1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "basics/star.ma".
16 include "Ground_2/xoa_props.ma".
18 (* PROPERTIES of RELATIONS **************************************************)
20 definition confluent: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
21 ∀a0,a1. R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
22 ∃∃a. R2 a1 a & R1 a2 a.
24 definition transitive: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
25 ∀a1,a0. R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
26 ∃∃a. R2 a1 a & R1 a a2.
28 lemma TC_strip1: ∀A,R1,R2. confluent A R1 R2 →
29 ∀a0,a1. TC … R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
30 ∃∃a. R2 a1 a & TC … R1 a2 a.
31 #A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -H a1
33 elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 a0 /3/
34 | #a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
35 elim (IHa0 … Ha02) -IHa0 Ha02 a0 #a0 #Ha0 #Ha20
36 elim (HR12 … Ha1 … Ha0) -HR12 a /4/
40 lemma TC_strip2: ∀A,R1,R2. confluent A R1 R2 →
41 ∀a0,a2. TC … R2 a0 a2 → ∀a1. R1 a0 a1 →
42 ∃∃a. TC … R2 a1 a & R1 a2 a.
43 #A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -H a2
45 elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 a0 /3/
46 | #a #a2 #_ #Ha2 #IHa0 #a1 #Ha01
47 elim (IHa0 … Ha01) -IHa0 Ha01 a0 #a0 #Ha10 #Ha0
48 elim (HR12 … Ha0 … Ha2) -HR12 a /4/
52 lemma TC_confluent: ∀A,R1,R2.
53 confluent A R1 R2 → confluent A (TC … R1) (TC … R2).
54 #A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -H a1
56 elim (TC_strip2 … HR12 … Ha02 … Ha01) -HR12 a0 /3/
57 | #a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
58 elim (IHa0 … Ha02) -IHa0 Ha02 a0 #a0 #Ha0 #Ha20
59 elim (TC_strip2 … HR12 … Ha0 … Ha1) -HR12 a /4/
63 lemma TC_strap: ∀A. ∀R:relation A. ∀a1,a,a2.
64 R a1 a → TC … R a a2 → TC … R a1 a2.
67 lemma TC_strap1: ∀A,R1,R2. transitive A R1 R2 →
68 ∀a1,a0. TC … R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
69 ∃∃a. R2 a1 a & TC … R1 a a2.
70 #A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -H a0
72 elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 a0 /3/
73 | #a #a0 #_ #Ha0 #IHa #a2 #Ha02
74 elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 a0 #a0 #Ha0 #Ha02
75 elim (IHa … Ha0) -a /4/
79 lemma TC_strap2: ∀A,R1,R2. transitive A R1 R2 →
80 ∀a0,a2. TC … R2 a0 a2 → ∀a1. R1 a1 a0 →
81 ∃∃a. TC … R2 a1 a & R1 a a2.
82 #A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -H a2
84 elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 a0 /3/
85 | #a #a2 #_ #Ha02 #IHa #a1 #Ha10
86 elim (IHa … Ha10) -a0 #a0 #Ha10 #Ha0
87 elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 a /4/
91 lemma TC_transitive: ∀A,R1,R2.
92 transitive A R1 R2 → transitive A (TC … R1) (TC … R2).
93 #A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -a0
95 elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha10) -HR12 a0 /3/
96 | #a #a0 #_ #Ha0 #IHa #a2 #Ha02
97 elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha0) -HR12 a0 #a0 #Ha0 #Ha02
98 elim (IHa … Ha0) -a /4/
102 lemma TC_reflexive: ∀A,R. reflexive A R → reflexive A (TC … R).
105 lemma TC_star_ind: ∀A,R. reflexive A R → ∀a1. ∀P:A→Prop.
106 P a1 → (∀a,a2. TC … R a1 a → R a a2 → P a → P a2) →
107 ∀a2. TC … R a1 a2 → P a2.
108 #A #R #H #a1 #P #Ha1 #IHa1 #a2 #Ha12 elim Ha12 -Ha12 a2 /3/