]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambda_delta/basic_2/reducibility/tpr_tpr.ma
a50580b96236adde25bef869fc682cbed50a2e46
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambda_delta / basic_2 / reducibility / tpr_tpr.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "basic_2/reducibility/tpr_tpss.ma".
16
17 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
18
19 (* Confluence lemmas ********************************************************)
20
21 fact tpr_conf_atom_atom: ∀I. ∃∃X. ⓪{I} ➡ X & ⓪{I} ➡ X.
22 /2 width=3/ qed.
23
24 fact tpr_conf_flat_flat:
25    ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
26       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + #{T0} + 1 →
27       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
28       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
29    ) →
30    V0 ➡ V1 → V0 ➡ V2 → T0 ➡ T1 → T0 ➡ T2 →
31    ∃∃T0. ⓕ{I} V1. T1 ➡ T0 & ⓕ{I} V2. T2 ➡ T0.
32 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
33 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 // #V #HV1 #HV2
34 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // /3 width=5/
35 qed.
36
37 fact tpr_conf_flat_beta:
38    ∀a,V0,V1,T1,V2,W0,U0,T2. (
39       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + (#{W0} + #{U0} + 1) + 1 →
40       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
41       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
42    ) →
43    V0 ➡ V1 → V0 ➡ V2 →
44    U0 ➡ T2 → ⓛ{a}W0. U0 ➡ T1 →
45    ∃∃X. ⓐV1. T1 ➡ X & ⓓ{a}V2. T2 ➡ X.
46 #a #V0 #V1 #T1 #V2 #W0 #U0 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT02 #H
47 elim (tpr_inv_abst1 … H) -H #W1 #U1 #HW01 #HU01 #H destruct
48 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 /2 width=1/ #V #HV1 #HV2
49 elim (IH … HT02 … HU01) -HT02 -HU01 -IH /2 width=1/ /3 width=5/
50 qed.
51
52 (* Basic-1: was:
53             pr0_cong_upsilon_refl pr0_cong_upsilon_zeta
54             pr0_cong_upsilon_cong pr0_cong_upsilon_delta
55 *)
56 fact tpr_conf_flat_theta:
57    ∀a,V0,V1,T1,V2,V,W0,W2,U0,U2. (
58       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + (#{W0} + #{U0} + 1) + 1 →
59       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
60       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
61    ) →
62    V0 ➡ V1 → V0 ➡ V2 → ⇧[O,1] V2 ≡ V →
63    W0 ➡ W2 → U0 ➡ U2 →  ⓓ{a}W0. U0 ➡ T1 →
64    ∃∃X. ⓐV1. T1 ➡ X & ⓓ{a}W2. ⓐV. U2 ➡ X.
65 #a #V0 #V1 #T1 #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #IH #HV01 #HV02 #HV2 #HW02 #HU02 #H
66 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 /2 width=1/ #VV #HVV1 #HVV2
67 elim (lift_total VV 0 1) #VVV #HVV
68 lapply (tpr_lift … HVV2 … HV2 … HVV) #HVVV
69 elim (tpr_inv_abbr1 … H) -H *
70 (* case 1: delta *)
71 [ -HV2 -HVV2 #WW2 #UU2 #UU #HWW2 #HUU02 #HUU2 #H destruct
72   elim (IH … HW02 … HWW2) -HW02 -HWW2 /2 width=1/ #W #HW02 #HWW2
73   elim (IH … HU02 … HUU02) -HU02 -HUU02 -IH /2 width=1/ #U #HU2 #HUUU2
74   elim (tpr_tps_bind … HWW2 HUUU2 … HUU2) -UU2 #UUU #HUUU2 #HUUU1
75   @ex2_1_intro
76   [2: @tpr_theta [6: @HVV |7: @HWW2 |8: @HUUU2 |1,2,3,4: skip | // ]
77   |1:skip
78   |3: @tpr_delta [3: @tpr_flat |1: skip ] /2 width=5/
79   ] (**) (* /5 width=14/ is too slow *)
80 (* case 3: zeta *)
81 | -HV2 -HW02 -HVV2 #U1 #HU01 #HTU1
82   elim (IH … HU01 … HU02) -HU01 -HU02 -IH // -U0 #U #HU1 #HU2
83   elim (tpr_inv_lift1 … HU1 … HTU1) -U1 #UU #HUU #HT1UU #H destruct
84   @(ex2_1_intro … (ⓐVV.UU)) /2 width=1/ /3 width=5/ (**) (* /4 width=9/ is too slow *)
85 ]
86 qed.
87
88 fact tpr_conf_flat_cast:
89    ∀X2,V0,V1,T0,T1. (
90       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + #{T0} + 1 →
91       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
92       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
93    ) →
94    V0 ➡ V1 → T0 ➡ T1 → T0 ➡ X2 →
95    ∃∃X. ⓝV1. T1 ➡ X & X2 ➡ X.
96 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #IH #_ #HT01 #HT02
97 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // /3 width=3/
98 qed.
