matita/matita/contribs/lambda_delta/Basic_2/substitution/lift_lift.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Basic_2/substitution/lift.ma".
  16
  17 (* RELOCATION ***************************************************************)
  18
  19 (* Main properies ***********************************************************)
  20
  21 (* Basic_1: was: lift_inj *)
  22 theorem lift_inj:  ∀d,e,T1,U. ↑[d,e] T1 ≡ U → ∀T2. ↑[d,e] T2 ≡ U → T1 = T2.
  23 #d #e #T1 #U #H elim H -d -e -T1 -U
  24 [ #k #d #e #X #HX
  25   lapply (lift_inv_sort2 … HX) -HX //
  26 | #i #d #e #Hid #X #HX
  27   lapply (lift_inv_lref2_lt … HX ?) -HX //
  28 | #i #d #e #Hdi #X #HX
  29   lapply (lift_inv_lref2_ge … HX ?) -HX // /2 width=1/
  30 | #p #d #e #X #HX
  31   lapply (lift_inv_gref2 … HX) -HX //
  32 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
  33   elim (lift_inv_bind2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #HX destruct /3 width=1/
  34 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
  35   elim (lift_inv_flat2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #HX destruct /3 width=1/
  36 ]
  37 qed-.
  38
  39 (* Basic_1: was: lift_gen_lift *)
  40 theorem lift_div_le: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
  41                      ∀d2,e2,T2. ↑[d2 + e1, e2] T2 ≡ T →
  42                      d1 ≤ d2 →
  43                      ∃∃T0. ↑[d1, e1] T0 ≡ T2 & ↑[d2, e2] T0 ≡ T1.
  44 #d1 #e1 #T1 #T #H elim H -d1 -e1 -T1 -T
  45 [ #k #d1 #e1 #d2 #e2 #T2 #Hk #Hd12
  46   lapply (lift_inv_sort2 … Hk) -Hk #Hk destruct /3 width=3/
  47 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #Hi #Hd12
  48   lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
  49   lapply (lift_inv_lref2_lt … Hi ?) -Hi /2 width=3/ /3 width=3/
  50 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #Hi #Hd12
  51   elim (lift_inv_lref2 … Hi) -Hi * #Hid2 #H destruct
  52   [ -Hd12 lapply (lt_plus_to_lt_l … Hid2) -Hid2 #Hid2 /3 width=3/
  53   | -Hid1 >plus_plus_comm_23 in Hid2; #H lapply (le_inv_plus_plus_r … H) -H #H
  54     elim (le_inv_plus_l … H) -H #Hide2 #He2i
  55     lapply (transitive_le … Hd12 Hide2) -Hd12 #Hd12
  56     >le_plus_minus_comm // >(plus_minus_m_m i e2) in ⊢ (? ? ? %); // -He2i
  57     /4 width=3/
  58   ]
  59 | #p #d1 #e1 #d2 #e2 #T2 #Hk #Hd12
  60   lapply (lift_inv_gref2 … Hk) -Hk #Hk destruct /3 width=3/
  61 | #I #W1 #W #U1 #U #d1 #e1 #_ #_ #IHW #IHU #d2 #e2 #T2 #H #Hd12
  62   lapply (lift_inv_bind2 … H) -H * #W2 #U2 #HW2 #HU2 #H destruct
  63   elim (IHW … HW2 ?) // -IHW -HW2 #W0 #HW2 #HW1
  64   >plus_plus_comm_23 in HU2; #HU2 elim (IHU … HU2 ?) /2 width=1/ /3 width=5/
  65 | #I #W1 #W #U1 #U #d1 #e1 #_ #_ #IHW #IHU #d2 #e2 #T2 #H #Hd12
  66   lapply (lift_inv_flat2 … H) -H * #W2 #U2 #HW2 #HU2 #H destruct
  67   elim (IHW … HW2 ?) // -IHW -HW2 #W0 #HW2 #HW1
  68   elim (IHU … HU2 ?) // /3 width=5/
  69 ]
  70 qed.
  71
  72 theorem lift_mono: ∀d,e,T,U1. ↑[d,e] T ≡ U1 → ∀U2. ↑[d,e] T ≡ U2 → U1 = U2.
  73 #d #e #T #U1 #H elim H -d -e -T -U1
  74 [ #k #d #e #X #HX
  75   lapply (lift_inv_sort1 … HX) -HX //
  76 | #i #d #e #Hid #X #HX
  77   lapply (lift_inv_lref1_lt … HX ?) -HX //
  78 | #i #d #e #Hdi #X #HX
  79   lapply (lift_inv_lref1_ge … HX ?) -HX //
  80 | #p #d #e #X #HX
  81   lapply (lift_inv_gref1 … HX) -HX //
  82 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
  83   elim (lift_inv_bind1 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #HX destruct /3 width=1/
  84 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
  85   elim (lift_inv_flat1 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #HX destruct /3 width=1/
  86 ]
  87 qed-.
  88
  89 (* Basic_1: was: lift_free (left to right) *)
  90 theorem lift_trans_be: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
  91                        ∀d2,e2,T2. ↑[d2, e2] T ≡ T2 →
  92                        d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + e1 → ↑[d1, e1 + e2] T1 ≡ T2.
