥"
  28   non associative with precedence 90
  29   for @{'false}.
  30
  31 lemma ex2_1_commute: ∀A0. ∀P0,P1:A0→Prop. (∃∃x0. P0 x0 & P1 x0) → ∃∃x0. P1 x0 & P0 x0.
  32 #A0 #P0 #P1 * /2 width=3/
  33 qed.
  34
  35 (* relations *)
  36
  37 definition confluent1: ∀A. relation A → predicate A ≝ λA,R,a0.
  38                        ∀a1. R a0 a1 → ∀a2. R a0 a2 →
  39                        ∃∃a. R a1 a & R a2 a.
  40
  41 (* Note: confluent1 would be redundant if \Pi-reduction where enabled *)
  42 definition confluent: ∀A. predicate (relation A) ≝ λA,R.
  43                       ∀a0. confluent1 … R a0.
  44
  45 (* booleans *)
  46
  47 definition is_false: predicate bool ≝ λb.
  48                      false = b.
  49
  50 (* arithmetics *)
  51
  52 lemma lt_refl_false: ∀n. n < n → ⊥.
  53 #n #H elim (lt_to_not_eq … H) -H /2 width=1/
  54 qed-.
  55
  56 lemma lt_zero_false: ∀n. n < 0 → ⊥.
  57 #n #H elim (lt_to_not_le … H) -H /2 width=1/
  58 qed-.
  59
  60 lemma plus_lt_false: ∀m,n. m + n < m → ⊥.
  61 #m #n #H elim (lt_to_not_le … H) -H /2 width=1/
  62 qed-.
  63
  64 lemma lt_or_eq_or_gt: ∀m,n. ∨∨ m < n | n = m | n < m.
  65 #m #n elim (lt_or_ge m n) /2 width=1/
  66 #H elim H -m /2 width=1/
  67 #m #Hm * #H /2 width=1/ /3 width=1/
  68 qed-.
  69
  70 (* trichotomy operator *)
  71
  72 (* Note: this is "if eqb n1 n2 then a2 else if leb n1 n2 then a1 else a3" *)
  73 let rec tri (A:Type[0]) n1 n2 a1 a2 a3 on n1 : A ≝
  74   match n1 with
  75   [ O    ⇒ match n2 with [ O ⇒ a2 | S n2 ⇒ a1 ]
  76   | S n1 ⇒ match n2 with [ O ⇒ a3 | S n2 ⇒ tri A n1 n2 a1 a2 a3 ]
  77   ].
  78
  79 lemma tri_lt: ∀A,a1,a2,a3,n2,n1. n1 < n2 → tri A n1 n2 a1 a2 a3 = a1.
  80 #A #a1 #a2 #a3 #n2 elim n2 -n2
  81 [ #n1 #H elim (lt_zero_false … H)
  82 | #n2 #IH #n1 elim n1 -n1 // /3 width=1/
  83 ]
  84 qed.
  85
  86 lemma tri_eq: ∀A,a1,a2,a3,n. tri A n n a1 a2 a3 = a2.
  87 #A #a1 #a2 #a3 #n elim n -n normalize //
  88 qed.
  89
  90 lemma tri_gt: ∀A,a1,a2,a3,n1,n2. n2 < n1 → tri A n1 n2 a1 a2 a3 = a3.
  91 #A #a1 #a2 #a3 #n1 elim n1 -n1
  92 [ #n2 #H elim (lt_zero_false … H)
  93 | #n1 #IH #n2 elim n2 -n2 // /3 width=1/
  94 ]
  95 qed.
  96
  97 (* lists *)
  98
  99 (* Note: notation for nil not involving brackets *)
 100 notation > "◊"
 101   non associative with precedence 90
 102   for @{'nil}.
 103
 104 let rec Allr (A:Type[0]) (R:relation A) (l:list A) on l : Prop ≝
 105 match l with
 106 [ nil       ⇒ True
 107 | cons a1 l ⇒ match l with [ nil ⇒ True | cons a2 _ ⇒ R a1 a2 ∧ Allr A R l ]
 108 ].