]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambda_delta/basic_2/substitution/tps.ma
- a caracterization of the top elements of the local evironment
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambda_delta / basic_2 / substitution / tps.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "basic_2/grammar/cl_weight.ma".
16 include "basic_2/substitution/ldrop.ma".
17
18 (* PARALLEL SUBSTITUTION ON TERMS *******************************************)
19
20 inductive tps: nat → nat → lenv → relation term ≝
21 | tps_atom : ∀L,I,d,e. tps d e L (⓪{I}) (⓪{I})
22 | tps_subst: ∀L,K,V,W,i,d,e. d ≤ i → i < d + e →
23              ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV → ⇧[0, i + 1] V ≡ W → tps d e L (#i) W
24 | tps_bind : ∀L,I,V1,V2,T1,T2,d,e.
25              tps d e L V1 V2 → tps (d + 1) e (L. ⓑ{I} V2) T1 T2 →
26              tps d e L (ⓑ{I} V1. T1) (ⓑ{I} V2. T2)
27 | tps_flat : ∀L,I,V1,V2,T1,T2,d,e.
28              tps d e L V1 V2 → tps d e L T1 T2 →
29              tps d e L (ⓕ{I} V1. T1) (ⓕ{I} V2. T2)
30 .
31
32 interpretation "parallel substritution (term)"
33    'PSubst L T1 d e T2 = (tps d e L T1 T2).
34
35 (* Basic properties *********************************************************)
36
37 lemma tps_lsubs_conf: ∀L1,T1,T2,d,e. L1 ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 →
38                       ∀L2. L1 ≼ [d, e] L2 → L2 ⊢ T1 ▶ [d, e] T2.
39 #L1 #T1 #T2 #d #e #H elim H -L1 -T1 -T2 -d -e
40 [ //
41 | #L1 #K1 #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HLK1 #HVW #L2 #HL12
42   elim (ldrop_lsubs_ldrop1_abbr … HL12 … HLK1 ? ?) -HL12 -HLK1 // /2 width=4/
43 | /4 width=1/
44 | /3 width=1/
45 ]
46 qed.
47
48 lemma tps_refl: ∀T,L,d,e. L ⊢ T ▶ [d, e] T.
49 #T elim T -T //
50 #I elim I -I /2 width=1/
51 qed.
52
53 (* Basic_1: was: subst1_ex *)
54 lemma tps_full: ∀K,V,T1,L,d. ⇩[0, d] L ≡ (K. ⓓV) →
55                 ∃∃T2,T. L ⊢ T1 ▶ [d, 1] T2 & ⇧[d, 1] T ≡ T2.
56 #K #V #T1 elim T1 -T1
57 [ * #i #L #d #HLK /2 width=4/
58   elim (lt_or_eq_or_gt i d) #Hid /3 width=4/
59   destruct
60   elim (lift_total V 0 (i+1)) #W #HVW
61   elim (lift_split … HVW i i ? ? ?) // /3 width=4/
62 | * #I #W1 #U1 #IHW1 #IHU1 #L #d #HLK
63   elim (IHW1 … HLK) -IHW1 #W2 #W #HW12 #HW2
64   [ elim (IHU1 (L. ⓑ{I} W2) (d+1) ?) -IHU1 /2 width=1/ -HLK /3 width=8/
65   | elim (IHU1 … HLK) -IHU1 -HLK /3 width=8/
66   ]
67 ]
68 qed.
69
70 lemma tps_weak: ∀L,T1,T2,d1,e1. L ⊢ T1 ▶ [d1, e1] T2 →
71                 ∀d2,e2. d2 ≤ d1 → d1 + e1 ≤ d2 + e2 →
72                 L ⊢ T1 ▶ [d2, e2] T2.
73 #L #T1 #T2 #d1 #e1 #H elim H -L -T1 -T2 -d1 -e1
74 [ //
75 | #L #K #V #W #i #d1 #e1 #Hid1 #Hide1 #HLK #HVW #d2 #e2 #Hd12 #Hde12
76   lapply (transitive_le … Hd12 … Hid1) -Hd12 -Hid1 #Hid2
77   lapply (lt_to_le_to_lt … Hide1 … Hde12) -Hide1 /2 width=4/
78 | /4 width=3/
79 | /4 width=1/
80 ]
81 qed.
