1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "Basic-2/substitution/tps_tps.ma".
16 include "Basic-2/reduction/tpr_lift.ma".
17 include "Basic-2/reduction/tpr_tps.ma".
19 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
21 (* Confluence lemmas ********************************************************)
23 lemma tpr_conf_sort_sort: ∀k. ∃∃X. ⋆k ⇒ X & ⋆k ⇒ X.
26 lemma tpr_conf_lref_lref: ∀i. ∃∃X. #i ⇒ X & #i ⇒ X.
29 lemma tpr_conf_bind_bind:
30 ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
31 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
32 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
35 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
36 ∃∃X. 𝕓{I} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{I} V2. T2 ⇒ X.
37 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
38 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
39 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
42 lemma tpr_conf_bind_delta:
43 ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2,T. (
44 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
45 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
49 T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 → ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [O,1] ≫ T →
50 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T ⇒ X.
51 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #T #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HT2
52 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
53 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // -V0 T0 #T0 #HT10 #HT20
54 elim (tpr_tps_bind … HV2 HT20 … HT2) -HT20 HT2 /3 width=5/
57 lemma tpr_conf_bind_zeta:
59 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 +1 →
60 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
63 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T ⇒ X2 → ↑[O, 1] T ≡ T0 →
64 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
65 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #T #IH #HV01 #HT01 #HTX2 #HT0
66 elim (tpr_inv_lift … HT01 … HT0) -HT01 #U #HUT1 #HTU
67 lapply (tw_lift … HT0) -HT0 #HT0
68 elim (IH … HTX2 … HTU) -HTX2 HTU IH /3/
71 lemma tpr_conf_flat_flat:
72 ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
73 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
74 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
77 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
78 ∃∃T0. 𝕗{I} V1. T1 ⇒ T0 & 𝕗{I} V2. T2 ⇒ T0.
79 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
80 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
81 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 /3 width=5/
84 lemma tpr_conf_flat_beta:
85 ∀V0,V1,T1,V2,W0,U0,T2. (
86 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
87 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
91 U0 ⇒ T2 → 𝕓{Abst} W0. U0 ⇒ T1 →
92 ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
93 #V0 #V1 #T1 #V2 #W0 #U0 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT02 #H
94 elim (tpr_inv_abst1 … H) -H #W1 #U1 #HW01 #HU01 #H destruct -T1;
95 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
96 elim (IH … HT02 … HU01) -HT02 HU01 IH /3 width=5/
99 lemma tpr_conf_flat_theta:
100 ∀V0,V1,T1,V2,V,W0,W2,U0,U2. (
101 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
102 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
105 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → ↑[O,1] V2 ≡ V →
106 W0 ⇒ W2 → U0 ⇒ U2 → 𝕓{Abbr} W0. U0 ⇒ T1 →
107 ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} W2. 𝕗{Appl} V. U2 ⇒ X.
108 #V0 #V1 #T1 #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #IH #HV01 #HV02 #HV2 #HW02 #HU02 #H
109 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #VV #HVV1 #HVV2
110 elim (lift_total VV 0 1) #VVV #HVV
111 lapply (tpr_lift … HVV2 … HV2 … HVV) #HVVV
112 elim (tpr_inv_abbr1 … H) -H *
114 [ -HV2 HVV2 #WW #UU #HWW0 #HUU0 #H destruct -T1;
115 elim (IH … HW02 … HWW0) -HW02 HWW0 // #W #HW2 #HWW
116 elim (IH … HU02 … HUU0) -HU02 HUU0 IH // #U #HU2 #HUU
