matita/matita/contribs/lambda-delta/Basic-2/substitution/leq.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "Basic-2/syntax/length.ma".
  13
  14 (* LOCAL ENVIRONMENT EQUALITY ***********************************************)
  15
  16 inductive leq: lenv → nat → nat → lenv → Prop ≝
  17 | leq_sort: ∀d,e. leq (⋆) d e (⋆)
  18 | leq_comp: ∀L1,L2,I1,I2,V1,V2.
  19             leq L1 0 0 L2 → leq (L1. 𝕓{I1} V1) 0 0 (L2. 𝕓{I2} V2)
  20 | leq_eq:   ∀L1,L2,I,V,e. leq L1 0 e L2 → leq (L1. 𝕓{I} V) 0 (e + 1) (L2.𝕓{I} V)
  21 | leq_skip: ∀L1,L2,I1,I2,V1,V2,d,e.
  22             leq L1 d e L2 → leq (L1. 𝕓{I1} V1) (d + 1) e (L2. 𝕓{I2} V2)
  23 .
  24
  25 interpretation "local environment equality" 'Eq L1 d e L2 = (leq L1 d e L2).
  26
  27 (* Basic properties *********************************************************)
  28
  29 lemma leq_refl: ∀d,e,L. L [d, e] ≈ L.
  30 #d elim d -d
  31 [ #e elim e -e [ #L elim L -L /2/ | #e #IHe #L elim L -L /2/ ]
  32 | #d #IHd #e #L elim L -L /2/
  33 ]
  34 qed.
  35
  36 lemma leq_sym: ∀L1,L2,d,e. L1 [d, e] ≈ L2 → L2 [d, e] ≈ L1.
  37 #L1 #L2 #d #e #H elim H -H L1 L2 d e /2/
  38 qed.
  39
  40 lemma leq_skip_lt: ∀L1,L2,d,e. L1 [d - 1, e] ≈ L2 → 0 < d →
  41                    ∀I1,I2,V1,V2. L1. 𝕓{I1} V1 [d, e] ≈ L2. 𝕓{I2} V2.
  42
  43 #L1 #L2 #d #e #HL12 #Hd >(plus_minus_m_m d 1) /2/
  44 qed.
  45
  46 lemma leq_fwd_length: ∀L1,L2,d,e. L1 [d, e] ≈ L2 → |L1| = |L2|.
  47 #L1 #L2 #d #e #H elim H -H L1 L2 d e; normalize //
  48 qed.
  49
  50 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  51
  52 lemma leq_inv_sort1_aux: ∀L1,L2,d,e. L1 [d, e] ≈ L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
  53 #L1 #L2 #d #e #H elim H -H L1 L2 d e
  54 [ //
  55 | #L1 #L2 #I1 #I2 #V1 #V2 #_ #_ #H destruct
  56 | #L1 #L2 #I #V #e #_ #_ #H destruct
  57 | #L1 #L2 #I1 #I2 #V1 #V2 #d #e #_ #_ #H destruct
  58 qed.
  59
  60 lemma leq_inv_sort1: ∀L2,d,e. ⋆ [d, e] ≈ L2 → L2 = ⋆.
  61 /2 width=5/ qed.
  62
  63 lemma leq_inv_sort2: ∀L1,d,e. L1 [d, e] ≈ ⋆ → L1 = ⋆.
  64 /3/ qed.