matita/matita/contribs/lambda_delta/basic_2/unfold/ltpss.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/unfold/tpss.ma".
  16
  17 (* PARALLEL UNFOLD ON LOCAL ENVIRONMENTS ************************************)
  18
  19 (* Basic_1: includes: csubst1_bind *)
  20 inductive ltpss: nat → nat → relation lenv ≝
  21 | ltpss_atom : ∀d,e. ltpss d e (⋆) (⋆)
  22 | ltpss_pair : ∀L,I,V. ltpss 0 0 (L. ⓑ{I} V) (L. ⓑ{I} V)
  23 | ltpss_tpss2: ∀L1,L2,I,V1,V2,e.
  24                ltpss 0 e L1 L2 → L2 ⊢ V1 [0, e] ▶* V2 →
  25                ltpss 0 (e + 1) (L1. ⓑ{I} V1) L2. ⓑ{I} V2
  26 | ltpss_tpss1: ∀L1,L2,I,V1,V2,d,e.
  27                ltpss d e L1 L2 → L2 ⊢ V1 [d, e] ▶* V2 →
  28                ltpss (d + 1) e (L1. ⓑ{I} V1) (L2. ⓑ{I} V2)
  29 .
  30
  31 interpretation "parallel unfold (local environment)"
  32    'PSubstStar L1 d e L2 = (ltpss d e L1 L2).
  33
  34 (* Basic properties *********************************************************)
  35
  36 lemma ltpss_tps2: ∀L1,L2,I,V1,V2,e.
  37                   L1 [0, e] ▶* L2 → L2 ⊢ V1 [0, e] ▶ V2 →
  38                   L1. ⓑ{I} V1 [0, e + 1] ▶* L2. ⓑ{I} V2.
  39 /3 width=1/ qed.
  40
  41 lemma ltpss_tps1: ∀L1,L2,I,V1,V2,d,e.
  42                   L1 [d, e] ▶* L2 → L2 ⊢ V1 [d, e] ▶ V2 →
  43                   L1. ⓑ{I} V1 [d + 1, e] ▶* L2. ⓑ{I} V2.
  44 /3 width=1/ qed.
  45
  46 lemma ltpss_tpss2_lt: ∀L1,L2,I,V1,V2,e.
  47                       L1 [0, e - 1] ▶* L2 → L2 ⊢ V1 [0, e - 1] ▶* V2 →
  48                       0 < e → L1. ⓑ{I} V1 [0, e] ▶* L2. ⓑ{I} V2.
  49 #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #HL12 #HV12 #He
  50 >(plus_minus_m_m e 1) /2 width=1/
  51 qed.
  52
  53 lemma ltpss_tpss1_lt: ∀L1,L2,I,V1,V2,d,e.
  54                       L1 [d - 1, e] ▶* L2 → L2 ⊢ V1 [d - 1, e] ▶* V2 →
  55                       0 < d → L1. ⓑ{I} V1 [d, e] ▶* L2. ⓑ{I} V2.
  56 #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #HL12 #HV12 #Hd
  57 >(plus_minus_m_m d 1) /2 width=1/
  58 qed.
  59
  60 lemma ltpss_tps2_lt: ∀L1,L2,I,V1,V2,e.
  61                      L1 [0, e - 1] ▶* L2 → L2 ⊢ V1 [0, e - 1] ▶ V2 →
  62                      0 < e → L1. ⓑ{I} V1 [0, e] ▶* L2. ⓑ{I} V2.
  63 /3 width=1/ qed.
  64
  65 lemma ltpss_tps1_lt: ∀L1,L2,I,V1,V2,d,e.
  66                      L1 [d - 1, e] ▶* L2 → L2 ⊢ V1 [d - 1, e] ▶ V2 →
  67                      0 < d → L1. ⓑ{I} V1 [d, e] ▶* L2. ⓑ{I} V2.
  68 /3 width=1/ qed.
  69
  70 (* Basic_1: was by definition: csubst1_refl *)
  71 lemma ltpss_refl: ∀L,d,e. L [d, e] ▶* L.
