matita/matita/contribs/lambda-delta/Basic-2/substitution/tps_lift.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Basic-2/substitution/drop_drop.ma".
  16 include "Basic-2/substitution/tps.ma".
  17
  18 (* PARTIAL SUBSTITUTION ON TERMS ********************************************)
  19
  20 (* Relocation properties ****************************************************)
  21
  22 lemma tps_lift_le: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ T1 [dt, et] ≫ T2 →
  23                    ∀L,U1,U2,d,e. ↓[d, e] L ≡ K →
  24                    ↑[d, e] T1 ≡ U1 → ↑[d, e] T2 ≡ U2 →
  25                    dt + et ≤ d →
  26                    L ⊢ U1 [dt, et] ≫ U2.
  27 #K #T1 #T2 #dt #et #H elim H -H K T1 T2 dt et
  28 [ #K #k #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_
  29   lapply (lift_mono … H1 … H2) -H1 H2 #H destruct -U1 //
  30 | #K #i #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_
  31   lapply (lift_mono … H1 … H2) -H1 H2 #H destruct -U1 //
  32 | #K #KV #V #V1 #V2 #i #dt #et #Hdti #Hidet #HKV #_ #HV12 #IHV12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H #HVU2 #Hdetd
  33   lapply (lt_to_le_to_lt … Hidet … Hdetd) #Hid
  34   lapply (lift_inv_lref1_lt … H … Hid) -H #H destruct -U1;
  35   elim (lift_trans_ge … HV12 … HVU2 ?) -HV12 HVU2 V2 // <minus_plus #V2 #HV12 #HVU2
  36   elim (drop_trans_le … HLK … HKV ?) -HLK HKV K /2/ #X #HLK #H
  37   elim (drop_inv_skip2 … H ?) -H /2/ -Hid #K #W #HKV #HVW #H destruct -X
  38   @tps_subst [4,5,6,8: // |1,2,3: skip | @IHV12 /2 width=6/ ] (**) (* explicit constructor *)
  39 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdetd
  40   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  41   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
  42   @tps_bind [ /2 width=6/ | @IHT12 [3,4,5: /2/ |1,2: skip | /2/ ] ] (**) (* /3 width=6/ is too slow, arith3 needed to avoid crash *)
  43 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdetd
  44   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  45   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
  46   /3 width=6/
  47 ]
  48 qed.
  49
  50 lemma tps_lift_ge: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ T1 [dt, et] ≫ T2 →
  51                    ∀L,U1,U2,d,e. ↓[d, e] L ≡ K →
  52                    ↑[d, e] T1 ≡ U1 → ↑[d, e] T2 ≡ U2 →
  53                    d ≤ dt →
  54                    L ⊢ U1 [dt + e, et] ≫ U2.
  55 #K #T1 #T2 #dt #et #H elim H -H K T1 T2 dt et
  56 [ #K #k #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_
  57   lapply (lift_mono … H1 … H2) -H1 H2 #H destruct -U1 //
  58 | #K #i #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_
  59   lapply (lift_mono … H1 … H2) -H1 H2 #H destruct -U1 //
  60 | #K #KV #V #V1 #V2 #i #dt #et #Hdti #Hidet #HKV #HV1 #HV12 #_ #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H #HVU2 #Hddt
  61   <(arith_c1x ? ? ? e) in HV1 #HV1 (**) (* explicit athmetical rewrite and ?'s *)
  62   lapply (transitive_le … Hddt … Hdti) -Hddt #Hid
  63   lapply (lift_inv_lref1_ge … H … Hid) -H #H destruct -U1;
  64   lapply (lift_trans_be … HV12 … HVU2 ? ?) -HV12 HVU2 V2 /2/ >plus_plus_comm_23 #HV1U2
  65   lapply (drop_trans_ge_comm … HLK … HKV ?) -HLK HKV K // -Hid #HLKV
  66   @tps_subst [4,5: /2/ |6,7,8: // |1,2,3: skip ] (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
  67 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hddt
  68   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  69   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
  70   @tps_bind [ /2 width=5/ | /3 width=5/ ] (**) (* explicit constructor *)
  71 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hddt
  72   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  73   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
  74   /3 width=5/
  75 ]
  76 qed.
  77
  78 lemma tps_inv_lift1_le: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 [dt, et] ≫ U2 →
  79                         ∀K,d,e. ↓[d, e] L ≡ K → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 →
  80                         dt + et ≤ d →
  81                         ∃∃T2. K ⊢ T1 [dt, et] ≫ T2 & ↑[d, e] T2 ≡ U2.
