1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "Basic-2/substitution/tps_tps.ma".
16 include "Basic-2/reduction/tpr_lift.ma".
17 include "Basic-2/reduction/tpr_tps.ma".
19 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
21 (* Confluence lemmas ********************************************************)
23 lemma tpr_conf_sort_sort: ∀k. ∃∃X. ⋆k ⇒ X & ⋆k ⇒ X.
26 lemma tpr_conf_lref_lref: ∀i. ∃∃X. #i ⇒ X & #i ⇒ X.
29 lemma tpr_conf_flat_flat:
30 ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
31 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
32 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
35 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
36 ∃∃T0. 𝕗{I} V1. T1 ⇒ T0 & 𝕗{I} V2. T2 ⇒ T0.
37 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
38 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
39 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 /3 width=5/
42 lemma tpr_conf_flat_beta:
43 ∀V0,V1,T1,V2,W0,U0,T2. (
44 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
45 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
49 U0 ⇒ T2 → 𝕓{Abst} W0. U0 ⇒ T1 →
50 ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
51 #V0 #V1 #T1 #V2 #W0 #U0 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT02 #H
52 elim (tpr_inv_abst1 … H) -H #W1 #U1 #HW01 #HU01 #H destruct -T1;
53 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
54 elim (IH … HT02 … HU01) -HT02 HU01 IH /3 width=5/
57 lemma tpr_conf_flat_theta:
58 ∀V0,V1,T1,V2,V,W0,W2,U0,U2. (
59 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
60 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
63 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → ↑[O,1] V2 ≡ V →
64 W0 ⇒ W2 → U0 ⇒ U2 → 𝕓{Abbr} W0. U0 ⇒ T1 →
65 ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} W2. 𝕗{Appl} V. U2 ⇒ X.
66 #V0 #V1 #T1 #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #IH #HV01 #HV02 #HV2 #HW02 #HU02 #H
67 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #VV #HVV1 #HVV2
68 elim (lift_total VV 0 1) #VVV #HVV
69 lapply (tpr_lift … HVV2 … HV2 … HVV) #HVVV
70 elim (tpr_inv_abbr1 … H) -H *
72 [ -HV2 HVV2 #WW2 #UU2 #UU #HWW2 #HUU02 #HUU2 #H destruct -T1;
73 elim (IH … HW02 … HWW2) -HW02 HWW2 // #W #HW02 #HWW2
74 elim (IH … HU02 … HUU02) -HU02 HUU02 IH // #U #HU2 #HUUU2
75 elim (tpr_tps_bind … HWW2 HUUU2 … HUU2) -HUU2 HUUU2 #UUU #HUUU2 #HUUU1
77 [2: @tpr_theta [6: @HVV |7: @HWW2 |8: @HUUU2 |1,2,3,4: skip | // ]
79 |3: @tpr_delta [3: @tpr_flat |1: skip ] /2 width=5/
80 ] (**) (* /5 width=14/ is too slow *)
82 | -HW02 HVV HVVV #UU1 #HUU10 #HUUT1
83 elim (tpr_inv_lift … HU02 … HUU10) -HU02 #UU #HUU2 #HUU1
84 lapply (tw_lift … HUU10) -HUU10 #HUU10
85 elim (IH … HUUT1 … HUU1) -HUUT1 HUU1 IH // -HUU10 #U #HU2 #HUUU2
89 |3: @tpr_zeta [2: @lift_flat |1: skip |3: @tpr_flat ]
90 ] /2 width=5/ (**) (* /5 width=5/ is too slow *)
94 lemma tpr_conf_flat_cast:
96 ∀X0:term. #X0 < #V0 + # T0 + 1 →
97 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
100 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ X2 →
101 ∃∃X. 𝕗{Cast} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
102 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #IH #_ #HT01 #HT02
103 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3/
106 lemma tpr_conf_beta_beta:
107 ∀W0:term. ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
108 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #T0 + 1) + 1 →
109 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
112 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
113 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
114 #W0 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
115 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 //
116 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
119 lemma tpr_conf_delta_delta:
120 ∀I1,V0,V1,T0,T1,TT1,V2,T2,TT2. (
121 ∀X0:term. #X0 < #V0 +#T0 + 1→
122 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
125 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
126 ⋆. 𝕓{I1} V1 ⊢ T1 [O, 1] ≫ TT1 →
127 ⋆. 𝕓{I1} V2 ⊢ T2 [O, 1] ≫ TT2 →
128 ∃∃X. 𝕓{I1} V1. TT1 ⇒ X & 𝕓{I1} V2. TT2 ⇒ X.
129 #I1 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #V2 #T2 #TT2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HTT1 #HTT2
130 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
131 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // #T #HT1 #HT2
132 elim (tpr_tps_bind … HV1 HT1 … HTT1) -HT1 HTT1 #U1 #TTU1 #HTU1
133 elim (tpr_tps_bind … HV2 HT2 … HTT2) -HT2 HTT2 #U2 #TTU2 #HTU2
134 elim (tps_conf … HTU1 … HTU2) -HTU1 HTU2 #U #HU1 #HU2
135 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_delta |1: skip ] /width=10/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
138 lemma tpr_conf_delta_zeta:
139 ∀X2,V0,V1,T0,T1,TT1,T2. (
140 ∀X0:term. #X0 < #V0 +#T0 + 1→
141 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
144 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → ⋆. 𝕓{Abbr} V1 ⊢ T1 [O,1] ≫ TT1 →
145 T2 ⇒ X2 → ↑[O, 1] T2 ≡ T0 →
146 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. TT1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
147 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #T2 #IH #_ #HT01 #HTT1 #HTX2 #HTT20
148 elim (tpr_inv_lift … HT01 … HTT20) -HT01 #TT2 #HTT21 #HTT2
149 lapply (tps_inv_lift1_eq … HTT1 … HTT21) -HTT1 #HTT1 destruct -T1;
150 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
151 elim (IH … HTX2 … HTT2) -HTX2 HTT2 IH /3/
154 lemma tpr_conf_theta_theta:
155 ∀VV1,V0,V1,W0,W1,T0,T1,V2,VV2,W2,T2. (
156 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #T0 + 1) + 1 →
157 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
160 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → W0 ⇒ W1 → W0 ⇒ W2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
161 ↑[O, 1] V1 ≡ VV1 → ↑[O, 1] V2 ≡ VV2 →
162 ∃∃X. 𝕓{Abbr} W1. 𝕗{Appl} VV1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} W2. 𝕗{Appl} VV2. T2 ⇒ X.