117 @ex2_1_intro [2: @tpr_theta |1:skip |3: @tpr_bind ] /2 width=7/ (**) (* /4 width=7/ is too slow *)
119 | -HV2 HVV2 #WW2 #UU2 #UU #HWW2 #HUU02 #HUU2 #H destruct -T1;
120 elim (IH … HW02 … HWW2) -HW02 HWW2 // #W #HW02 #HWW2
121 elim (IH … HU02 … HUU02) -HU02 HUU02 IH // #U #HU2 #HUUU2
122 elim (tpr_tps_bind … HWW2 HUUU2 … HUU2) -HUU2 HUUU2 #UUU #HUUU2 #HUUU1
124 [2: @tpr_theta [6: @HVV |7: @HWW2 |8: @HUUU2 |1,2,3,4: skip | // ]
126 |3: @tpr_delta [3: @tpr_flat |1: skip ] /2 width=5/
127 ] (**) (* /5 width=14/ is too slow *)
129 | -HW02 HVV HVVV #UU1 #HUU10 #HUUT1
130 elim (tpr_inv_lift … HU02 … HUU10) -HU02 #UU #HUU2 #HUU1
131 lapply (tw_lift … HUU10) -HUU10 #HUU10
132 elim (IH … HUUT1 … HUU1) -HUUT1 HUU1 IH // -HUU10 #U #HU2 #HUUU2
136 |3: @tpr_zeta [2: @lift_flat |1: skip |3: @tpr_flat ]
137 ] /2 width=5/ (**) (* /5 width=5/ is too slow *)
141 lemma tpr_conf_flat_cast:
143 ∀X0:term. #X0 < #V0 + # T0 + 1 →
144 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
147 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ X2 →
148 ∃∃X. 𝕗{Cast} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
149 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #IH #_ #HT01 #HT02
150 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3/
153 lemma tpr_conf_beta_beta:
154 ∀W0:term. ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
155 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #T0 + 1) + 1 →
156 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
159 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
160 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
161 #W0 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
162 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 //
163 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
166 lemma tpr_conf_delta_delta:
167 ∀V0,V1,T0,T1,TT1,V2,T2,TT2. (
168 ∀X0:term. #X0 < #V0 +#T0 + 1→
169 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
172 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
173 ⋆. 𝕓{Abbr} V1 ⊢ T1 [O, 1] ≫ TT1 →
174 ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [O, 1] ≫ TT2 →
175 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. TT1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. TT2 ⇒ X.
176 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #V2 #T2 #TT2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HTT1 #HTT2
177 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
178 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // #T #HT1 #HT2
179 elim (tpr_tps_bind … HV1 HT1 … HTT1) -HT1 HTT1 #U1 #TTU1 #HTU1
180 elim (tpr_tps_bind … HV2 HT2 … HTT2) -HT2 HTT2 #U2 #TTU2 #HTU2
181 elim (tps_conf … HTU1 … HTU2) -HTU1 HTU2 #U #HU1 #HU2
182 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_delta |1: skip ] /width=10/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
185 lemma tpr_conf_delta_zeta:
186 ∀X2,V0,V1,T0,T1,TT1,T2. (
187 ∀X0:term. #X0 < #V0 +#T0 + 1→
188 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
191 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → ⋆. 𝕓{Abbr} V1 ⊢ T1 [O,1] ≫ TT1 →
192 T2 ⇒ X2 → ↑[O, 1] T2 ≡ T0 →
193 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. TT1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
194 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #T2 #IH #_ #HT01 #HTT1 #HTX2 #HTT20
195 elim (tpr_inv_lift … HT01 … HTT20) -HT01 #TT2 #HTT21 #HTT2
196 lapply (tps_inv_lift1_eq … HTT1 … HTT21) -HTT1 #HTT1 destruct -T1;
197 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
198 elim (IH … HTX2 … HTT2) -HTX2 HTT2 IH /3/
201 lemma tpr_conf_theta_theta:
202 ∀VV1,V0,V1,W0,W1,T0,T1,V2,VV2,W2,T2. (
203 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #T0 + 1) + 1 →
204 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
207 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → W0 ⇒ W1 → W0 ⇒ W2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
208 ↑[O, 1] V1 ≡ VV1 → ↑[O, 1] V2 ≡ VV2 →
209 ∃∃X. 𝕓{Abbr} W1. 𝕗{Appl} VV1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} W2. 𝕗{Appl} VV2. T2 ⇒ X.
