1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "Basic_2/reducibility/tpr_tpss.ma".
17 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
19 (* Confluence lemmas ********************************************************)
21 fact tpr_conf_atom_atom: ∀I. ∃∃X. 𝕒{I} ⇒ X & 𝕒{I} ⇒ X.
24 fact tpr_conf_flat_flat:
25 ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
26 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
27 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
30 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
31 ∃∃T0. 𝕗{I} V1. T1 ⇒ T0 & 𝕗{I} V2. T2 ⇒ T0.
32 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
33 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 // #V #HV1 #HV2
34 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // /3 width=5/
37 fact tpr_conf_flat_beta:
38 ∀V0,V1,T1,V2,W0,U0,T2. (
39 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + (#[W0] + #[U0] + 1) + 1 →
40 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
44 U0 ⇒ T2 → 𝕔{Abst} W0. U0 ⇒ T1 →
45 ∃∃X. 𝕔{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕔{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
46 #V0 #V1 #T1 #V2 #W0 #U0 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT02 #H
47 elim (tpr_inv_abst1 … H) -H #W1 #U1 #HW01 #HU01 #H destruct
48 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 // #V #HV1 #HV2
49 elim (IH … HT02 … HU01) -HT02 -HU01 -IH // /3 width=5/
53 pr0_cong_upsilon_refl pr0_cong_upsilon_zeta
54 pr0_cong_upsilon_cong pr0_cong_upsilon_delta
56 fact tpr_conf_flat_theta:
57 ∀V0,V1,T1,V2,V,W0,W2,U0,U2. (
58 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + (#[W0] + #[U0] + 1) + 1 →
59 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
62 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → ↑[O,1] V2 ≡ V →
63 W0 ⇒ W2 → U0 ⇒ U2 → 𝕔{Abbr} W0. U0 ⇒ T1 →
64 ∃∃X. 𝕔{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕔{Abbr} W2. 𝕔{Appl} V. U2 ⇒ X.
65 #V0 #V1 #T1 #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #IH #HV01 #HV02 #HV2 #HW02 #HU02 #H
66 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 // #VV #HVV1 #HVV2
67 elim (lift_total VV 0 1) #VVV #HVV
68 lapply (tpr_lift … HVV2 … HV2 … HVV) #HVVV
69 elim (tpr_inv_abbr1 … H) -H *
71 [ -HV2 -HVV2 #WW2 #UU2 #UU #HWW2 #HUU02 #HUU2 #H destruct
72 elim (IH … HW02 … HWW2) -HW02 -HWW2 // #W #HW02 #HWW2
73 elim (IH … HU02 … HUU02) -HU02 -HUU02 -IH // #U #HU2 #HUUU2
74 elim (tpr_tps_bind … HWW2 HUUU2 … HUU2) -UU2 #UUU #HUUU2 #HUUU1
76 [2: @tpr_theta [6: @HVV |7: @HWW2 |8: @HUUU2 |1,2,3,4: skip | // ]
78 |3: @tpr_delta [3: @tpr_flat |1: skip ] /2 width=5/
79 ] (**) (* /5 width=14/ is too slow *)
81 | -HW02 -HVV -HVVV #UU1 #HUU10 #HUUT1
82 elim (tpr_inv_lift … HU02 … HUU10) -HU02 #UU #HUU2 #HUU1
83 lapply (tw_lift … HUU10) -HUU10 #HUU10
84 elim (IH … HUUT1 … HUU1) -HUUT1 -HUU1 -IH // -HUU10 #U #HU2 #HUUU2
88 |3: @tpr_zeta [2: @lift_flat |1: skip |3: @tpr_flat ]
89 ] /2 width=5/ (**) (* /5 width=5/ is too slow *)
93 fact tpr_conf_flat_cast:
95 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
96 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
99 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ X2 →
100 ∃∃X. 𝕔{Cast} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
101 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #IH #_ #HT01 #HT02
102 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // /3 width=3/
105 fact tpr_conf_beta_beta:
106 ∀W0:term. ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
107 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + (#[W0] + #[T0] + 1) + 1 →
108 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
111 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
112 ∃∃X. 𝕔{Abbr} V1. T1 ⇒X & 𝕔{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
113 #W0 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
114 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 //
115 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // /3 width=5/
118 (* Basic_1: was: pr0_cong_delta pr0_delta_delta *)
119 fact tpr_conf_delta_delta:
120 ∀I1,V0,V1,T0,T1,TT1,V2,T2,TT2. (
121 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
122 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
125 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
126 ⋆. 𝕓{I1} V1 ⊢ T1 [O, 1] ≫ TT1 →
127 ⋆. 𝕓{I1} V2 ⊢ T2 [O, 1] ≫ TT2 →
128 ∃∃X. 𝕓{I1} V1. TT1 ⇒ X & 𝕓{I1} V2. TT2 ⇒ X.