163 #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #V2 #VV2 #W2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HW01 #HW02 #HT01 #HT02 #HVV1 #HVV2
164 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
165 elim (IH … HW01 … HW02) -HW01 HW02 // #W #HW1 #HW2
166 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // #T #HT1 #HT2
167 elim (lift_total V 0 1) #VV #HVV
168 lapply (tpr_lift … HV1 … HVV1 … HVV) -HV1 HVV1 #HVV1
169 lapply (tpr_lift … HV2 … HVV2 … HVV) -HV2 HVV2 HVV #HVV2
170 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_bind |1:skip ] /2 width=5/ (**) (* /4 width=5/ is too slow *)
173 lemma tpr_conf_zeta_zeta:
174 ∀V0:term. ∀X2,TT0,T0,T1,T2. (
175 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #TT0 + 1 →
176 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
180 ↑[O, 1] T0 ≡ TT0 → ↑[O, 1] T2 ≡ TT0 →
181 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
182 #V0 #X2 #TT0 #T0 #T1 #T2 #IH #HT01 #HTX2 #HTT0 #HTT20
183 lapply (lift_inj … HTT0 … HTT20) -HTT0 #H destruct -T0;
184 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
185 elim (IH … HT01 … HTX2) -HT01 HTX2 IH /2/
188 lemma tpr_conf_tau_tau:
189 ∀V0,T0:term. ∀X2,T1. (
190 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
191 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
195 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
196 #V0 #T0 #X2 #T1 #IH #HT01 #HT02
197 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /2/
200 (* Confluence ***************************************************************)
204 ∀X0:term. #X0 < #Y0 → ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
207 ∀X0,X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 → X0 = Y0 →
208 ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
209 #Y0 #IH #X0 #X1 #X2 * -X0 X1
210 [ #k1 #H1 #H2 destruct -Y0;
211 lapply (tpr_inv_sort1 … H1) -H1
212 (* case 1: sort, sort *)
214 | #i1 #H1 #H2 destruct -Y0;
215 lapply (tpr_inv_lref1 … H1) -H1
216 (* case 2: lref, lref *)
218 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
219 elim (tpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
220 (* case 3: flat, flat *)
221 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
222 /3 width=7 by tpr_conf_flat_flat/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
223 (* case 4: flat, beta *)
224 | #V2 #W #U0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
225 /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
226 (* case 5: flat, theta *)
227 | #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #HV02 #HW02 #HT02 #HV2 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
228 /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
229 (* case 6: flat, tau *)
230 | #HT02 #H destruct -I
231 /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/ (**) (* /3 width=6/ is too slow *)
233 | #V0 #V1 #W0 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
234 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
235 (* case 7: beta, flat (repeated) *)
236 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
237 @ex2_1_comm /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/
238 (* case 8: beta, beta *)
239 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 destruct -W0 T0 X2
240 /3 width=8 by tpr_conf_beta_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
241 (* case 9, beta, theta (excluded) *)
242 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
244 | #I1 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #HV01 #HT01 #HTT1 #H1 #H2 destruct -Y0;
245 elim (tpr_inv_bind1 … H1) -H1 *
246 (* case 10: delta, delta *)
247 [ #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct -X2
248 /3 width=11 by tpr_conf_delta_delta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
249 (* case 11: delta, zata *)
250 | #T2 #HT20 #HTX2 #H destruct -I1;
251 /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
253 | #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #HV01 #HVV1 #HW01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
254 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
255 (* case 12: theta, flat (repeated) *)
256 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
257 @ex2_1_comm /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/
258 (* case 13: theta, beta (repeated) *)
259 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #_ #_ #H destruct
260 (* case 14: theta, theta *)
261 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #V02 #HW02 #HT02 #HVV2 #H1 #H2 destruct -W0 T0 X2
262 /3 width=14 by tpr_conf_theta_theta/ (**) (* /3 width=14/ is too slow *)
264 | #V0 #TT0 #T0 #T1 #HTT0 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
265 elim (tpr_inv_abbr1 … H1) -H1 *
266 (* case 15: zeta, delta (repeated) *)
267 [ #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct -X2
268 @ex2_1_comm /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/
269 (* case 16: zeta, zeta *)
271 /3 width=9 by tpr_conf_zeta_zeta/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
273 | #V0 #T0 #T1 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
274 elim (tpr_inv_cast1 … H1) -H1
275 (* case 17: tau, flat (repeated) *)
276 [ * #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
277 @ex2_1_comm /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/
278 (* case 18: tau, tau *)
280 /2 by tpr_conf_tau_tau/
285 theorem tpr_conf: ∀T0:term. ∀T1,T2. T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
286 ∃∃T. T1 ⇒ T & T2 ⇒ T.
287 #T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=6 by tpr_conf_aux/