matita/matita/contribs/lambda_delta/Basic_2/substitution/ldrop.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Basic_2/grammar/lenv_weight.ma".
  16 include "Basic_2/grammar/lsubs.ma".
  17 include "Basic_2/substitution/lift.ma".
  18
  19 (* LOCAL ENVIRONMENT SLICING ************************************************)
  20
  21 (* Basic_1: includes: ldrop_skip_bind *)
  22 inductive ldrop: nat → nat → relation lenv ≝
  23 | ldrop_atom : ∀d,e. ldrop d e (⋆) (⋆)
  24 | ldrop_pair : ∀L,I,V. ldrop 0 0 (L. ⓑ{I} V) (L. ⓑ{I} V)
  25 | ldrop_ldrop: ∀L1,L2,I,V,e. ldrop 0 e L1 L2 → ldrop 0 (e + 1) (L1. ⓑ{I} V) L2
  26 | ldrop_skip : ∀L1,L2,I,V1,V2,d,e.
  27                ldrop d e L1 L2 → ⇧[d,e] V2 ≡ V1 →
  28                ldrop (d + 1) e (L1. ⓑ{I} V1) (L2. ⓑ{I} V2)
  29 .
  30
  31 interpretation "local slicing" 'RDrop d e L1 L2 = (ldrop d e L1 L2).
  32
  33 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  34
  35 fact ldrop_inv_refl_aux: ∀d,e,L1,L2. ⇩[d, e] L1 ≡ L2 → d = 0 → e = 0 → L1 = L2.
  36 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
  37 [ //
  38 | //
  39 | #L1 #L2 #I #V #e #_ #_ >commutative_plus normalize #H destruct
  40 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ >commutative_plus normalize #H destruct
  41 ]
  42 qed.
  43
  44 (* Basic_1: was: ldrop_gen_refl *)
  45 lemma ldrop_inv_refl: ∀L1,L2. ⇩[0, 0] L1 ≡ L2 → L1 = L2.
  46 /2 width=5/ qed-.
  47
  48 fact ldrop_inv_atom1_aux: ∀d,e,L1,L2. ⇩[d, e] L1 ≡ L2 → L1 = ⋆ →
  49                           L2 = ⋆.
  50 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
  51 [ //
  52 | #L #I #V #H destruct
  53 | #L1 #L2 #I #V #e #_ #H destruct
  54 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ #H destruct
  55 ]
  56 qed.
  57
  58 (* Basic_1: was: ldrop_gen_sort *)
  59 lemma ldrop_inv_atom1: ∀d,e,L2. ⇩[d, e] ⋆ ≡ L2 → L2 = ⋆.
  60 /2 width=5/ qed-.
  61
  62 fact ldrop_inv_O1_aux: ∀d,e,L1,L2. ⇩[d, e] L1 ≡ L2 → d = 0 →
  63                        ∀K,I,V. L1 = K. ⓑ{I} V →
  64                        (e = 0 ∧ L2 = K. ⓑ{I} V) ∨
  65                        (0 < e ∧ ⇩[d, e - 1] K ≡ L2).
  66 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
  67 [ #d #e #_ #K #I #V #H destruct
  68 | #L #I #V #_ #K #J #W #HX destruct /3 width=1/
  69 | #L1 #L2 #I #V #e #HL12 #_ #K #J #W #H destruct /3 width=1/
  70 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ >commutative_plus normalize #H destruct
  71 ]
  72 qed.
  73
  74 lemma ldrop_inv_O1: ∀e,K,I,V,L2. ⇩[0, e] K. ⓑ{I} V ≡ L2 →
  75                     (e = 0 ∧ L2 = K. ⓑ{I} V) ∨
  76                     (0 < e ∧ ⇩[0, e - 1] K ≡ L2).
  77 /2 width=3/ qed-.
  78
  79 (* Basic_1: was: ldrop_gen_ldrop *)
  80 lemma ldrop_inv_ldrop1: ∀e,K,I,V,L2.
  81                         ⇩[0, e] K. ⓑ{I} V ≡ L2 → 0 < e → ⇩[0, e - 1] K ≡ L2.
  82 #e #K #I #V #L2 #H #He
  83 elim (ldrop_inv_O1 … H) -H * // #H destruct
  84 elim (lt_refl_false … He)
  85 qed-.
