1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "basics/star.ma".
16 include "Ground_2/xoa_props.ma".
18 (* PROPERTIES OF RELATIONS **************************************************)
20 definition Decidable: Prop → Prop ≝ λR. R ∨ (R → False).
22 definition confluent2: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
23 ∀a0,a1. R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
24 ∃∃a. R2 a1 a & R1 a2 a.
26 definition transitive2: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
27 ∀a1,a0. R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
28 ∃∃a. R2 a1 a & R1 a a2.
30 lemma TC_strip1: ∀A,R1,R2. confluent2 A R1 R2 →
31 ∀a0,a1. TC … R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
32 ∃∃a. R2 a1 a & TC … R1 a2 a.
33 #A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -a1
35 elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
36 | #a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
37 elim (IHa0 … Ha02) -a0 #a0 #Ha0 #Ha20
38 elim (HR12 … Ha1 … Ha0) -HR12 -a /4 width=3/
42 lemma TC_strip2: ∀A,R1,R2. confluent2 A R1 R2 →
43 ∀a0,a2. TC … R2 a0 a2 → ∀a1. R1 a0 a1 →
44 ∃∃a. TC … R2 a1 a & R1 a2 a.
45 #A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -a2
47 elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
48 | #a #a2 #_ #Ha2 #IHa0 #a1 #Ha01
49 elim (IHa0 … Ha01) -a0 #a0 #Ha10 #Ha0
50 elim (HR12 … Ha0 … Ha2) -HR12 -a /4 width=3/
54 lemma TC_confluent2: ∀A,R1,R2.
55 confluent2 A R1 R2 → confluent2 A (TC … R1) (TC … R2).
56 #A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -a1
58 elim (TC_strip2 … HR12 … Ha02 … Ha01) -HR12 -a0 /3 width=3/
59 | #a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
60 elim (IHa0 … Ha02) -a0 #a0 #Ha0 #Ha20
61 elim (TC_strip2 … HR12 … Ha0 … Ha1) -HR12 -a /4 width=3/
65 lemma TC_strap1: ∀A,R1,R2. transitive2 A R1 R2 →
66 ∀a1,a0. TC … R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
67 ∃∃a. R2 a1 a & TC … R1 a a2.
68 #A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -a0
70 elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
71 | #a #a0 #_ #Ha0 #IHa #a2 #Ha02
72 elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 -a0 #a0 #Ha0 #Ha02
73 elim (IHa … Ha0) -a /4 width=3/
77 lemma TC_strap2: ∀A,R1,R2. transitive2 A R1 R2 →
78 ∀a0,a2. TC … R2 a0 a2 → ∀a1. R1 a1 a0 →
79 ∃∃a. TC … R2 a1 a & R1 a a2.
80 #A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -a2
82 elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
83 | #a #a2 #_ #Ha02 #IHa #a1 #Ha10
84 elim (IHa … Ha10) -a0 #a0 #Ha10 #Ha0
85 elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 -a /4 width=3/
89 lemma TC_transitive2: ∀A,R1,R2.
90 transitive2 A R1 R2 → transitive2 A (TC … R1) (TC … R2).
91 #A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -a0
93 elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha10) -HR12 -a0 /3 width=3/
94 | #a #a0 #_ #Ha0 #IHa #a2 #Ha02
95 elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha0) -HR12 -a0 #a0 #Ha0 #Ha02
96 elim (IHa … Ha0) -a /4 width=3/
100 definition NF: ∀A. relation A → relation A → predicate A ≝
101 λA,R,S,a1. ∀a2. R a1 a2 → S a1 a2.
103 inductive SN (A) (R,S:relation A): predicate A ≝
104 | SN_intro: ∀a1. (∀a2. R a1 a2 → (S a1 a2 → False) → SN A R S a2) → SN A R S a1
107 lemma NF_to_SN: ∀A,R,S,a. NF A R S a → SN A R S a.
109 @SN_intro #a2 #HRa12 #HSa12
110 elim (HSa12 ?) -HSa12 /2 width=1/