210 #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #V2 #VV2 #W2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HW01 #HW02 #HT01 #HT02 #HVV1 #HVV2
211 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
212 elim (IH … HW01 … HW02) -HW01 HW02 // #W #HW1 #HW2
213 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // #T #HT1 #HT2
214 elim (lift_total V 0 1) #VV #HVV
215 lapply (tpr_lift … HV1 … HVV1 … HVV) -HV1 HVV1 #HVV1
216 lapply (tpr_lift … HV2 … HVV2 … HVV) -HV2 HVV2 HVV #HVV2
217 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_bind |1:skip ] /2 width=5/ (**) (* /4 width=5/ is too slow *)
220 lemma tpr_conf_zeta_zeta:
221 ∀V0:term. ∀X2,TT0,T0,T1,T2. (
222 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #TT0 + 1 →
223 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
227 ↑[O, 1] T0 ≡ TT0 → ↑[O, 1] T2 ≡ TT0 →
228 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
229 #V0 #X2 #TT0 #T0 #T1 #T2 #IH #HT01 #HTX2 #HTT0 #HTT20
230 lapply (lift_inj … HTT0 … HTT20) -HTT0 #H destruct -T0;
231 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
232 elim (IH … HT01 … HTX2) -HT01 HTX2 IH /2/
235 lemma tpr_conf_tau_tau:
236 ∀V0,T0:term. ∀X2,T1. (
237 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
238 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
242 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
243 #V0 #T0 #X2 #T1 #IH #HT01 #HT02
244 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /2/
247 (* Confluence ***************************************************************)
251 ∀X0:term. #X0 < #Y0 → ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
254 ∀X0,X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 → X0 = Y0 →
255 ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
256 #Y0 #IH #X0 #X1 #X2 * -X0 X1
257 [ #k1 #H1 #H2 destruct -Y0;
258 lapply (tpr_inv_sort1 … H1) -H1
259 (* case 1: sort, sort *)
261 | #i1 #H1 #H2 destruct -Y0;
262 lapply (tpr_inv_lref1 … H1) -H1
263 (* case 2: lref, lref *)
265 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
266 elim (tpr_inv_bind1 … H1) -H1 *
267 (* case 3: bind, bind *)
268 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
269 /3 width=7 by tpr_conf_bind_bind/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
270 (* case 4: bind, delta *)
271 | #V2 #T2 #T #HV02 #HT02 #HT2 #H1 #H2 destruct -X2 I
272 /3 width=9 by tpr_conf_bind_delta/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
273 (* case 5: bind, zeta *)
274 | #T #HT0 #HTX2 #H destruct -I
275 /3 width=8 by tpr_conf_bind_zeta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
277 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
278 elim (tpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
279 (* case 6: flat, flat *)
280 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
281 /3 width=7 by tpr_conf_flat_flat/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
282 (* case 7: flat, beta *)
283 | #V2 #W #U0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
284 /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
285 (* case 8: flat, theta *)
286 | #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #HV02 #HW02 #HT02 #HV2 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
287 /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
288 (* case 9: flat, tau *)
289 | #HT02 #H destruct -I
290 /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/ (**) (* /3 width=6/ is too slow *)
292 | #V0 #V1 #W0 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
293 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
294 (* case 10: beta, flat (repeated) *)
295 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
296 @ex2_1_comm /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/
297 (* case 11: beta, beta *)
298 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 destruct -W0 T0 X2
299 /3 width=8 by tpr_conf_beta_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
300 (* case 12, beta, theta (excluded) *)
301 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
303 | #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #HV01 #HT01 #HTT1 #H1 #H2 destruct -Y0;
304 elim (tpr_inv_abbr1 … H1) -H1 *
305 (* case 13: delta, bind (repeated) *)
306 [ #V2 #T2 #HV02 #T02 #H destruct -X2
307 @ex2_1_comm /3 width=9 by tpr_conf_bind_delta/
308 (* case 14: delta, delta *)
309 | #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct -X2
310 /3 width=11 by tpr_conf_delta_delta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
311 (* case 15: delta, zata *)
313 /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
315 | #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #HV01 #HVV1 #HW01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
316 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
317 (* case 16: theta, flat (repeated) *)
318 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
319 @ex2_1_comm /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/
320 (* case 17: theta, beta (repeated) *)
321 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #_ #_ #H destruct
322 (* case 18: theta, theta *)
323 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #V02 #HW02 #HT02 #HVV2 #H1 #H2 destruct -W0 T0 X2
324 /3 width=14 by tpr_conf_theta_theta/ (**) (* /3 width=14/ is too slow *)
326 | #V0 #TT0 #T0 #T1 #HTT0 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
327 elim (tpr_inv_abbr1 … H1) -H1 *
328 (* case 19: zeta, bind (repeated) *)
329 [ #V2 #T2 #HV02 #T02 #H destruct -X2
330 @ex2_1_comm /3 width=8 by tpr_conf_bind_zeta/
331 (* case 20: zeta, delta (repeated) *)
332 | #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct -X2
333 @ex2_1_comm /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/
334 (* case 21: zeta, zeta *)
336 /3 width=9 by tpr_conf_zeta_zeta/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
338 | #V0 #T0 #T1 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
339 elim (tpr_inv_cast1 … H1) -H1
340 (* case 22: tau, flat (repeated) *)
341 [ * #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
342 @ex2_1_comm /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/
343 (* case 23: tau, tau *)
345 /2 by tpr_conf_tau_tau/
350 theorem tpr_conf: ∀T0:term. ∀T1,T2. T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
351 ∃∃T. T1 ⇒ T & T2 ⇒ T.
352 #T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=6 by tpr_conf_aux/