99
100 fact tpr_conf_beta_beta:
101    ∀a. ∀W0:term. ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
102       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + (#{W0} + #{T0} + 1) + 1 →
103       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
104       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
105    ) →
106    V0 ➡ V1 → V0 ➡ V2 → T0 ➡ T1 → T0 ➡ T2 →
107    ∃∃X. ⓓ{a}V1. T1 ➡X & ⓓ{a}V2. T2 ➡ X.
108 #a #W0 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
109 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 /2 width=1/
110 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH /2 width=1/ /3 width=5/
111 qed.
112
113 (* Basic_1: was: pr0_cong_delta pr0_delta_delta *)
114 fact tpr_conf_delta_delta:
115    ∀a,I1,V0,V1,T0,T1,TT1,V2,T2,TT2. (
116       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + #{T0} + 1 →
117       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
118       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
119    ) →
120    V0 ➡ V1 → V0 ➡ V2 → T0 ➡ T1 → T0 ➡ T2 →
121    ⋆. ⓑ{I1} V1 ⊢ T1 ▶ [O, 1] TT1 →
122    ⋆. ⓑ{I1} V2 ⊢ T2 ▶ [O, 1] TT2 →
123    ∃∃X. ⓑ{a,I1} V1. TT1 ➡ X & ⓑ{a,I1} V2. TT2 ➡ X.
124 #a #I1 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #V2 #T2 #TT2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HTT1 #HTT2
125 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 // #V #HV1 #HV2
126 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // #T #HT1 #HT2
127 elim (tpr_tps_bind … HV1 HT1 … HTT1) -T1 #U1 #TTU1 #HTU1
128 elim (tpr_tps_bind … HV2 HT2 … HTT2) -T2 #U2 #TTU2 #HTU2
129 elim (tps_conf_eq … HTU1 … HTU2) -T #U #HU1 #HU2
130 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_delta |1: skip ] /width=10/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
131 qed.
132
133 fact tpr_conf_delta_zeta:
134    ∀X2,V0,V1,T0,T1,TT1,T2. (
135       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + #{T0} + 1 →
136       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
137       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
138    ) →
139    V0 ➡ V1 → T0 ➡ T1 → ⋆. ⓓV1 ⊢ T1 ▶ [O,1] TT1 →
140    T0 ➡ T2 → ⇧[O, 1] X2 ≡ T2 →
141    ∃∃X. +ⓓV1. TT1 ➡ X & X2 ➡ X.
142 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #T2 #IH #_ #HT01 #HTT1 #HT02 #HXT2
143 elim (IH … HT01 … HT02) -IH -HT01 -HT02 // -V0 -T0 #T #HT1 #HT2
144 elim (tpr_tps_bind ? ? V1 … HT1 HTT1) -T1 // #TT #HTT1 #HTT
145 elim (tpr_inv_lift1 … HT2 … HXT2) -T2 #X #HXT #HX2
146 lapply (tps_inv_lift1_eq … HTT … HXT) -HTT #H destruct /3 width=3/
147 qed.
148
149 (* Basic_1: was: pr0_upsilon_upsilon *)
150 fact tpr_conf_theta_theta:
151    ∀a,VV1,V0,V1,W0,W1,T0,T1,V2,VV2,W2,T2. (
152       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + (#{W0} + #{T0} + 1) + 1 →
153       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
154       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
155    ) →
156    V0 ➡ V1 → V0 ➡ V2 → W0 ➡ W1 → W0 ➡ W2 → T0 ➡ T1 → T0 ➡ T2 →
157    ⇧[O, 1] V1 ≡ VV1 → ⇧[O, 1] V2 ≡ VV2 →
158    ∃∃X. ⓓ{a}W1. ⓐVV1. T1 ➡ X & ⓓ{a}W2. ⓐVV2. T2 ➡ X.
159 #a #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #V2 #VV2 #W2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HW01 #HW02 #HT01 #HT02 #HVV1 #HVV2
160 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 -HV02 /2 width=1/ #V #HV1 #HV2
161 elim (IH … HW01 … HW02) -HW01 -HW02 /2 width=1/ #W #HW1 #HW2
162 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH /2 width=1/ #T #HT1 #HT2
163 elim (lift_total V 0 1) #VV #HVV
164 lapply (tpr_lift … HV1 … HVV1 … HVV) -V1 #HVV1
165 lapply (tpr_lift … HV2 … HVV2 … HVV) -V2 -HVV #HVV2
166 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_bind |1:skip ] /2 width=5/ (**) (* /4 width=5/ is too slow *)
167 qed.
168
169 fact tpr_conf_zeta_zeta:
170    ∀V0:term. ∀X2,TT0,T0,T1,TT2. (
171       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + #{TT0} + 1 →
172       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
173       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
174    ) →
175    TT0 ➡ T0 → ⇧[O, 1] T1 ≡ T0 →
176    TT0 ➡ TT2 → ⇧[O, 1] X2 ≡ TT2 →
177    ∃∃X. T1 ➡ X & X2 ➡ X.
