matita/matita/contribs/lambda_delta/Basic_2/substitution/tps_lift.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Basic_2/substitution/ldrop_ldrop.ma".
  16 include "Basic_2/substitution/tps.ma".
  17
  18 (* PARTIAL SUBSTITUTION ON TERMS ********************************************)
  19
  20 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  21
  22 fact tps_inv_refl_SO2_aux: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 [d, e] ≫ T2 → e = 1 →
  23                            ∀K,V. ↓[0, d] L ≡ K. 𝕓{Abst} V → T1 = T2.
  24 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -H L T1 T2 d e
  25 [ //
  26 | #L #K0 #V0 #W #i #d #e #Hdi #Hide #HLK0 #_ #H destruct -e;
  27   >(le_to_le_to_eq … Hdi ?) /2/ -d #K #V #HLK
  28   lapply (ldrop_mono … HLK0 … HLK) #H destruct
  29 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #H1 #K #V #HLK
  30   >(IHV12 H1 … HLK) -IHV12 >(IHT12 H1 K V) -IHT12 // /2/
  31 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #H1 #K #V #HLK
  32   >(IHV12 H1 … HLK) -IHV12 >(IHT12 H1 … HLK) -IHT12 //
  33 ]
  34 qed.
  35
  36 lemma tps_inv_refl_SO2: ∀L,T1,T2,d. L ⊢ T1 [d, 1] ≫ T2 →
  37                         ∀K,V. ↓[0, d] L ≡ K. 𝕓{Abst} V → T1 = T2.
  38 /2 width=8/ qed.
  39
  40 (* Relocation properties ****************************************************)
  41
  42 (* Basic_1: was: subst1_lift_lt *)
  43 lemma tps_lift_le: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ T1 [dt, et] ≫ T2 →
  44                    ∀L,U1,U2,d,e. ↓[d, e] L ≡ K →
  45                    ↑[d, e] T1 ≡ U1 → ↑[d, e] T2 ≡ U2 →
  46                    dt + et ≤ d →
  47                    L ⊢ U1 [dt, et] ≫ U2.
  48 #K #T1 #T2 #dt #et #H elim H -H K T1 T2 dt et
  49 [ #K #I #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_
  50   >(lift_mono … H1 … H2) -H1 H2 //
  51 | #K #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HKV #HVW #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H #HWU2 #Hdetd
  52   lapply (lt_to_le_to_lt … Hidet … Hdetd) -Hdetd #Hid
  53   lapply (lift_inv_lref1_lt … H … Hid) -H #H destruct -U1;
  54   elim (lift_trans_ge … HVW … HWU2 ?) -HVW HWU2 W // <minus_plus #W #HVW #HWU2
  55   elim (ldrop_trans_le … HLK … HKV ?) -HLK HKV K [2: /2/] #X #HLK #H
  56   elim (ldrop_inv_skip2 … H ?) -H [2: /2/] -Hid #K #Y #_ #HVY
  57   >(lift_mono … HVY … HVW) -HVY HVW Y #H destruct -X /2/
  58 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdetd
  59   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  60   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
  61   @tps_bind [ /2 width=6/ | @IHT12 [4,5: // |1,2: skip | /2/ | /2/ ] ] (**) (* /3 width=6/ is too slow, arith3 needed to avoid crash *)
  62 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdetd
  63   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  64   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
  65   /3 width=6/
  66 ]
  67 qed.
  68
  69 lemma tps_lift_be: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ T1 [dt, et] ≫ T2 →
