matita/matita/contribs/lambda_delta/Ground_2/arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "arithmetics/nat.ma".
  16 include "Ground_2/star.ma".
  17
  18 (* ARITHMETICAL PROPERTIES **************************************************)
  19
  20 axiom eq_nat_dec: ∀n1,n2:nat. Decidable (n1 = n2).
  21
  22 axiom lt_dec: ∀n1,n2. Decidable (n1 < n2).
  23
  24 lemma plus_S_eq_O_false: ∀n,m. n + S m = 0 → False.
  25 #n #m <plus_n_Sm #H destruct
  26 qed.
  27
  28 lemma plus_S_le_to_pos: ∀n,m,p. n + S m ≤ p → 0 < p.
  29 #n #m #p <plus_n_Sm #H @(lt_to_le_to_lt … H) //
  30 qed.
  31
  32 lemma minus_le: ∀m,n. m - n ≤ m.
  33 /2/ qed.
  34
  35 lemma le_O_to_eq_O: ∀n. n ≤ 0 → n = 0.
  36 /2/ qed.
  37
  38 lemma lt_to_le: ∀a,b. a < b → a ≤ b.
  39 /2/ qed.
  40
  41 lemma lt_refl_false: ∀n. n < n → False.
  42 #n #H elim (lt_to_not_eq … H) -H /2/
  43 qed.
  44
  45 lemma lt_zero_false: ∀n. n < 0 → False.
  46 #n #H elim (lt_to_not_le … H) -H /2/
  47 qed.
  48
  49 lemma lt_or_ge: ∀m,n. m < n ∨ n ≤ m.
  50 #m #n elim (decidable_lt m n) /3/
  51 qed.
  52
  53 lemma lt_or_eq_or_gt: ∀m,n. ∨∨ m < n | n = m | n < m.
  54 #m elim m -m
  55 [ * /2/
  56 | #m #IHm * [ /2/ ]
  57   #n elim (IHm n) -IHm #H
  58   [ @or3_intro0 | @or3_intro1 destruct | @or3_intro2 ] /2/ (**) (* /3/ is slow *)
  59   qed.
  60
  61 lemma le_to_lt_or_eq: ∀m,n. m ≤ n → m < n ∨ m = n.
  62 /2/ qed. (**) (* REMOVE: this is le_to_or_lt_eq *)
  63
  64 lemma plus_le_weak: ∀m,n,p. m + n ≤ p → n ≤ p.
  65 /2/ qed.
  66
  67 lemma plus_lt_false: ∀m,n. m + n < m → False.
  68 #m #n #H1 lapply (le_plus_n_r n m) #H2
  69 lapply (le_to_lt_to_lt … H2 H1) -H2 H1 #H
  70 elim (lt_refl_false … H)
  71 qed.
  72
  73 lemma le_fwd_plus_plus_ge: ∀m1,m2. m2 ≤ m1 → ∀n1,n2. m1 + n1 ≤ m2 + n2 → n1 ≤ n2.
  74 #m1 #m2 #H elim H -H m1
  75 [ /2/
  76 | #m1 #_ #IHm1 #n1 #n2 #H @IHm1 /2/
  77 ]
  78 qed.
  79
  80 lemma monotonic_lt_minus_l: ∀p,q,n. n ≤ q → q < p → q - n < p - n.
  81 #p #q #n #H1 #H2
  82 @lt_plus_to_minus_r <plus_minus_m_m //.
  83 qed.
  84
  85 lemma plus_le_minus: ∀a,b,c. a + b ≤ c → a ≤ c - b.
  86 /2/ qed.
  87
  88 lemma lt_plus_minus: ∀i,u,d. u ≤ i → i < d + u → i - u < d.
  89 /2/ qed.
  90
  91 lemma plus_plus_comm_23: ∀m,n,p. m + n + p = m + p + n.
  92 // qed.
  93
  94 lemma le_plus_minus_comm: ∀n,m,p. p ≤ m → m + n - p = m - p + n.
  95 #n #m #p #lepm @plus_to_minus <associative_plus
  96 >(commutative_plus p) <plus_minus_m_m //
  97 qed.
  98
  99 lemma minus_le_minus_minus_comm: ∀b,c,a. c ≤ b → a - (b - c) = a + c - b.
 100 #b elim b -b
 101 [ #c #a #H >(le_O_to_eq_O … H) -H //
 102 | #b #IHb #c elim c -c //
 103   #c #_ #a #Hcb
 104   lapply (le_S_S_to_le … Hcb) -Hcb #Hcb
 105   <plus_n_Sm normalize /2/
 106 ]
 107 qed.