  72 #L elim L -L //
  73 #L #I #V #IHL * /2 width=1/ * /2 width=1/
  74 qed.
  75
  76 lemma ltpss_weak_all: ∀L1,L2,d,e. L1 [d, e] ▶* L2 → L1 [0, |L2|] ▶* L2.
  77 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e
  78 // /3 width=2/ /3 width=3/
  79 qed.
  80
  81 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
  82
  83 lemma ltpss_fwd_length: ∀L1,L2,d,e. L1 [d, e] ▶* L2 → |L1| = |L2|.
  84 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e
  85 normalize //
  86 qed-.
  87
  88 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  89
  90 fact ltpss_inv_refl_O2_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 [d, e] ▶* L2 → e = 0 → L1 = L2.
  91 #d #e #L1 #L2 #H elim H -d -e -L1 -L2 //
  92 [ #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #_ >commutative_plus normalize #H destruct
  93 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #HV12 #IHL12 #He destruct
  94   >(IHL12 ?) -IHL12 // >(tpss_inv_refl_O2 … HV12) //
  95 ]
  96 qed.
  97
  98 lemma ltpss_inv_refl_O2: ∀d,L1,L2. L1 [d, 0] ▶* L2 → L1 = L2.
  99 /2 width=4/ qed-.
 100
 101 fact ltpss_inv_atom1_aux: ∀d,e,L1,L2.
 102                           L1 [d, e] ▶* L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
 103 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
 104 [ //
 105 | #L #I #V #H destruct
 106 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #H destruct
 107 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ #H destruct
 108 ]
 109 qed.
 110
 111 lemma ltpss_inv_atom1: ∀d,e,L2. ⋆ [d, e] ▶* L2 → L2 = ⋆.
 112 /2 width=5/ qed-.
 113
 114 fact ltpss_inv_tpss21_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 [d, e] ▶* L2 → d = 0 → 0 < e →
 115                            ∀K1,I,V1. L1 = K1. ⓑ{I} V1 →
 116                            ∃∃K2,V2. K1 [0, e - 1] ▶* K2 &
 117                                     K2 ⊢ V1 [0, e - 1] ▶* V2 &
 118                                     L2 = K2. ⓑ{I} V2.
 119 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
 120 [ #d #e #_ #_ #K1 #I #V1 #H destruct
 121 | #L1 #I #V #_ #H elim (lt_refl_false … H)
 122 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #HL12 #HV12 #_ #_ #K1 #J #W1 #H destruct /2 width=5/
 123 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ >commutative_plus normalize #H destruct
 124 ]
 125 qed.
 126
 127 lemma ltpss_inv_tpss21: ∀e,K1,I,V1,L2. K1. ⓑ{I} V1 [0, e] ▶* L2 → 0 < e →
 128                         ∃∃K2,V2. K1 [0, e - 1] ▶* K2 & K2 ⊢ V1 [0, e - 1] ▶* V2 &
 129                                  L2 = K2. ⓑ{I} V2.
 130 /2 width=5/ qed-.
 131
 132 fact ltpss_inv_tpss11_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 [d, e] ▶* L2 → 0 < d →
 133                            ∀I,K1,V1. L1 = K1. ⓑ{I} V1 →
 134                            ∃∃K2,V2. K1 [d - 1, e] ▶* K2 &
 135                                     K2 ⊢ V1 [d - 1, e] ▶* V2 &
 136                                     L2 = K2. ⓑ{I} V2.
 137 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
 138 [ #d #e #_ #I #K1 #V1 #H destruct
 139 | #L #I #V #H elim (lt_refl_false … H)
 140 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #H elim (lt_refl_false … H)
 141 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #HL12 #HV12 #_ #J #K1 #W1 #H destruct /2 width=5/
 142 ]
 143 qed.
 144
 145 lemma ltpss_inv_tpss11: ∀d,e,I,K1,V1,L2. K1. ⓑ{I} V1 [d, e] ▶* L2 → 0 < d →
 146                         ∃∃K2,V2. K1 [d - 1, e] ▶* K2 &
 147                                  K2 ⊢ V1 [d - 1, e] ▶* V2 &
 148                                  L2 = K2. ⓑ{I} V2.
 149 /2 width=3/ qed-.
