1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "Basic-2/substitution/tps_tps.ma".
16 include "Basic-2/reduction/tpr_lift.ma".
17 include "Basic-2/reduction/tpr_tps.ma".
19 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
21 (* Confluence lemmas ********************************************************)
23 fact tpr_conf_atom_atom: ∀I. ∃∃X. 𝕒{I} ⇒ X & 𝕒{I} ⇒ X.
26 fact tpr_conf_flat_flat:
27 ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
28 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
29 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
32 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
33 ∃∃T0. 𝕗{I} V1. T1 ⇒ T0 & 𝕗{I} V2. T2 ⇒ T0.
34 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
35 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
36 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 /3 width=5/
39 fact tpr_conf_flat_beta:
40 ∀V0,V1,T1,V2,W0,U0,T2. (
41 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + (#[W0] + #[U0] + 1) + 1 →
42 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
46 U0 ⇒ T2 → 𝕔{Abst} W0. U0 ⇒ T1 →
47 ∃∃X. 𝕔{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕔{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
48 #V0 #V1 #T1 #V2 #W0 #U0 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT02 #H
49 elim (tpr_inv_abst1 … H) -H #W1 #U1 #HW01 #HU01 #H destruct -T1;
50 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
51 elim (IH … HT02 … HU01) -HT02 HU01 IH /3 width=5/
54 fact tpr_conf_flat_theta:
55 ∀V0,V1,T1,V2,V,W0,W2,U0,U2. (
56 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + (#[W0] + #[U0] + 1) + 1 →
57 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
60 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → ↑[O,1] V2 ≡ V →
61 W0 ⇒ W2 → U0 ⇒ U2 → 𝕔{Abbr} W0. U0 ⇒ T1 →
62 ∃∃X. 𝕔{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕔{Abbr} W2. 𝕔{Appl} V. U2 ⇒ X.
63 #V0 #V1 #T1 #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #IH #HV01 #HV02 #HV2 #HW02 #HU02 #H
64 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #VV #HVV1 #HVV2
65 elim (lift_total VV 0 1) #VVV #HVV
66 lapply (tpr_lift … HVV2 … HV2 … HVV) #HVVV
67 elim (tpr_inv_abbr1 … H) -H *
69 [ -HV2 HVV2 #WW2 #UU2 #UU #HWW2 #HUU02 #HUU2 #H destruct -T1;
70 elim (IH … HW02 … HWW2) -HW02 HWW2 // #W #HW02 #HWW2
71 elim (IH … HU02 … HUU02) -HU02 HUU02 IH // #U #HU2 #HUUU2
72 elim (tpr_tps_bind … HWW2 HUUU2 … HUU2) -HUU2 HUUU2 #UUU #HUUU2 #HUUU1
74 [2: @tpr_theta [6: @HVV |7: @HWW2 |8: @HUUU2 |1,2,3,4: skip | // ]
76 |3: @tpr_delta [3: @tpr_flat |1: skip ] /2 width=5/
77 ] (**) (* /5 width=14/ is too slow *)
79 | -HW02 HVV HVVV #UU1 #HUU10 #HUUT1
80 elim (tpr_inv_lift … HU02 … HUU10) -HU02 #UU #HUU2 #HUU1
81 lapply (tw_lift … HUU10) -HUU10 #HUU10
82 elim (IH … HUUT1 … HUU1) -HUUT1 HUU1 IH // -HUU10 #U #HU2 #HUUU2
86 |3: @tpr_zeta [2: @lift_flat |1: skip |3: @tpr_flat ]
87 ] /2 width=5/ (**) (* /5 width=5/ is too slow *)
91 fact tpr_conf_flat_cast:
93 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
94 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
97 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ X2 →
98 ∃∃X. 𝕔{Cast} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
99 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #IH #_ #HT01 #HT02
100 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3/
103 fact tpr_conf_beta_beta:
104 ∀W0:term. ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
105 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + (#[W0] + #[T0] + 1) + 1 →
106 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
109 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
110 ∃∃X. 𝕔{Abbr} V1. T1 ⇒X & 𝕔{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
111 #W0 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
112 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 //
113 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
116 fact tpr_conf_delta_delta:
117 ∀I1,V0,V1,T0,T1,TT1,V2,T2,TT2. (
118 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
119 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
122 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
123 ⋆. 𝕓{I1} V1 ⊢ T1 [O, 1] ≫ TT1 →
124 ⋆. 𝕓{I1} V2 ⊢ T2 [O, 1] ≫ TT2 →
125 ∃∃X. 𝕓{I1} V1. TT1 ⇒ X & 𝕓{I1} V2. TT2 ⇒ X.