 108
 109 lemma minus_plus_comm: ∀a,b,c. a - b - c = a - (c + b).
 110 // qed.
 111
 112 lemma minus_minus_comm: ∀a,b,c. a - b - c = a - c - b.
 113 /3/ qed.
 114
 115 lemma le_plus_minus: ∀a,b,c. c ≤ b → a + b - c = a + (b - c).
 116 /2/ qed.
 117
 118 lemma plus_minus_m_m_comm: ∀n,m. m ≤ n → n = m + (n - m).
 119 /2/ qed.
 120
 121 lemma minus_plus_m_m_comm: ∀n,m. n = (m + n) - m.
 122 /2/ qed.
 123
 124 lemma arith_a2: ∀a,c1,c2. c1 + c2 ≤ a → a - c1 - c2 + (c1 + c2) = a.
 125 /2/ qed.
 126
 127 lemma arith_b1: ∀a,b,c1. c1 ≤ b → a - c1 - (b - c1) = a - b.
 128 #a #b #c1 #H >minus_plus @eq_f2 /2/
 129 qed.
 130
 131 lemma arith_b2: ∀a,b,c1,c2. c1 + c2 ≤ b → a - c1 - c2 - (b - c1 - c2) = a - b.
 132 #a #b #c1 #c2 #H >minus_plus >minus_plus >minus_plus /2/
 133 qed.
 134
 135 lemma arith_c1: ∀a,b,c1. a + c1 - (b + c1) = a - b.
 136 // qed.
 137
 138 lemma arith_c1x: ∀x,a,b,c1. x + c1 + a - (b + c1) = x + a - b.
 139 #x #a #b #c1 >plus_plus_comm_23 //
 140 qed.
 141
 142 lemma arith_d1: ∀a,b,c1. c1 ≤ b → a + c1 + (b - c1) = a + b.
 143 /2/ qed.
 144
 145 lemma arith_e2: ∀a,c1,c2. a ≤ c1 → c1 + c2 - (c1 - a + c2) = a.
 146 /3/ qed.
 147
 148 lemma arith_f1: ∀a,b,c1. a + b ≤ c1 → c1 - (c1 - a - b) = a + b.
 149 #a #b #c1 #H >minus_plus <minus_minus //
 150 qed.
 151
 152 lemma arith_g1: ∀a,b,c1. c1 ≤ b → a - (b - c1) - c1 = a - b.
 153 /2/ qed.
 154
 155 lemma arith_h1: ∀a1,a2,b,c1. c1 ≤ a1 → c1 ≤ b →
 156                 a1 - c1 + a2 - (b - c1) = a1 + a2 - b.
 157 #a1 #a2 #b #c1 #H1 #H2 <le_plus_minus_comm /2/
 158 qed.
 159
 160 lemma arith_i2: ∀a,c1,c2. c1 + c2 ≤ a → c1 + c2 + (a - c1 - c2) = a.
 161 /2/ qed.
 162
 163 lemma arith_z1: ∀a,b,c1. a + c1 - b - c1 = a - b.
 164 // qed.
 165
 166 (* unstable *****************************************************************)
 167
 168 lemma arith1: ∀n,h,m,p. n + h + m ≤ p + h → n + m ≤ p.
 169 /2/ qed.
 170
 171 lemma arith2: ∀j,i,e,d. d + e ≤ i → d ≤ i - e + j.
 172 #j #i #e #d #H lapply (plus_le_minus … H) -H /2/
 173 qed.
 174
 175 lemma arith3: ∀a1,a2,b,c1. a1 + a2 ≤ b → a1 + c1 + a2 ≤ b + c1.
 176 /2/ qed.
 177
 178 lemma arith4: ∀h,d,e1,e2. d ≤ e1 + e2 → d + h ≤ e1 + h + e2.
 179 /2/ qed.
 180
 181 lemma arith5: ∀a,b1,b2,c1. c1 ≤ b1 → c1 ≤ a → a < b1 + b2 → a - c1 < b1 - c1 + b2.
 182 #a #b1 #b2 #c1 #H1 #H2 #H3
 183 <le_plus_minus_comm // @monotonic_lt_minus_l //
 184 qed.
 185
 186 lemma arith8: ∀a,b. a < a + b + 1.
 187 // qed.
 188
 189 lemma arith9: ∀a,b,c. c < a + (b + c + 1) + 1.
 190 // qed.
 191
 192 lemma arith10: ∀a,b,c,d,e. a ≤ b → c + (a - d - e) ≤ c + (b - d - e).
 193 #a #b #c #d #e #H
 194 >minus_plus >minus_plus @monotonic_le_plus_r @monotonic_le_minus_l //
 195 qed.