 150
 151 fact ltpss_inv_atom2_aux: ∀d,e,L1,L2.
 152                           L1 [d, e] ▶* L2 → L2 = ⋆ → L1 = ⋆.
 153 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
 154 [ //
 155 | #L #I #V #H destruct
 156 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #H destruct
 157 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ #H destruct
 158 ]
 159 qed.
 160
 161 lemma ltpss_inv_atom2: ∀d,e,L1. L1 [d, e] ▶* ⋆ → L1 = ⋆.
 162 /2 width=5/ qed-.
 163
 164 fact ltpss_inv_tpss22_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 [d, e] ▶* L2 → d = 0 → 0 < e →
 165                            ∀K2,I,V2. L2 = K2. ⓑ{I} V2 →
 166                            ∃∃K1,V1. K1 [0, e - 1] ▶* K2 &
 167                                     K2 ⊢ V1 [0, e - 1] ▶* V2 &
 168                                     L1 = K1. ⓑ{I} V1.
 169 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
 170 [ #d #e #_ #_ #K1 #I #V1 #H destruct
 171 | #L1 #I #V #_ #H elim (lt_refl_false … H)
 172 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #HL12 #HV12 #_ #_ #K2 #J #W2 #H destruct /2 width=5/
 173 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ >commutative_plus normalize #H destruct
 174 ]
 175 qed.
 176
 177 lemma ltpss_inv_tpss22: ∀e,L1,K2,I,V2. L1 [0, e] ▶* K2. ⓑ{I} V2 → 0 < e →
 178                         ∃∃K1,V1. K1 [0, e - 1] ▶* K2 & K2 ⊢ V1 [0, e - 1] ▶* V2 &
 179                                  L1 = K1. ⓑ{I} V1.
 180 /2 width=5/ qed-.
 181
 182 fact ltpss_inv_tpss12_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 [d, e] ▶* L2 → 0 < d →
 183                            ∀I,K2,V2. L2 = K2. ⓑ{I} V2 →
 184                            ∃∃K1,V1. K1 [d - 1, e] ▶* K2 &
 185                                     K2 ⊢ V1 [d - 1, e] ▶* V2 &
 186                                   L1 = K1. ⓑ{I} V1.
 187 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
 188 [ #d #e #_ #I #K2 #V2 #H destruct
 189 | #L #I #V #H elim (lt_refl_false … H)
 190 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #H elim (lt_refl_false … H)
 191 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #HL12 #HV12 #_ #J #K2 #W2 #H destruct /2 width=5/
 192 ]
 193 qed.
 194
 195 lemma ltpss_inv_tpss12: ∀L1,K2,I,V2,d,e. L1 [d, e] ▶* K2. ⓑ{I} V2 → 0 < d →
 196                         ∃∃K1,V1. K1 [d - 1, e] ▶* K2 &
 197                                  K2 ⊢ V1 [d - 1, e] ▶* V2 &
 198                                  L1 = K1. ⓑ{I} V1.
 199 /2 width=3/ qed-.
 200
 201 (* Basic_1: removed theorems 27:
 202             csubst0_clear_O csubst0_drop_lt csubst0_drop_gt csubst0_drop_eq
 203             csubst0_clear_O_back csubst0_clear_S csubst0_clear_trans
 204             csubst0_drop_gt_back csubst0_drop_eq_back csubst0_drop_lt_back
 205             csubst0_gen_sort csubst0_gen_head csubst0_getl_ge csubst0_getl_lt
 206             csubst0_gen_S_bind_2 csubst0_getl_ge_back csubst0_getl_lt_back
 207             csubst0_snd_bind csubst0_fst_bind csubst0_both_bind
 208             csubst1_head csubst1_flat csubst1_gen_head
 209             csubst1_getl_ge csubst1_getl_lt csubst1_getl_ge_back getl_csubst1
 210
 211 *)