1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "Basic-2/substitution/tps.ma".
17 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
19 inductive tpr: term → term → Prop ≝
20 | tpr_atom : ∀I. tpr (𝕒{I}) (𝕒{I})
21 | tpr_flat : ∀I,V1,V2,T1,T2. tpr V1 V2 → tpr T1 T2 →
22 tpr (𝕗{I} V1. T1) (𝕗{I} V2. T2)
23 | tpr_beta : ∀V1,V2,W,T1,T2.
24 tpr V1 V2 → tpr T1 T2 →
25 tpr (𝕔{Appl} V1. 𝕔{Abst} W. T1) (𝕔{Abbr} V2. T2)
26 | tpr_delta: ∀I,V1,V2,T1,T2,T.
27 tpr V1 V2 → tpr T1 T2 → ⋆. 𝕓{I} V2 ⊢ T2 [0, 1] ≫ T →
28 tpr (𝕓{I} V1. T1) (𝕓{I} V2. T)
29 | tpr_theta: ∀V,V1,V2,W1,W2,T1,T2.
30 tpr V1 V2 → ↑[0,1] V2 ≡ V → tpr W1 W2 → tpr T1 T2 →
31 tpr (𝕔{Appl} V1. 𝕔{Abbr} W1. T1) (𝕔{Abbr} W2. 𝕔{Appl} V. T2)
32 | tpr_zeta : ∀V,T,T1,T2. ↑[0,1] T1 ≡ T → tpr T1 T2 →
34 | tpr_tau : ∀V,T1,T2. tpr T1 T2 → tpr (𝕔{Cast} V. T1) T2
38 "context-free parallel reduction (term)"
39 'PRed T1 T2 = (tpr T1 T2).
41 (* Basic properties *********************************************************)
43 lemma tpr_bind: ∀I,V1,V2,T1,T2. V1 ⇒ V2 → T1 ⇒ T2 →
44 𝕓{I} V1. T1 ⇒ 𝕓{I} V2. T2.
47 lemma tpr_refl: ∀T. T ⇒ T.
52 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
54 fact tpr_inv_atom1_aux: ∀U1,U2. U1 ⇒ U2 → ∀I. U1 = 𝕒{I} → U2 = 𝕒{I}.
57 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #k #H destruct
58 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #k #H destruct
59 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #T #_ #_ #_ #k #H destruct
60 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #k #H destruct
61 | #V #T #T1 #T2 #_ #_ #k #H destruct
62 | #V #T1 #T2 #_ #k #H destruct
66 lemma tpr_inv_atom1: ∀I,U2. 𝕒{I} ⇒ U2 → U2 = 𝕒{I}.
69 fact tpr_inv_bind1_aux: ∀U1,U2. U1 ⇒ U2 → ∀I,V1,T1. U1 = 𝕓{I} V1. T1 →
70 (∃∃V2,T2,T. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
71 ⋆. 𝕓{I} V2 ⊢ T2 [0, 1] ≫ T &
74 ∃∃T. ↑[0,1] T ≡ T1 & T ⇒ U2 & I = Abbr.
76 [ #J #I #V #T #H destruct
77 | #I1 #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #I #V #T #H destruct
78 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #I #V #T #H destruct
79 | #I1 #V1 #V2 #T1 #T2 #T #HV12 #HT12 #HT2 #I0 #V0 #T0 #H destruct -I1 V1 T1 /3 width=7/
80 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #I0 #V0 #T0 #H destruct
81 | #V #T #T1 #T2 #HT1 #HT12 #I0 #V0 #T0 #H destruct -V T /3/
82 | #V #T1 #T2 #_ #I0 #V0 #T0 #H destruct
86 lemma tpr_inv_bind1: ∀V1,T1,U2,I. 𝕓{I} V1. T1 ⇒ U2 →
87 (∃∃V2,T2,T. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
88 ⋆. 𝕓{I} V2 ⊢ T2 [0, 1] ≫ T &
91 ∃∃T. ↑[0,1] T ≡ T1 & tpr T U2 & I = Abbr.
94 lemma tpr_inv_abbr1: ∀V1,T1,U2. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ U2 →
95 (∃∃V2,T2,T. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
96 ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [0, 1] ≫ T &
99 ∃∃T. ↑[0,1] T ≡ T1 & tpr T U2.
101 elim (tpr_inv_bind1 … H) -H * /3 width=7/
104 fact tpr_inv_flat1_aux: ∀U1,U2. U1 ⇒ U2 → ∀I,V1,U0. U1 = 𝕗{I} V1. U0 →
105 ∨∨ ∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & U0 ⇒ T2 &
107 | ∃∃V2,W,T1,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
109 U2 = 𝕔{Abbr} V2. T2 & I = Appl
110 | ∃∃V2,V,W1,W2,T1,T2. V1 ⇒ V2 & W1 ⇒ W2 & T1 ⇒ T2 &
112 U0 = 𝕔{Abbr} W1. T1 &
113 U2 = 𝕔{Abbr} W2. 𝕔{Appl} V. T2 &
115 | (U0 ⇒ U2 ∧ I = Cast).