129 #I1 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #V2 #T2 #TT2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HTT1 #HTT2
130 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 // #V #HV1 #HV2
131 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // #T #HT1 #HT2
132 elim (tpr_tps_bind … HV1 HT1 … HTT1) -T1 #U1 #TTU1 #HTU1
133 elim (tpr_tps_bind … HV2 HT2 … HTT2) -T2 #U2 #TTU2 #HTU2
134 elim (tps_conf_eq … HTU1 … HTU2) -T #U #HU1 #HU2
135 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_delta |1: skip ] /width=10/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
138 fact tpr_conf_delta_zeta:
139 ∀X2,V0,V1,T0,T1,TT1,T2. (
140 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
141 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
144 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → ⋆. 𝕓{Abbr} V1 ⊢ T1 [O,1] ≫ TT1 →
145 T2 ⇒ X2 → ↑[O, 1] T2 ≡ T0 →
146 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. TT1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
147 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #T2 #IH #_ #HT01 #HTT1 #HTX2 #HTT20
148 elim (tpr_inv_lift … HT01 … HTT20) -HT01 #TT2 #HTT21 #HTT2
149 lapply (tps_inv_lift1_eq … HTT1 … HTT21) -HTT1 #HTT1 destruct
150 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
151 elim (IH … HTX2 … HTT2) -HTX2 -HTT2 -IH // /3 width=3/
154 (* Basic_1: was: pr0_upsilon_upsilon *)
155 fact tpr_conf_theta_theta:
156 ∀VV1,V0,V1,W0,W1,T0,T1,V2,VV2,W2,T2. (
157 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + (#[W0] + #[T0] + 1) + 1 →
158 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
161 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → W0 ⇒ W1 → W0 ⇒ W2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
162 ↑[O, 1] V1 ≡ VV1 → ↑[O, 1] V2 ≡ VV2 →
163 ∃∃X. 𝕔{Abbr} W1. 𝕔{Appl} VV1. T1 ⇒ X & 𝕔{Abbr} W2. 𝕔{Appl} VV2. T2 ⇒ X.