  86
  87 fact ldrop_inv_skip1_aux: ∀d,e,L1,L2. ⇩[d, e] L1 ≡ L2 → 0 < d →
  88                           ∀I,K1,V1. L1 = K1. ⓑ{I} V1 →
  89                           ∃∃K2,V2. ⇩[d - 1, e] K1 ≡ K2 &
  90                                    ⇧[d - 1, e] V2 ≡ V1 &
  91                                    L2 = K2. ⓑ{I} V2.
  92 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
  93 [ #d #e #_ #I #K #V #H destruct
  94 | #L #I #V #H elim (lt_refl_false … H)
  95 | #L1 #L2 #I #V #e #_ #H elim (lt_refl_false … H)
  96 | #X #L2 #Y #Z #V2 #d #e #HL12 #HV12 #_ #I #L1 #V1 #H destruct /2 width=5/
  97 ]
  98 qed.
  99
 100 (* Basic_1: was: ldrop_gen_skip_l *)
 101 lemma ldrop_inv_skip1: ∀d,e,I,K1,V1,L2. ⇩[d, e] K1. ⓑ{I} V1 ≡ L2 → 0 < d →
 102                        ∃∃K2,V2. ⇩[d - 1, e] K1 ≡ K2 &
 103                                 ⇧[d - 1, e] V2 ≡ V1 &
 104                                 L2 = K2. ⓑ{I} V2.
 105 /2 width=3/ qed-.
 106
 107 fact ldrop_inv_skip2_aux: ∀d,e,L1,L2. ⇩[d, e] L1 ≡ L2 → 0 < d →
 108                           ∀I,K2,V2. L2 = K2. ⓑ{I} V2 →
 109                           ∃∃K1,V1. ⇩[d - 1, e] K1 ≡ K2 &
 110                                    ⇧[d - 1, e] V2 ≡ V1 &
 111                                    L1 = K1. ⓑ{I} V1.
 112 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
 113 [ #d #e #_ #I #K #V #H destruct
 114 | #L #I #V #H elim (lt_refl_false … H)
 115 | #L1 #L2 #I #V #e #_ #H elim (lt_refl_false … H)
 116 | #L1 #X #Y #V1 #Z #d #e #HL12 #HV12 #_ #I #L2 #V2 #H destruct /2 width=5/
 117 ]
 118 qed.
 119
 120 (* Basic_1: was: ldrop_gen_skip_r *)
 121 lemma ldrop_inv_skip2: ∀d,e,I,L1,K2,V2. ⇩[d, e] L1 ≡ K2. ⓑ{I} V2 → 0 < d →
 122                        ∃∃K1,V1. ⇩[d - 1, e] K1 ≡ K2 & ⇧[d - 1, e] V2 ≡ V1 &
 123                                 L1 = K1. ⓑ{I} V1.
 124 /2 width=3/ qed-.
 125
 126 (* Basic properties *********************************************************)
 127
 128 (* Basic_1: was by definition: ldrop_refl *)
 129 lemma ldrop_refl: ∀L. ⇩[0, 0] L ≡ L.
 130 #L elim L -L //
 131 qed.
 132
 133 lemma ldrop_ldrop_lt: ∀L1,L2,I,V,e.
 134                       ⇩[0, e - 1] L1 ≡ L2 → 0 < e → ⇩[0, e] L1. ⓑ{I} V ≡ L2.
 135 #L1 #L2 #I #V #e #HL12 #He >(plus_minus_m_m e 1) // /2 width=1/
 136 qed.
 137
 138 lemma ldrop_lsubs_ldrop1_abbr: ∀L1,L2,d,e. L1 [d, e] ≼ L2 →
 139                                ∀K1,V,i. ⇩[0, i] L1 ≡ K1. ⓓV →
 140                                d ≤ i → i < d + e →
 141                                ∃∃K2. K1 [0, d + e - i - 1] ≼ K2 &
 142                                      ⇩[0, i] L2 ≡ K2. ⓓV.
 143 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e
 144 [ #d #e #K1 #V #i #H
 145   lapply (ldrop_inv_atom1 … H) -H #H destruct
 146 | #L1 #L2 #K1 #V #i #_ #_ #H
 147   elim (lt_zero_false … H)
 148 | #L1 #L2 #V #e #HL12 #IHL12 #K1 #W #i #H #_ #Hie
 149   elim (ldrop_inv_O1 … H) -H * #Hi #HLK1
 150   [ -IHL12 -Hie destruct
 151     <minus_n_O <minus_plus_m_m // /2 width=3/
 152   | -HL12
 153     elim (IHL12 … HLK1 ? ?) -IHL12 -HLK1 // /2 width=1/ -Hie >minus_minus_comm >arith_b1 // /4 width=3/
 154   ]
 155 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #IHL12 #K1 #W #i #H #_ #Hie
 156   elim (ldrop_inv_O1 … H) -H * #Hi #HLK1
 157   [ -IHL12 -Hie -Hi destruct
 158   | elim (IHL12 … HLK1 ? ?) -IHL12 -HLK1 // /2 width=1/ -Hie >minus_minus_comm >arith_b1 // /3 width=3/
 159   ]
 160 | #L1 #L2 #I1 #I2 #V1 #V2 #d #e #_ #IHL12 #K1 #V #i #H #Hdi >plus_plus_comm_23 #Hide
 161   elim (le_inv_plus_l … Hdi) #Hdim #Hi
 162   lapply (ldrop_inv_ldrop1 … H ?) -H // #HLK1
 163   elim (IHL12 … HLK1 ? ?) -IHL12 -HLK1 // /2 width=1/ -Hdi -Hide >minus_minus_comm >arith_b1 // /3 width=3/
 164 ]
 165 qed.