126 #I1 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #V2 #T2 #TT2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HTT1 #HTT2
127 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
128 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // #T #HT1 #HT2
129 elim (tpr_tps_bind … HV1 HT1 … HTT1) -HT1 HTT1 #U1 #TTU1 #HTU1
130 elim (tpr_tps_bind … HV2 HT2 … HTT2) -HT2 HTT2 #U2 #TTU2 #HTU2
131 elim (tps_conf … HTU1 … HTU2) -HTU1 HTU2 #U #HU1 #HU2
132 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_delta |1: skip ] /width=10/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
135 fact tpr_conf_delta_zeta:
136 ∀X2,V0,V1,T0,T1,TT1,T2. (
137 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
138 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
141 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → ⋆. 𝕓{Abbr} V1 ⊢ T1 [O,1] ≫ TT1 →
142 T2 ⇒ X2 → ↑[O, 1] T2 ≡ T0 →
143 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. TT1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
144 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #T2 #IH #_ #HT01 #HTT1 #HTX2 #HTT20
145 elim (tpr_inv_lift … HT01 … HTT20) -HT01 #TT2 #HTT21 #HTT2
146 lapply (tps_inv_lift1_eq … HTT1 … HTT21) -HTT1 #HTT1 destruct -T1;
147 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
148 elim (IH … HTX2 … HTT2) -HTX2 HTT2 IH /3/
151 fact tpr_conf_theta_theta:
152 ∀VV1,V0,V1,W0,W1,T0,T1,V2,VV2,W2,T2. (
153 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + (#[W0] + #[T0] + 1) + 1 →
154 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
157 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → W0 ⇒ W1 → W0 ⇒ W2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
158 ↑[O, 1] V1 ≡ VV1 → ↑[O, 1] V2 ≡ VV2 →
159 ∃∃X. 𝕔{Abbr} W1. 𝕔{Appl} VV1. T1 ⇒ X & 𝕔{Abbr} W2. 𝕔{Appl} VV2. T2 ⇒ X.
160 #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #V2 #VV2 #W2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HW01 #HW02 #HT01 #HT02 #HVV1 #HVV2
161 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
162 elim (IH … HW01 … HW02) -HW01 HW02 // #W #HW1 #HW2
163 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // #T #HT1 #HT2
164 elim (lift_total V 0 1) #VV #HVV
165 lapply (tpr_lift … HV1 … HVV1 … HVV) -HV1 HVV1 #HVV1
166 lapply (tpr_lift … HV2 … HVV2 … HVV) -HV2 HVV2 HVV #HVV2
167 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_bind |1:skip ] /2 width=5/ (**) (* /4 width=5/ is too slow *)
170 fact tpr_conf_zeta_zeta:
171 ∀V0:term. ∀X2,TT0,T0,T1,T2. (
172 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[TT0] + 1 →
173 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
177 ↑[O, 1] T0 ≡ TT0 → ↑[O, 1] T2 ≡ TT0 →
178 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
179 #V0 #X2 #TT0 #T0 #T1 #T2 #IH #HT01 #HTX2 #HTT0 #HTT20
180 lapply (lift_inj … HTT0 … HTT20) -HTT0 #H destruct -T0;
181 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
182 elim (IH … HT01 … HTX2) -HT01 HTX2 IH /2/
185 fact tpr_conf_tau_tau:
186 ∀V0,T0:term. ∀X2,T1. (
187 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
188 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
192 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
193 #V0 #T0 #X2 #T1 #IH #HT01 #HT02
194 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /2/
197 (* Confluence ***************************************************************)
201 ∀X0:term. #[X0] < #[Y0] →
202 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
205 ∀X0,X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 → X0 = Y0 →
206 ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
207 #Y0 #IH #X0 #X1 #X2 * -X0 X1
208 [ #I1 #H1 #H2 destruct -Y0;
209 lapply (tpr_inv_atom1 … H1) -H1
210 (* case 1: atom, atom *)
212 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
213 elim (tpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
214 (* case 2: flat, flat *)
215 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
216 /3 width=7 by tpr_conf_flat_flat/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
217 (* case 3: flat, beta *)
218 | #V2 #W #U0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
219 /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
220 (* case 4: flat, theta *)
221 | #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #HV02 #HW02 #HT02 #HV2 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
222 /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
223 (* case 5: flat, tau *)
224 | #HT02 #H destruct -I
225 /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/ (**) (* /3 width=6/ is too slow *)
227 | #V0 #V1 #W0 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
228 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
229 (* case 6: beta, flat (repeated) *)
230 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
231 @ex2_1_comm /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/
232 (* case 7: beta, beta *)
233 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 destruct -W0 T0 X2
234 /3 width=8 by tpr_conf_beta_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
235 (* case 8, beta, theta (excluded) *)
236 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
238 | #I1 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #HV01 #HT01 #HTT1 #H1 #H2 destruct -Y0;
239 elim (tpr_inv_bind1 … H1) -H1 *
240 (* case 9: delta, delta *)
241 [ #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct -X2
242 /3 width=11 by tpr_conf_delta_delta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
243 (* case 10: delta, zata *)
244 | #T2 #HT20 #HTX2 #H destruct -I1;
245 /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
247 | #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #HV01 #HVV1 #HW01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
248 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
249 (* case 11: theta, flat (repeated) *)
250 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
251 @ex2_1_comm /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/
252 (* case 12: theta, beta (repeated) *)
253 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #_ #_ #H destruct
254 (* case 13: theta, theta *)
255 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #V02 #HW02 #HT02 #HVV2 #H1 #H2 destruct -W0 T0 X2
256 /3 width=14 by tpr_conf_theta_theta/ (**) (* /3 width=14/ is too slow *)
258 | #V0 #TT0 #T0 #T1 #HTT0 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
259 elim (tpr_inv_abbr1 … H1) -H1 *
260 (* case 14: zeta, delta (repeated) *)
261 [ #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct -X2
262 @ex2_1_comm /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/
263 (* case 15: zeta, zeta *)
265 /3 width=9 by tpr_conf_zeta_zeta/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
267 | #V0 #T0 #T1 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
268 elim (tpr_inv_cast1 … H1) -H1
269 (* case 16: tau, flat (repeated) *)
270 [ * #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
271 @ex2_1_comm /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/
272 (* case 17: tau, tau *)
274 /2 by tpr_conf_tau_tau/
279 theorem tpr_conf: ∀T0:term. ∀T1,T2. T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
280 ∃∃T. T1 ⇒ T & T2 ⇒ T.
281 #T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=6 by tpr_conf_aux/