178 #V0 #X2 #TT0 #T0 #T1 #TT2 #IH #HTT0 #HT10 #HTT02 #HXTT2
179 elim (IH … HTT0 … HTT02) -IH -HTT0 -HTT02 // -V0 -TT0 #T #HT0 #HTT2
180 elim (tpr_inv_lift1 … HT0 … HT10) -T0 #T0 #HT0 #HT10
181 elim (tpr_inv_lift1 … HTT2 … HXTT2) -TT2 #TT2 #HTT2 #HXTT2
182 lapply (lift_inj … HTT2 … HT0) -HTT2 #H destruct /2 width=3/
183 qed.
184
185 fact tpr_conf_tau_tau:
186    ∀V0,T0:term. ∀X2,T1. (
187       ∀X0:term. #{X0} < #{V0} + #{T0} + 1 →
188       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
189       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
190    ) →
191    T0 ➡ T1 → T0 ➡ X2 →
192    ∃∃X. T1 ➡ X & X2 ➡ X.
193 #V0 #T0 #X2 #T1 #IH #HT01 #HT02
194 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 -HT02 -IH // /2 width=3/
195 qed.
196
197 (* Confluence ***************************************************************)
198
199 fact tpr_conf_aux:
200    ∀Y0:term. (
201       ∀X0:term. #{X0} < #{Y0} →
202       ∀X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 →
203       ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X
204          ) →
205    ∀X0,X1,X2. X0 ➡ X1 → X0 ➡ X2 → X0 = Y0 →
206    ∃∃X. X1 ➡ X & X2 ➡ X.
207 #Y0 #IH #X0 #X1 #X2 * -X0 -X1
208 [ #I1 #H1 #H2 destruct
209   lapply (tpr_inv_atom1 … H1) -H1
210 (* case 1: atom, atom *)
211   #H1 destruct //
212 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct
213   elim (tpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
214 (* case 2: flat, flat *)
215   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
216     /3 width=7 by tpr_conf_flat_flat/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
217 (* case 3: flat, beta *)
218   | #b #V2 #W #U0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 #H3 destruct
219     /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
220 (* case 4: flat, theta *)
221   | #b #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #HV02 #HW02 #HT02 #HV2 #H1 #H2 #H3 destruct
222     /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
223 (* case 5: flat, tau *)
224   | #HT02 #H destruct
225     /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/ (**) (* /3 width=6/ is too slow *)
226   ]
227 | #a #V0 #V1 #W0 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct
228   elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
229 (* case 6: beta, flat (repeated) *)
230   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
231     @ex2_1_comm /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/
232 (* case 7: beta, beta *)
233   | #b #V2 #WW0 #TT0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 destruct
234     /3 width=8 by tpr_conf_beta_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
235 (* case 8, beta, theta (excluded) *)
236   | #b #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
237   ]
238 | #a #I1 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #HV01 #HT01 #HTT1 #H1 #H2 destruct
239   elim (tpr_inv_bind1 … H1) -H1 *
240 (* case 9: delta, delta *)
241   [ #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct
242     /3 width=11 by tpr_conf_delta_delta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
243 (* case 10: delta, zeta *)
244   | #T2 #HT20 #HTX2 #H1 #H2 destruct
245     /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
246   ]
247 | #a #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #HV01 #HVV1 #HW01 #HT01 #H1 #H2 destruct
248   elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
249 (* case 11: theta, flat (repeated) *)
250   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
251     @ex2_1_comm /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/
252 (* case 12: theta, beta (repeated) *)
253   | #b #V2 #WW0 #TT0 #T2 #_ #_ #H destruct
254 (* case 13: theta, theta *)
255   | #b #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #V02 #HW02 #HT02 #HVV2 #H1 #H2 destruct
256     /3 width=14 by tpr_conf_theta_theta/ (**) (* /3 width=14/ is too slow *)
257   ]
258 | #V0 #TT0 #T0 #T1 #HTT0 #HT01 #H1 #H2 destruct
259   elim (tpr_inv_abbr1 … H1) -H1 *
260 (* case 14: zeta, delta (repeated) *)
261   [ #V2 #TT2 #T2 #HV02 #HTT02 #HTT2 #H destruct
262     @ex2_1_comm /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/
263 (* case 15: zeta, zeta *)
264   | #TT2 #HTT02 #HXTT2
265     /3 width=9 by tpr_conf_zeta_zeta/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
266   ]
267 | #V0 #T0 #T1 #HT01 #H1 #H2 destruct
268   elim (tpr_inv_cast1 … H1) -H1
269 (* case 16: tau, flat (repeated) *)
270   [ * #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
271     @ex2_1_comm /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/
272 (* case 17: tau, tau *)
273   | #HT02
274     /3 width=5 by tpr_conf_tau_tau/
275   ]
276 ]
277 qed.
278
279 (* Basic_1: was: pr0_confluence *)
280 theorem tpr_conf: ∀T0:term. ∀T1,T2. T0 ➡ T1 → T0 ➡ T2 →
281                   ∃∃T. T1 ➡ T & T2 ➡ T.
282 #T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=6 by tpr_conf_aux/
283 qed.