164 #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #V2 #VV2 #W2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HW01 #HW02 #HT01 #HT02 #HVV1 #HVV2
165 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 // #V #HV1 #HV2
166 elim (IH … HW01 … HW02) -HW01 -HW02 // #W #HW1 #HW2
167 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // #T #HT1 #HT2
168 elim (lift_total V 0 1) #VV #HVV
169 lapply (tpr_lift … HV1 … HVV1 … HVV) -V1 #HVV1
170 lapply (tpr_lift … HV2 … HVV2 … HVV) -V2 -HVV #HVV2
171 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_bind |1:skip ] /2 width=5/ (**) (* /4 width=5/ is too slow *)
174 fact tpr_conf_zeta_zeta:
175 ∀V0:term. ∀X2,TT0,T0,T1,T2. (
176 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[TT0] + 1 →
177 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
181 ↑[O, 1] T0 ≡ TT0 → ↑[O, 1] T2 ≡ TT0 →
182 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
183 #V0 #X2 #TT0 #T0 #T1 #T2 #IH #HT01 #HTX2 #HTT0 #HTT20
184 lapply (lift_inj … HTT0 … HTT20) -HTT0 #H destruct
185 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
186 elim (IH … HT01 … HTX2) -HT01 -HTX2 -IH // /2 width=3/
189 fact tpr_conf_tau_tau:
190 ∀V0,T0:term. ∀X2,T1. (
191 ∀X0:term. #[X0] < #[V0] + #[T0] + 1 →
192 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
196 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
197 #V0 #T0 #X2 #T1 #IH #HT01 #HT02
198 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // /2 width=3/
201 (* Confluence ***************************************************************)
205 ∀X0:term. #[X0] < #[Y0] →
206 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
209 ∀X0,X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 → X0 = Y0 →
210 ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
211 #Y0 #IH #X0 #X1 #X2 * -X0 -X1
212 [ #I1 #H1 #H2 destruct
213 lapply (tpr_inv_atom1 … H1) -H1
214 (* case 1: atom, atom *)
216 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct
217 elim (tpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
218 (* case 2: flat, flat *)
219 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
220 /3 width=7 by tpr_conf_flat_flat/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
221 (* case 3: flat, beta *)
222 | #V2 #W #U0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 #H3 destruct
223 /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
224 (* case 4: flat, theta *)
225 | #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #HV02 #HW02 #HT02 #HV2 #H1 #H2 #H3 destruct
226 /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
227 (* case 5: flat, tau *)
229 /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/ (**) (* /3 width=6/ is too slow *)
231 | #V0 #V1 #W0 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct
232 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
233 (* case 6: beta, flat (repeated) *)
234 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
235 @ex2_1_comm /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/
236 (* case 7: beta, beta *)
237 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 destruct
238 /3 width=8 by tpr_conf_beta_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
239 (* case 8, beta, theta (excluded) *)
240 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
242 | #I1 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #HV01 #HT01 #HTT1 #H1 #H2 destruct
243 elim (tpr_inv_bind1 … H1) -H1 *
244 (* case 9: delta, delta *)
245 [ #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct
246 /3 width=11 by tpr_conf_delta_delta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
247 (* case 10: delta, zata *)
248 | #T2 #HT20 #HTX2 #H destruct
249 /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
251 | #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #HV01 #HVV1 #HW01 #HT01 #H1 #H2 destruct
252 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
253 (* case 11: theta, flat (repeated) *)
254 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
255 @ex2_1_comm /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/
256 (* case 12: theta, beta (repeated) *)
257 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #_ #_ #H destruct
258 (* case 13: theta, theta *)
259 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #V02 #HW02 #HT02 #HVV2 #H1 #H2 destruct
260 /3 width=14 by tpr_conf_theta_theta/ (**) (* /3 width=14/ is too slow *)
262 | #V0 #TT0 #T0 #T1 #HTT0 #HT01 #H1 #H2 destruct
263 elim (tpr_inv_abbr1 … H1) -H1 *
264 (* case 14: zeta, delta (repeated) *)
265 [ #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct
266 @ex2_1_comm /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/
267 (* case 15: zeta, zeta *)
269 /3 width=9 by tpr_conf_zeta_zeta/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
271 | #V0 #T0 #T1 #HT01 #H1 #H2 destruct
272 elim (tpr_inv_cast1 … H1) -H1
273 (* case 16: tau, flat (repeated) *)
274 [ * #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
275 @ex2_1_comm /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/
276 (* case 17: tau, tau *)
278 /3 width=5 by tpr_conf_tau_tau/
283 (* Basic_1: was: pr0_confluence *)
284 theorem tpr_conf: ∀T0:term. ∀T1,T2. T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
285 ∃∃T. T1 ⇒ T & T2 ⇒ T.
286 #T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=6 by tpr_conf_aux/