117 [ #I #J #V #T #H destruct
118 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #V #T #H destruct -I V1 T1 /3 width=5/
119 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #V #T #H destruct -J V1 T /3 width=8/
120 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #T #_ #_ #_ #J #V0 #T0 #H destruct
121 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HV2 #HW12 #HT12 #J #V0 #T0 #H
122 destruct -J V1 T0 /3 width=12/
123 | #V #T #T1 #T2 #_ #_ #J #V0 #T0 #H destruct
124 | #V #T1 #T2 #HT12 #J #V0 #T0 #H destruct -J V T1 /3/
128 lemma tpr_inv_flat1: ∀V1,U0,U2,I. 𝕗{I} V1. U0 ⇒ U2 →
129 ∨∨ ∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & U0 ⇒ T2 &
131 | ∃∃V2,W,T1,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
133 U2 = 𝕔{Abbr} V2. T2 & I = Appl
134 | ∃∃V2,V,W1,W2,T1,T2. V1 ⇒ V2 & W1 ⇒ W2 & T1 ⇒ T2 &
136 U0 = 𝕔{Abbr} W1. T1 &
137 U2 = 𝕔{Abbr} W2. 𝕔{Appl} V. T2 &
139 | (U0 ⇒ U2 ∧ I = Cast).
142 lemma tpr_inv_appl1: ∀V1,U0,U2. 𝕔{Appl} V1. U0 ⇒ U2 →
143 ∨∨ ∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & U0 ⇒ T2 &
145 | ∃∃V2,W,T1,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
148 | ∃∃V2,V,W1,W2,T1,T2. V1 ⇒ V2 & W1 ⇒ W2 & T1 ⇒ T2 &
150 U0 = 𝕔{Abbr} W1. T1 &
151 U2 = 𝕔{Abbr} W2. 𝕔{Appl} V. T2.
153 elim (tpr_inv_flat1 … H) -H * /3 width=12/ #_ #H destruct
156 lemma tpr_inv_cast1: ∀V1,T1,U2. 𝕔{Cast} V1. T1 ⇒ U2 →
157 (∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 & U2 = 𝕔{Cast} V2. T2)
160 elim (tpr_inv_flat1 … H) -H * /3 width=5/
161 [ #V2 #W #W1 #W2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
162 | #V2 #W #W1 #W2 #T2 #U1 #_ #_ #_ #_ #_ #_ #H destruct
166 fact tpr_inv_lref2_aux: ∀T1,T2. T1 ⇒ T2 → ∀i. T2 = #i →
168 | ∃∃V,T,T0. ↑[O,1] T0 ≡ T & T0 ⇒ #i &
170 | ∃∃V,T. T ⇒ #i & T1 = 𝕔{Cast} V. T.
172 [ #I #i #H destruct /2/
173 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #i #H destruct
174 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #i #H destruct
175 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #T #_ #_ #_ #i #H destruct
176 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
177 | #V #T #T1 #T2 #HT1 #HT12 #i #H destruct /3 width=6/
178 | #V #T1 #T2 #HT12 #i #H destruct /3/
182 lemma tpr_inv_lref2: ∀T1,i. T1 ⇒ #i →
184 | ∃∃V,T,T0. ↑[O,1] T0 ≡ T & T0 ⇒ #i &
186 | ∃∃V,T. T ⇒ #i & T1 = 𝕔{Cast} V. T.
197 pr0/pr0 pr0_confluence__pr0_cong_upsilon_refl
198 pr0/pr0 pr0_confluence__pr0_cong_upsilon_cong
199 pr0/pr0 pr0_confluence__pr0_cong_upsilon_delta
200 pr0/pr0 pr0_confluence__pr0_cong_upsilon_zeta
201 pr0/pr0 pr0_confluence__pr0_cong_delta
202 pr0/pr0 pr0_confluence__pr0_upsilon_upsilon
203 pr0/pr0 pr0_confluence__pr0_delta_delta
204 pr0/pr0 pr0_confluence__pr0_delta_tau
205 pr0/pr0 pr0_confluence
207 pr0/props pr0_subst0_back
208 pr0/props pr0_subst0_fwd
210 pr0/subst1 pr0_delta1
211 pr0/subst1 pr0_subst1_back
212 pr0/subst1 pr0_subst1_fwd
213 pr0/subst1 pr0_subst1