]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambda_delta/basic_2/static/sd.ma
04adbae952251d6459c011ede6aa60c157f350a6
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambda_delta / basic_2 / static / sd.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "basic_2/static/sh.ma".
16
17 (* SORT DEGREE **************************************************************)
18
19 (* sort degree specification *)
20 record sd (h:sh): Type[0] ≝ {
21    deg      : relation nat;                                 (* degree of the sort *)
22    deg_total: ∀k. ∃l. deg k l;                              (* functional relation axioms *)
23    deg_mono : ∀k,l1,l2. deg k l1 → deg k l2 → l1 = l2;
24    deg_next : ∀k,l. deg k l → deg (next h k) (l - 1);       (* compatibility condition *)
25    deg_prev : ∀k,l. deg (next h k) (l + 1) → deg k (l + 2)
26 }.
27
28 (* Notable specifications ***************************************************)
29
30 definition deg_O: relation nat ≝ λk,l. l = 0.
31
32 definition sd_O: ∀h. sd h ≝ λh. mk_sd h deg_O ….
33 // /2 width=1/ /2 width=2/ qed.
34
35 inductive deg_SO (h:sh) (k:nat) (k0:nat): predicate nat ≝
36 | deg_SO_pos : ∀l0. (next h)^l0 k0 = k → deg_SO h k k0 (l0 + 1)
37 | deg_SO_zero: ((∃l0. (next h)^l0 k0 = k) → ⊥) → deg_SO h k k0 0
38 .
39
40 fact deg_SO_inv_pos_aux: ∀h,k,k0,l0. deg_SO h k k0 l0 → ∀l. l0 = l + 1 →
41                          (next h)^l k0 = k.
42 #h #k #k0 #l0 * -l0
43 [ #l0 #Hl0 #l #H
44   lapply (injective_plus_l … H) -H #H destruct //
45 | #_ #l0 <plus_n_Sm #H destruct
46 ]
47 qed.
48
49 lemma deg_SO_inv_pos: ∀h,k,k0,l0. deg_SO h k k0 (l0 + 1) → (next h)^l0 k0 = k.
50 /2 width=3/ qed-.
51
52 lemma deg_SO_refl: ∀h,k. deg_SO h k k 1.
53 #h #k @(deg_SO_pos … 0 ?) //
54 qed.
55
56 lemma deg_SO_gt: ∀h,k1,k2. k1 < k2 → deg_SO h k1 k2 0.
57 #h #k1 #k2 #HK12 @deg_SO_zero * #l elim l -l normalize
58 [ #H destruct
59   elim (lt_refl_false … HK12)
60 | #l #_ #H
61   lapply (next_lt h ((next h)^l k2)) >H -H #H
62   lapply (transitive_lt … H HK12) -k1 #H1
63   lapply (nexts_le h k2 l) #H2
64   lapply (le_to_lt_to_lt … H2 H1) -h -l #H
65   elim (lt_refl_false … H)
66 qed.
67
68 definition sd_SO: ∀h. nat → sd h ≝ λh,k. mk_sd h (deg_SO h k) ….
69 [ #k0
70   lapply (nexts_dec h k0 k) * [ * /3 width=2/ | /4 width=2/ ]
71 | #K0 #l1 #l2 * [ #l01 ] #H1 * [1,3: #l02 ] #H2 //
72   [ < H2 in H1; -H2 #H
73     lapply (nexts_inj … H) -H #H destruct //
74   | elim (H1 ?) /2 width=2/
75   | elim (H2 ?) /2 width=2/
76   ]
77 | #k0 #l0 *
78   [ #l #H destruct elim l -l normalize /2 width=1/
79   | #H1 @deg_SO_zero * #l #H2 destruct
80     @H1 -H1 @(ex_intro … (S l)) /2 width=1/ (**) (* explicit constructor *)
81   ]
82 | #K0 #l0 #H
83   <(deg_SO_inv_pos … H) -H >plus_n_2
84   @deg_SO_pos >iter_SO /2 width=1/ (**) (* explicit constructor: iter_SO is needed *)
85 ]
86 qed.
87
88 let rec sd_l (h:sh) (k:nat) (l:nat) on l : sd h ≝
89    match l with 
90    [ O   ⇒ sd_O h
91    | S l ⇒ match l with
92            [ O ⇒ sd_SO h k
93            | _ ⇒ sd_l h (next h k) l
94            ]
95    ].
96
97 (* Basic properties *********************************************************)
98
99 lemma sd_l_SS: ∀h,k,l. sd_l h k (l + 2) = sd_l h (next h k) (l + 1).
100 #h #k #l <plus_n_Sm <plus_n_Sm //
101 qed.
102
103 lemma sd_l_correct: ∀h,l,k. deg h (sd_l h k l) k l.
104 #h #l @(nat_ind_plus … l) -l // #l @(nat_ind_plus … l) -l // /3 width=1/
105 qed.