  70                    ∀L,U1,U2,d,e. ↓[d, e] L ≡ K →
  71                    ↑[d, e] T1 ≡ U1 → ↑[d, e] T2 ≡ U2 →
  72                    dt ≤ d → d ≤ dt + et →
  73                    L ⊢ U1 [dt, et + e] ≫ U2.
  74 #K #T1 #T2 #dt #et #H elim H -H K T1 T2 dt et
  75 [ #K #I #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_ #_
  76   >(lift_mono … H1 … H2) -H1 H2 //
  77 | #K #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HKV #HVW #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H #HWU2 #Hdtd #_
  78   elim (lift_inv_lref1 … H) -H * #Hid #H destruct -U1;
  79   [ -Hdtd;
  80     lapply (lt_to_le_to_lt … (dt+et+e) Hidet ?) // -Hidet #Hidete
  81     elim (lift_trans_ge … HVW … HWU2 ?) -W // <minus_plus #W #HVW #HWU2
  82     elim (ldrop_trans_le … HLK … HKV ?) -K [2: /2/] #X #HLK #H
  83     elim (ldrop_inv_skip2 … H ?) -H [2: /2/] -Hid #K #Y #_ #HVY
  84     >(lift_mono … HVY … HVW) -V #H destruct -X /2/
  85   | -Hdti;
  86     lapply (transitive_le … Hdtd Hid) -Hdtd #Hdti
  87     lapply (lift_trans_be … HVW … HWU2 ? ?) -W // [ /2/ ] >plus_plus_comm_23 #HVU2
  88     lapply (ldrop_trans_ge_comm … HLK … HKV ?) -K // -Hid /3/
  89   ]
  90 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdtd #Hddet
  91   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  92   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
  93   @tps_bind [ /2 width=6/ | @IHT12 [3,4: // | skip |5,6: /2/ | /2/ ] ] (**) (* /3 width=6/ is too slow, arith3 needed to avoid crash *)
  94 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdetd
  95   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  96   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
  97   /3 width=6/
  98 ]
  99 qed.
 100
 101 (* Basic_1: was: subst1_lift_ge *)
 102 lemma tps_lift_ge: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ T1 [dt, et] ≫ T2 →
 103                    ∀L,U1,U2,d,e. ↓[d, e] L ≡ K →
 104                    ↑[d, e] T1 ≡ U1 → ↑[d, e] T2 ≡ U2 →
 105                    d ≤ dt →
 106                    L ⊢ U1 [dt + e, et] ≫ U2.
 107 #K #T1 #T2 #dt #et #H elim H -H K T1 T2 dt et
 108 [ #K #I #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_
 109   >(lift_mono … H1 … H2) -H1 H2 //
 110 | #K #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HKV #HVW #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H #HWU2 #Hddt
 111   lapply (transitive_le … Hddt … Hdti) -Hddt #Hid
 112   lapply (lift_inv_lref1_ge … H … Hid) -H #H destruct -U1;
 113   lapply (lift_trans_be … HVW … HWU2 ? ?) -HVW HWU2 W // [ /2/ ] >plus_plus_comm_23 #HVU2
 114   lapply (ldrop_trans_ge_comm … HLK … HKV ?) -HLK HKV K // -Hid /3/
 115 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hddt
 116   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
 117   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
 118   @tps_bind [ /2 width=5/ | /3 width=5/ ] (**) (* explicit constructor *)
 119 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hddt
 120   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
 121   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct -U1 U2;
 122   /3 width=5/
 123 ]
 124 qed.
 125
 126 (* Basic_1: was: subst1_gen_lift_lt *)
 127 lemma tps_inv_lift1_le: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 [dt, et] ≫ U2 →
 128                         ∀K,d,e. ↓[d, e] L ≡ K → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 →
 129                         dt + et ≤ d →
 130                         ∃∃T2. K ⊢ T1 [dt, et] ≫ T2 & ↑[d, e] T2 ≡ U2.
 131 #L #U1 #U2 #dt #et #H elim H -H L U1 U2 dt et
 132 [ #L * #i #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
 133   [ lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct -T1 /2/
 134   | elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct -T1 /3/
 135   | lapply (lift_inv_gref2 … H) -H #H destruct -T1 /2/
 136   ]
 137 | #L #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HLKV #HVW #K #d #e #HLK #T1 #H #Hdetd
 138   lapply (lt_to_le_to_lt … Hidet … Hdetd) -Hdetd #Hid
 139   lapply (lift_inv_lref2_lt … H … Hid) -H #H destruct -T1;
 140   elim (ldrop_conf_lt … HLK … HLKV ?) -HLK HLKV L // #L #U #HKL #_ #HUV
 141   elim (lift_trans_le … HUV … HVW ?) -HUV HVW V // >arith_a2 // -Hid /3/
 142 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 143   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
 144   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -IHV12 HWV1 // #W2 #HW12 #HWV2
 145   elim (IHU12 … HTU1 ?) -IHU12 HTU1 [3: /2/ |4: @ldrop_skip // |2: skip ] -HLK Hdetd (**) (* /3 width=5/ is too slow *)
 146   /3 width=5/
 147 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 148   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
 149   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -IHV12 HWV1 //
 150   elim (IHU12 … HLK … HTU1 ?) -IHU12 HLK HTU1 // /3 width=5/
 151 ]
 152 qed.