82
83 lemma tps_weak_top: ∀L,T1,T2,d,e.
84                     L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → L ⊢ T1 ▶ [d, |L| - d] T2.
85 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e
86 [ //
87 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #_ #HLK #HVW
88   lapply (ldrop_fwd_ldrop2_length … HLK) #Hi
89   lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi Hi) /3 width=4/
90 | normalize /2 width=1/
91 | /2 width=1/
92 ]
93 qed.
94
95 lemma tps_weak_all: ∀L,T1,T2,d,e.
96                     L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → L ⊢ T1 ▶ [0, |L|] T2.
97 #L #T1 #T2 #d #e #HT12
98 lapply (tps_weak … HT12 0 (d + e) ? ?) -HT12 // #HT12
99 lapply (tps_weak_top … HT12) //
100 qed.
101
102 lemma tps_split_up: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → ∀i. d ≤ i → i ≤ d + e →
103                     ∃∃T. L ⊢ T1 ▶ [d, i - d] T & L ⊢ T ▶ [i, d + e - i] T2.
104 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e
105 [ /2 width=3/
106 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HLK #HVW #j #Hdj #Hjde
107   elim (lt_or_ge i j)
108   [ -Hide -Hjde
109     >(plus_minus_m_m j d) in ⊢ (% → ?); // -Hdj /3 width=4/
110   | -Hdi -Hdj #Hid
111     generalize in match Hide; -Hide (**) (* rewriting in the premises, rewrites in the goal too *)
112     >(plus_minus_m_m … Hjde) in ⊢ (% → ?); -Hjde /4 width=4/
113   ]
114 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
115   elim (IHV12 i ? ?) -IHV12 // #V #HV1 #HV2
116   elim (IHT12 (i + 1) ? ?) -IHT12 /2 width=1/
117   -Hdi -Hide >arith_c1x #T #HT1 #HT2
118   lapply (tps_lsubs_conf … HT1 (L. ⓑ{I} V) ?) -HT1 /3 width=5/
119 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
120   elim (IHV12 i ? ?) -IHV12 // elim (IHT12 i ? ?) -IHT12 //
121   -Hdi -Hide /3 width=5/
122 ]
123 qed.
124
125 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
126
127 fact tps_inv_atom1_aux: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → ∀I. T1 = ⓪{I} →
128                         T2 = ⓪{I} ∨
129                         ∃∃K,V,i. d ≤ i & i < d + e &
130                                  ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
131                                  ⇧[O, i + 1] V ≡ T2 &
132                                  I = LRef i.
133 #L #T1 #T2 #d #e * -L -T1 -T2 -d -e
134 [ #L #I #d #e #J #H destruct /2 width=1/
135 | #L #K #V #T2 #i #d #e #Hdi #Hide #HLK #HVT2 #I #H destruct /3 width=8/
136 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #J #H destruct
137 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #J #H destruct
138 ]
139 qed.
140
141 lemma tps_inv_atom1: ∀L,T2,I,d,e. L ⊢ ⓪{I} ▶ [d, e] T2 →
142                      T2 = ⓪{I} ∨
143                      ∃∃K,V,i. d ≤ i & i < d + e &
144                               ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
145                               ⇧[O, i + 1] V ≡ T2 &
146                               I = LRef i.
147 /2 width=3/ qed-.
148
149
150 (* Basic_1: was: subst1_gen_sort *)
151 lemma tps_inv_sort1: ∀L,T2,k,d,e. L ⊢ ⋆k ▶ [d, e] T2 → T2 = ⋆k.
152 #L #T2 #k #d #e #H
153 elim (tps_inv_atom1 … H) -H //
154 * #K #V #i #_ #_ #_ #_ #H destruct
155 qed-.
156
157 (* Basic_1: was: subst1_gen_lref *)
158 lemma tps_inv_lref1: ∀L,T2,i,d,e. L ⊢ #i ▶ [d, e] T2 →
159                      T2 = #i ∨
160                      ∃∃K,V. d ≤ i & i < d + e &
161                             ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
162                             ⇧[O, i + 1] V ≡ T2.