 166
 167 (* Basic forvard lemmas *****************************************************)
 168
 169 (* Basic_1: was: ldrop_S *)
 170 lemma ldrop_fwd_ldrop2: ∀L1,I2,K2,V2,e. ⇩[O, e] L1 ≡ K2. ⓑ{I2} V2 →
 171                         ⇩[O, e + 1] L1 ≡ K2.
 172 #L1 elim L1 -L1
 173 [ #I2 #K2 #V2 #e #H lapply (ldrop_inv_atom1 … H) -H #H destruct
 174 | #K1 #I1 #V1 #IHL1 #I2 #K2 #V2 #e #H
 175   elim (ldrop_inv_O1 … H) -H * #He #H
 176   [ -IHL1 destruct /2 width=1/
 177   | @ldrop_ldrop >(plus_minus_m_m e 1) // /2 width=3/
 178   ]
 179 ]
 180 qed-.
 181
 182 lemma ldrop_fwd_lw: ∀L1,L2,d,e. ⇩[d, e] L1 ≡ L2 → #[L2] ≤ #[L1].
 183 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e // normalize
 184 [ /2 width=3/
 185 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #HV21 #IHL12
 186   >(tw_lift … HV21) -HV21 /2 width=1/
 187 ]
 188 qed-.
 189
 190 lemma ldrop_fwd_ldrop2_length: ∀L1,I2,K2,V2,e.
 191                                ⇩[0, e] L1 ≡ K2. ⓑ{I2} V2 → e < |L1|.
 192 #L1 elim L1 -L1
 193 [ #I2 #K2 #V2 #e #H lapply (ldrop_inv_atom1 … H) -H #H destruct
 194 | #K1 #I1 #V1 #IHL1 #I2 #K2 #V2 #e #H
 195   elim (ldrop_inv_O1 … H) -H * #He #H
 196   [ -IHL1 destruct //
 197   | lapply (IHL1 … H) -IHL1 -H #HeK1 whd in ⊢ (? ? %); /2 width=1/
 198   ]
 199 ]
 200 qed-.
 201
 202 lemma ldrop_fwd_O1_length: ∀L1,L2,e. ⇩[0, e] L1 ≡ L2 → |L2| = |L1| - e.
 203 #L1 elim L1 -L1
 204 [ #L2 #e #H >(ldrop_inv_atom1 … H) -H //
 205 | #K1 #I1 #V1 #IHL1 #L2 #e #H
 206   elim (ldrop_inv_O1 … H) -H * #He #H
 207   [ -IHL1 destruct //
 208   | lapply (IHL1 … H) -IHL1 -H #H >H -H normalize
 209     >minus_le_minus_minus_comm //
 210   ]
 211 ]
 212 qed-.
 213
 214 (* Basic_1: removed theorems 49:
 215             ldrop_skip_flat
 216             cimp_flat_sx cimp_flat_dx cimp_bind cimp_getl_conf
 217             ldrop_clear ldrop_clear_O ldrop_clear_S
 218             clear_gen_sort clear_gen_bind clear_gen_flat clear_gen_flat_r
 219             clear_gen_all clear_clear clear_mono clear_trans clear_ctail clear_cle
 220             getl_ctail_clen getl_gen_tail clear_getl_trans getl_clear_trans
 221             getl_clear_bind getl_clear_conf getl_dec getl_ldrop getl_ldrop_conf_lt
 222             getl_ldrop_conf_ge getl_conf_ge_ldrop getl_ldrop_conf_rev
 223             ldrop_getl_trans_lt ldrop_getl_trans_le ldrop_getl_trans_ge
 224             getl_ldrop_trans getl_flt getl_gen_all getl_gen_sort getl_gen_O
 225             getl_gen_S getl_gen_2 getl_gen_flat getl_gen_bind getl_conf_le
 226             getl_trans getl_refl getl_head getl_flat getl_ctail getl_mono
 227 *)