 153
 154 lemma tps_inv_lift1_be: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 [dt, et] ≫ U2 →
 155                         ∀K,d,e. ↓[d, e] L ≡ K → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 →
 156                         dt ≤ d → d + e ≤ dt + et →
 157                         ∃∃T2. K ⊢ T1 [dt, et - e] ≫ T2 & ↑[d, e] T2 ≡ U2.
 158 #L #U1 #U2 #dt #et #H elim H -H L U1 U2 dt et
 159 [ #L * #i #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
 160   [ lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct -T1 /2/
 161   | elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct -T1 /3/
 162   | lapply (lift_inv_gref2 … H) -H #H destruct -T1 /2/
 163   ]
 164 | #L #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HLKV #HVW #K #d #e #HLK #T1 #H #Hdtd #Hdedet
 165   lapply (le_fwd_plus_plus_ge … Hdtd … Hdedet) #Heet
 166   elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct -T1
 167   [ -Hdtd Hidet;
 168     lapply (lt_to_le_to_lt … (dt + (et - e)) Hid ?) [ <le_plus_minus /2/ ] -Hdedet #Hidete
 169     elim (ldrop_conf_lt … HLK … HLKV ?) -L // #L #U #HKL #_ #HUV
 170     elim (lift_trans_le … HUV … HVW ?) -V // >arith_a2 // -Hid /3/
 171   | -Hdti Hdedet;
 172     lapply (transitive_le … (i - e) Hdtd ?) [ /2/ ] -Hdtd #Hdtie
 173     lapply (plus_le_weak … Hid) #Hei
 174     lapply (ldrop_conf_ge … HLK … HLKV ?) -L // #HKV
 175     elim (lift_split … HVW d (i - e + 1) ? ? ?) -HVW; [4: // |2,3: /2/ ] -Hid >arith_e2 // /4/
 176   ]
 177 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdtd #Hdedet
 178   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
 179   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ? ?) -IHV12 HWV1 // #W2 #HW12 #HWV2
 180   elim (IHU12 … HTU1 ? ?) -IHU12 HTU1 [5: @ldrop_skip // |2: skip |3: >plus_plus_comm_23 >(plus_plus_comm_23 dt) /2/ ]
 181   /3 width=5/
 182 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdtd #Hdedet
 183   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
 184   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ? ?) -IHV12 HWV1 //
 185   elim (IHU12 … HLK … HTU1 ? ?) -IHU12 HLK HTU1 // /3 width=5/
 186 ]
 187 qed.
 188
 189 (* Basic_1: was: subst1_gen_lift_ge *)
 190 lemma tps_inv_lift1_ge: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 [dt, et] ≫ U2 →
 191                         ∀K,d,e. ↓[d, e] L ≡ K → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 →
 192                         d + e ≤ dt →
 193                         ∃∃T2. K ⊢ T1 [dt - e, et] ≫ T2 & ↑[d, e] T2 ≡ U2.
 194 #L #U1 #U2 #dt #et #H elim H -H L U1 U2 dt et
 195 [ #L * #i #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
 196   [ lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct -T1 /2/
 197   | elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct -T1 /3/
 198   | lapply (lift_inv_gref2 … H) -H #H destruct -T1 /2/
 199   ]
 200 | #L #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HLKV #HVW #K #d #e #HLK #T1 #H #Hdedt
 201   lapply (transitive_le … Hdedt … Hdti) #Hdei
 202   lapply (plus_le_weak … Hdedt) -Hdedt #Hedt
 203   lapply (plus_le_weak … Hdei) #Hei
 204   lapply (lift_inv_lref2_ge … H … Hdei) -H #H destruct -T1;
 205   lapply (ldrop_conf_ge … HLK … HLKV ?) -HLK HLKV L // #HKV
 206   elim (lift_split … HVW d (i - e + 1) ? ? ?) -HVW; [4: // | 2,3: normalize /2/ ] -Hdei >arith_e2 // #V0 #HV10 #HV02
 207   @ex2_1_intro
 208   [2: @tps_subst [3: /2/ |5,6: // |1,2: skip |4: @arith5 // ]
 209   |1: skip
 210   | //
 211   ] (**) (* explicitc constructors *)
 212 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 213   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
 214   lapply (plus_le_weak … Hdetd) #Hedt
 215   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -IHV12 HWV1 // #W2 #HW12 #HWV2
 216   elim (IHU12 … HTU1 ?) -IHU12 HTU1 [4: @ldrop_skip // |2: skip |3: /2/ ]
 217   <plus_minus // /3 width=5/
 218 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 219   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct -X;
 220   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -IHV12 HWV1 //
 221   elim (IHU12 … HLK … HTU1 ?) -IHU12 HLK HTU1 // /3 width=5/
 222 ]
 223 qed.