  82 #L #U1 #U2 #dt #et #H elim H -H L U1 U2 dt et
  83 [ #L #k #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
  84   lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct -T1 /2/
  85 | #L #i #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
  86   elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct -T1 /3/
  87 | #L #KV #V #V1 #V2 #i #dt #et #Hdti #Hidet #HLKV #_ #HV12 #IHV12 #K #d #e #HLK #T1 #H #Hdetd
  88   lapply (lt_to_le_to_lt … Hidet … Hdetd) #Hid
  89   lapply (lift_inv_lref2_lt … H … Hid) -H #H destruct -T1;
  90   elim (drop_conf_lt … HLK … HLKV ?) -HLK HLKV L // #L #W #HKL #HKVL #HWV
  91   elim (IHV12 … HKVL … HWV ?) -HKVL HWV /2/ -Hdetd #W1 #HW1 #HWV1
  92   elim (lift_trans_le … HWV1 … HV12 ?) -HWV1 HV12 V1 // >arith_a2 /3 width=6/
  93 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
  94   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
  95   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -IHV12 //
  96   elim (IHU12 … HTU1 ?) -IHU12 HTU1 [3: /2/ |4: @drop_skip // |2: skip ] -HLK HWV1 Hdetd /3 width=5/ (**) (* just /3 width=5/ is too slow *)
  97 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
  98   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
  99   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -IHV12 HWV1 //
 100   elim (IHU12 … HLK … HTU1 ?) -IHU12 HLK HTU1 // /3 width=5/
 101 ]
 102 qed.
 103
 104 lemma tps_inv_lift1_ge: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 [dt, et] ≫ U2 →
 105                         ∀K,d,e. ↓[d, e] L ≡ K → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 →
 106                         d + e ≤ dt →
 107                         ∃∃T2. K ⊢ T1 [dt - e, et] ≫ T2 & ↑[d, e] T2 ≡ U2.
 108 #L #U1 #U2 #dt #et #H elim H -H L U1 U2 dt et
 109 [ #L #k #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
 110   lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct -T1 /2/
 111 | #L #i #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
 112   elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct -T1 /3/
 113 | #L #KV #V #V1 #V2 #i #dt #et #Hdti #Hidet #HLKV #HV1 #HV12 #_ #K #d #e #HLK #T1 #H #Hdedt
 114   lapply (transitive_le … Hdedt … Hdti) #Hdei
 115   lapply (plus_le_weak … Hdedt) -Hdedt #Hedt
 116   lapply (plus_le_weak … Hdei) #Hei
 117   <(arith_h1 ? ? ? e ? ?) in HV1 // #HV1
 118   lapply (lift_inv_lref2_ge … H … Hdei) -H #H destruct -T1;
 119   lapply (drop_conf_ge … HLK … HLKV ?) -HLK HLKV L // #HKV
 120   elim (lift_split … HV12 d (i - e + 1) ? ? ?) -HV12; [2,3,4: normalize /2/ ] -Hdei >arith_e2 // #V0 #HV10 #HV02
 121   @ex2_1_intro
 122   [2: @tps_subst [4: /2/ |6,7,8: // |1,2,3: skip |5: @arith5 // ]
 123   |1: skip
 124   | //
 125   ] (**) (* explicitc constructors *)
 126 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 127   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
 128   lapply (plus_le_weak … Hdetd) #Hedt
 129   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -IHV12 // #W2 #HW12 #HWV2
 130   elim (IHU12 … HTU1 ?) -IHU12 HTU1 [4: @drop_skip // |2: skip |3: /2/ ]
 131   <plus_minus // /3 width=5/
 132 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 133   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
 134   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -IHV12 HWV1 //
 135   elim (IHU12 … HLK … HTU1 ?) -IHU12 HLK HTU1 // /3 width=5/
 136 ]
 137 qed.
 138
 139 lemma tps_inv_lift1_eq: ∀L,U1,U2,d,e.
 140                         L ⊢ U1 [d, e] ≫ U2 → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 → U1 = U2.
 141 #L #U1 #U2 #d #e #H elim H -H L U1 U2 d e
 142 [ //
 143 | //
 144 | #L #K #V #V1 #V2 #i #d #e #Hdi #Hide #_ #_ #_ #_ #T1 #H
 145   elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #H
 146   [ lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi … H) -Hdi H #H
 147     elim (lt_refl_false … H)
 148   | lapply (lt_to_le_to_lt … Hide … H) -Hide H #H
 149     elim (lt_refl_false … H)
 150   ]
 151 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
 152   elim (lift_inv_bind2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #H destruct -X
 153   >IHV12 // >IHT12 //
 154 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
 155   elim (lift_inv_flat2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #H destruct -X
 156   >IHV12 // >IHT12 //
 157 ]
 158 qed.
 159 (*
 160       Theorem subst0_gen_lift_ge : (u,t1,x:?; i,h,d:?) (subst0 i u (lift h d t1) x) ->
 161                                    (le (plus d h) i) ->
 162                                    (EX t2 | x = (lift h d t2) & (subst0 (minus i h) u t1 t2)).
 163
 164       Theorem subst0_gen_lift_rev_ge: (t1,v,u2:?; i,h,d:?)
 165                                       (subst0 i v t1 (lift h d u2)) ->
 166                                       (le (plus d h) i) ->
 167                                       (EX u1 | (subst0 (minus i h) v u1 u2) &
 168                                                t1 = (lift h d u1)
 169                                       ).
 170
 171
 172       Theorem subst0_gen_lift_rev_lelt: (t1,v,u2:?; i,h,d:?)
 173                                         (subst0 i v t1 (lift h d u2)) ->
 174                                         (le d i) -> (lt i (plus d h)) ->
 175                                         (EX u1 | t1 = (lift (minus (plus d h) (S i)) (S i) u1)).
 176 *)