matita/matita/contribs/lambda_delta/Basic_2/computation/acp_aaa.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Basic_2/unfold/gr2_gr2.ma".
  16 include "Basic_2/unfold/lifts_lifts.ma".
  17 include "Basic_2/unfold/ldrops_ldrops.ma".
  18 include "Basic_2/computation/lsubc.ma".
  19
  20 (* NOTE: The constant (0) can not be generalized *)
  21 axiom lsubc_ldrop_trans: ∀RP,L1,L2. L1 [RP] ⊑ L2 → ∀K2,e. ⇩[0, e] L2 ≡ K2 →
  22                          ∃∃K1. ⇩[0, e] L1 ≡ K1 & K1 [RP] ⊑ K2.
  23
  24 axiom ldrops_lsubc_trans: ∀RP,L1,K1,des. ⇩*[des] L1 ≡ K1 → ∀K2. K1 [RP] ⊑ K2 →
  25                           ∃∃L2. L1 [RP] ⊑ L2 & ⇩*[des] L2 ≡ K2.
  26
  27 axiom aaa_mono: ∀L,T,A1. L ⊢ T ÷ A1 → ∀A2. L ⊢ T ÷ A2 → A1 = A2.
  28
  29 axiom aaa_lifts: ∀L1,L2,T1,T2,A,des.
  30                  L1 ⊢ T1 ÷ A → ⇩*[des] L2 ≡ L1 → ⇧*[des] T1 ≡ T2 → L2 ⊢ T2 ÷ A.
  31
  32 (* ABSTRACT COMPUTATION PROPERTIES ******************************************)
  33
  34 (* Main propertis ***********************************************************)
  35
  36 theorem aacr_aaa_csubc_lifts: ∀RR,RS,RP.
  37                               acp RR RS RP → acr RR RS RP (λL,T. RP L T) →
  38                               ∀L1,T,A. L1 ⊢ T ÷ A → ∀L0,des. ⇩*[des] L0 ≡ L1 →
  39                               ∀T0. ⇧*[des] T ≡ T0 → ∀L2. L2 [RP] ⊑ L0 →
  40                               ⦃L2, T0⦄ [RP] ϵ 〚A〛.
  41 #RR #RS #RP #H1RP #H2RP #L1 #T #A #H elim H -L1 -T -A
  42 [ #L #k #L0 #des #HL0 #X #H #L2 #HL20
  43   >(lifts_inv_sort1 … H) -H
  44   lapply (aacr_acr … H1RP H2RP 𝕒) #HAtom
  45   @(s2 … HAtom … ◊) // /2 width=2/
  46 | #I #L1 #K1 #V1 #B #i #HLK1 #HKV1B #IHB #L0 #des #HL01 #X #H #L2 #HL20
  47   lapply (aacr_acr … H1RP H2RP B) #HB
  48   elim (lifts_inv_lref1 … H) -H #i1 #Hi1 #H destruct
  49   lapply (ldrop_fwd_ldrop2 … HLK1) #HK1b
  50   elim (ldrops_ldrop_trans … HL01 … HLK1) #X #des1 #i0 #HL0 #H #Hi0 #Hdes1
  51   >(at_mono … Hi1 … Hi0) -i1
  52   elim (ldrops_inv_skip2 … Hdes1 … H) -des1 #K0 #V0 #des0 #Hdes0 #HK01 #HV10 #H destruct
  53   elim (lsubc_ldrop_trans … HL20 … HL0) -HL0 #X #HLK2 #H
  54   elim (lsubc_inv_pair2 … H) -H *
  55   [ #K2 #HK20 #H destruct
  56     generalize in match HLK2; generalize in match I; -HLK2 -I * #HLK2
  57     [ elim (lift_total V0 0 (i0 +1)) #V #HV0