163 #L #T2 #i #d #e #H
164 elim (tps_inv_atom1 … H) -H /2 width=1/
165 * #K #V #j #Hdj #Hjde #HLK #HVT2 #H destruct /3 width=4/
166 qed-.
167
168 lemma tps_inv_gref1: ∀L,T2,p,d,e. L ⊢ §p ▶ [d, e] T2 → T2 = §p.
169 #L #T2 #p #d #e #H
170 elim (tps_inv_atom1 … H) -H //
171 * #K #V #i #_ #_ #_ #_ #H destruct
172 qed-.
173
174 fact tps_inv_bind1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. L ⊢ U1 ▶ [d, e] U2 →
175                         ∀I,V1,T1. U1 = ⓑ{I} V1. T1 →
176                         ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ▶ [d, e] V2 & 
177                                  L. ⓑ{I} V2 ⊢ T1 ▶ [d + 1, e] T2 &
178                                  U2 =  ⓑ{I} V2. T2.
179 #d #e #L #U1 #U2 * -d -e -L -U1 -U2
180 [ #L #k #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
181 | #L #K #V #W #i #d #e #_ #_ #_ #_ #I #V1 #T1 #H destruct
182 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #I #V #T #H destruct /2 width=5/
183 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #I #V #T #H destruct
184 ]
185 qed.
186
187 lemma tps_inv_bind1: ∀d,e,L,I,V1,T1,U2. L ⊢ ⓑ{I} V1. T1 ▶ [d, e] U2 →
188                      ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ▶ [d, e] V2 & 
189                               L. ⓑ{I} V2 ⊢ T1 ▶ [d + 1, e] T2 &
190                               U2 =  ⓑ{I} V2. T2.
191 /2 width=3/ qed-.
192
193 fact tps_inv_flat1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. L ⊢ U1 ▶ [d, e] U2 →
194                         ∀I,V1,T1. U1 = ⓕ{I} V1. T1 →
195                         ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ▶ [d, e] V2 & L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 &
196                                  U2 =  ⓕ{I} V2. T2.
197 #d #e #L #U1 #U2 * -d -e -L -U1 -U2
198 [ #L #k #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
199 | #L #K #V #W #i #d #e #_ #_ #_ #_ #I #V1 #T1 #H destruct
200 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #I #V #T #H destruct
201 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #I #V #T #H destruct /2 width=5/
202 ]
203 qed.
204
205 lemma tps_inv_flat1: ∀d,e,L,I,V1,T1,U2. L ⊢ ⓕ{I} V1. T1 ▶ [d, e] U2 →
206                      ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ▶ [d, e] V2 & L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 &
207                               U2 =  ⓕ{I} V2. T2.
208 /2 width=3/ qed-.
209
210 fact tps_inv_refl_O2_aux: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → e = 0 → T1 = T2.
211 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e
212 [ //
213 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #_ #_ #H destruct
214   lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi … Hide) -Hdi -Hide <plus_n_O #Hdd
215   elim (lt_refl_false … Hdd)
216 | /3 width=1/
217 | /3 width=1/
218 ]
219 qed.
220
221 lemma tps_inv_refl_O2: ∀L,T1,T2,d. L ⊢ T1 ▶ [d, 0] T2 → T1 = T2.
222 /2 width=6/ qed-.
223
224 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
225
226 lemma tps_fwd_tw: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → #[T1] ≤ #[T2].
227 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e normalize
228 /3 by monotonic_le_plus_l, le_plus/ (**) (* just /3 width=1/ is too slow *)
229 qed-.
230
231 (* Basic_1: removed theorems 25:
232             subst0_gen_sort subst0_gen_lref subst0_gen_head subst0_gen_lift_lt
233             subst0_gen_lift_false subst0_gen_lift_ge subst0_refl subst0_trans
234             subst0_lift_lt subst0_lift_ge subst0_lift_ge_S subst0_lift_ge_s
235             subst0_subst0 subst0_subst0_back subst0_weight_le subst0_weight_lt
236             subst0_confluence_neq subst0_confluence_eq subst0_tlt_head
237             subst0_confluence_lift subst0_tlt
238             subst1_head subst1_gen_head subst1_lift_S subst1_confluence_lift 
239 *)