  93 #d1 #e1 #T1 #T #H elim H -d1 -e1 -T1 -T
  94 [ #k #d1 #e1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #_ #_
  95   >(lift_inv_sort1 … HT2) -HT2 //
  96 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #Hd12 #_
  97   lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
  98   lapply (lift_inv_lref1_lt … HT2 Hid2) /2 width=1/
  99 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #_ #Hd21
 100   lapply (lift_inv_lref1_ge … HT2 ?) -HT2
 101   [ @(transitive_le … Hd21 ?) -Hd21 /2 width=1/
 102   | -Hd21 /2 width=1/
 103   ]
 104 | #p #d1 #e1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #_ #_
 105   >(lift_inv_gref1 … HT2) -HT2 //
 106 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd12 #Hd21
 107   elim (lift_inv_bind1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct
 108   lapply (IHV12 … HV20 ? ?) // -IHV12 -HV20 #HV10
 109   lapply (IHT12 … HT20 ? ?) /2 width=1/
 110 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd12 #Hd21
 111   elim (lift_inv_flat1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct
 112   lapply (IHV12 … HV20 ? ?) // -IHV12 -HV20 #HV10
 113   lapply (IHT12 … HT20 ? ?) // /2 width=1/
 114 ]
 115 qed.
 116
 117 (* Basic_1: was: lift_d (right to left) *)
 118 theorem lift_trans_le: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
 119                        ∀d2,e2,T2. ↑[d2, e2] T ≡ T2 → d2 ≤ d1 →
 120                        ∃∃T0. ↑[d2, e2] T1 ≡ T0 & ↑[d1 + e2, e1] T0 ≡ T2.
 121 #d1 #e1 #T1 #T #H elim H -d1 -e1 -T1 -T
 122 [ #k #d1 #e1 #d2 #e2 #X #HX #_
 123   >(lift_inv_sort1 … HX) -HX /2 width=3/
 124 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #X #HX #_
 125   lapply (lt_to_le_to_lt … (d1+e2) Hid1 ?) // #Hie2
 126   elim (lift_inv_lref1 … HX) -HX * #Hid2 #HX destruct /3 width=3/ /4 width=3/
 127 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #X #HX #Hd21
 128   lapply (transitive_le … Hd21 Hid1) -Hd21 #Hid2
 129   lapply (lift_inv_lref1_ge … HX ?) -HX /2 width=1/ #HX destruct
 130   >plus_plus_comm_23 /4 width=3/
 131 | #p #d1 #e1 #d2 #e2 #X #HX #_
 132   >(lift_inv_gref1 … HX) -HX /2 width=3/
 133 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd21
 134   elim (lift_inv_bind1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct
 135   elim (IHV12 … HV20 ?) -IHV12 -HV20 //
 136   elim (IHT12 … HT20 ?) -IHT12 -HT20 /2 width=1/ /3 width=5/
 137 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd21
 138   elim (lift_inv_flat1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct
 139   elim (IHV12 … HV20 ?) -IHV12 -HV20 //
 140   elim (IHT12 … HT20 ?) -IHT12 -HT20 // /3 width=5/
 141 ]
 142 qed.
 143
 144 (* Basic_1: was: lift_d (left to right) *)
 145 theorem lift_trans_ge: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
 146                        ∀d2,e2,T2. ↑[d2, e2] T ≡ T2 → d1 + e1 ≤ d2 →
 147                        ∃∃T0. ↑[d2 - e1, e2] T1 ≡ T0 & ↑[d1, e1] T0 ≡ T2.
 148 #d1 #e1 #T1 #T #H elim H -d1 -e1 -T1 -T
 149 [ #k #d1 #e1 #d2 #e2 #X #HX #_
 150   >(lift_inv_sort1 … HX) -HX /2 width=3/
 151 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #X #HX #Hded
 152   lapply (lt_to_le_to_lt … (d1+e1) Hid1 ?) // #Hid1e
 153   lapply (lt_to_le_to_lt … (d2-e1) Hid1 ?) /2 width=1/ #Hid2e
 154   lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1e Hded) -Hid1e -Hded #Hid2
 155   lapply (lift_inv_lref1_lt … HX ?) -HX // #HX destruct /3 width=3/
 156 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #X #HX #_
 157   elim (lift_inv_lref1 … HX) -HX * #Hied #HX destruct /4 width=3/
 158 | #p #d1 #e1 #d2 #e2 #X #HX #_
 159   >(lift_inv_gref1 … HX) -HX /2 width=3/
 160 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hded
 161   elim (lift_inv_bind1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct
 162   elim (IHV12 … HV20 ?) -IHV12 -HV20 //
 163   elim (IHT12 … HT20 ?) -IHT12 -HT20 /2 width=1/ #T
 164   <plus_minus /2 width=2/ /3 width=5/
 165 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hded
 166   elim (lift_inv_flat1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct
 167   elim (IHV12 … HV20 ?) -IHV12 -HV20 //
 168   elim (IHT12 … HT20 ?) -IHT12 -HT20 // /3 width=5/
 169 ]
 170 qed.