 224
 225 (* Basic_1: was: subst1_gen_lift_eq *)
 226 lemma tps_inv_lift1_eq: ∀L,U1,U2,d,e.
 227                         L ⊢ U1 [d, e] ≫ U2 → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 → U1 = U2.
 228 #L #U1 #U2 #d #e #H elim H -H L U1 U2 d e
 229 [ //
 230 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #_ #_ #T1 #H
 231   elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #H
 232   [ lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi … H) -Hdi H #H
 233     elim (lt_refl_false … H)
 234   | lapply (lt_to_le_to_lt … Hide … H) -Hide H #H
 235     elim (lt_refl_false … H)
 236   ]
 237 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
 238   elim (lift_inv_bind2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #H destruct -X
 239   >IHV12 // >IHT12 //
 240 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
 241   elim (lift_inv_flat2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #H destruct -X
 242   >IHV12 // >IHT12 //
 243 ]
 244 qed.
 245 (*
 246       Theorem subst0_gen_lift_rev_ge: (t1,v,u2:?; i,h,d:?)
 247                                       (subst0 i v t1 (lift h d u2)) ->
 248                                       (le (plus d h) i) ->
 249                                       (EX u1 | (subst0 (minus i h) v u1 u2) &
 250                                                t1 = (lift h d u1)
 251                                       ).
 252
 253
 254       Theorem subst0_gen_lift_rev_lelt: (t1,v,u2:?; i,h,d:?)
 255                                         (subst0 i v t1 (lift h d u2)) ->
 256                                         (le d i) -> (lt i (plus d h)) ->
 257                                         (EX u1 | t1 = (lift (minus (plus d h) (S i)) (S i) u1)).
 258 *)
 259
 260 lemma tps_inv_lift1_up: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 [dt, et] ≫ U2 →
 261                         ∀K,d,e. ↓[d, e] L ≡ K → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 →
 262                         d ≤ dt → dt ≤ d + e → d + e ≤ dt + et →
 263                         ∃∃T2. K ⊢ T1 [d, dt + et - (d + e)] ≫ T2 & ↑[d, e] T2 ≡ U2.
 264 #L #U1 #U2 #dt #et #HU12 #K #d #e #HLK #T1 #HTU1 #Hddt #Hdtde #Hdedet
 265 elim (tps_split_up … HU12 (d + e) ? ?) -HU12 // -Hdedet #U #HU1 #HU2
 266 lapply (tps_weak … HU1 d e ? ?) -HU1 // <plus_minus_m_m_comm // -Hddt Hdtde #HU1
 267 lapply (tps_inv_lift1_eq … HU1 … HTU1) -HU1 #HU1 destruct -U1;
 268 elim (tps_inv_lift1_ge … HU2 … HLK … HTU1 ?) -HU2 HLK HTU1 // <minus_plus_m_m /2/
 269 qed.
 270
 271 lemma tps_inv_lift1_be_up: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 [dt, et] ≫ U2 →
 272                            ∀K,d,e. ↓[d, e] L ≡ K → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 →
 273                            dt ≤ d → dt + et ≤ d + e →
 274                            ∃∃T2. K ⊢ T1 [dt, d - dt] ≫ T2 & ↑[d, e] T2 ≡ U2.
 275 #L #U1 #U2 #dt #et #HU12 #K #d #e #HLK #T1 #HTU1 #Hdtd #Hdetde
 276 lapply (tps_weak … HU12 dt (d + e - dt) ? ?) -HU12 // [ /2/ ] -Hdetde #HU12
 277 elim (tps_inv_lift1_be … HU12 … HLK … HTU1 ? ?) -U1 L /2/
 278 qed.