  58       elim (lifts_lift_trans … HV10 … HV0 … Hi0 Hdes0) -HV10 #V2 #HV12 #HV2
  59       @(s4 … HB … ◊ … HV0 HLK2) /3 width=7/ (* uses IHB HL20 V2 HV0 *)
  60     | @(s2 … HB … ◊) // /2 width=3/
  61     ]
  62   | -HLK1 -IHB -HL01 -HL20 -HK1b -Hi0 -Hdes0
  63     #K2 #V2 #A2 #HKV2A #HKV0A #_ #H1 #H2 destruct
  64     lapply (ldrop_fwd_ldrop2 … HLK2) #HLK2b
  65     lapply (aaa_lifts … HKV1B HK01 HV10) -HKV1B -HK01 -HV10 #HKV0B
  66     >(aaa_mono … HKV0A … HKV0B) in HKV2A; -HKV0A -HKV0B #HKV2B
  67     elim (lift_total V2 0 (i0 +1)) #V #HV2
  68     @(s4 … HB … ◊ … HV2 HLK2)
  69     @(s7 … HB … HKV2B) //
  70   ]
  71 | #L #V #T #B #A #_ #_ #IHB #IHA #L0 #des #HL0 #X #H #L2 #HL20
  72   elim (lifts_inv_bind1 … H) -H #V0 #T0 #HV0 #HT0 #H destruct
  73   lapply (aacr_acr … H1RP H2RP A) #HA
  74   lapply (aacr_acr … H1RP H2RP B) #HB
  75   lapply (s1 … HB) -HB #HB
  76   @(s5 … HA … ◊ ◊) // /3 width=5/
  77 | #L #W #T #B #A #HLWB #_ #IHB #IHA #L0 #des #HL0 #X #H #L2 #HL02
  78   elim (lifts_inv_bind1 … H) -H #W0 #T0 #HW0 #HT0 #H destruct
  79   @(aacr_abst  … H1RP H2RP)
  80   [ lapply (aacr_acr … H1RP H2RP B) #HB
  81     @(s1 … HB) /2 width=5/
  82   | -IHB
  83     #L3 #V3 #T3 #des3 #HL32 #HT03 #HB
  84     elim (lifts_total des3 W0) #W2 #HW02
  85     elim (ldrops_lsubc_trans … HL32 … HL02) -L2 #L2 #HL32 #HL20
  86     lapply (aaa_lifts ? L2 ? W2 ? (des @ des3) HLWB ? ?) -HLWB /2 width=3/ #HLW2B
  87     @(IHA (L2. 𝕓{Abst} W2) … (des + 1 @ des3 + 1)) -IHA
  88     /2 width=3/ /3 width=5/
  89   ]
  90 | #L #V #T #B #A #_ #_ #IHB #IHA #L0 #des #HL0 #X #H #L2 #HL20
  91   elim (lifts_inv_flat1 … H) -H #V0 #T0 #HV0 #HT0 #H destruct
  92   /3 width=10/
  93 | #L #V #T #A #_ #_ #IH1A #IH2A #L0 #des #HL0 #X #H #L2 #HL20
  94   elim (lifts_inv_flat1 … H) -H #V0 #T0 #HV0 #HT0 #H destruct
  95   lapply (aacr_acr … H1RP H2RP A) #HA
  96   lapply (s1 … HA) #H
  97   @(s6 … HA … ◊) /2 width=5/ /3 width=5/
  98 ]
  99 qed.
 100
 101 lemma aacr_aaa: ∀RR,RS,RP. acp RR RS RP → acr RR RS RP (λL,T. RP L T) →
 102                 ∀L,T,A. L ⊢ T ÷ A → ⦃L, T⦄ [RP] ϵ 〚A〛.
 103 /2 width=8/ qed.
 104
 105 lemma acp_aaa: ∀RR,RS,RP. acp RR RS RP → acr RR RS RP (λL,T. RP L T) →
 106                ∀L,T,A. L ⊢ T ÷ A → RP L T.
 107 #RR #RS #RP #H1RP #H2RP #L #T #A #HT
 108 lapply (aacr_acr … H1RP H2RP A) #HA
 109 @(s1 … HA) /2 width=4/
 110 qed.