]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambda_delta/basic_2/unfold/ltpss_dx.ma
ad0c002b4c4e3fe0fde97b1c4ef6f9176f4b12bf
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambda_delta / basic_2 / unfold / ltpss_dx.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "basic_2/unfold/tpss.ma".
16
17 (* DX PARALLEL UNFOLD ON LOCAL ENVIRONMENTS *********************************)
18
19 (* Basic_1: includes: csubst1_bind *)
20 inductive ltpss_dx: nat → nat → relation lenv ≝
21 | ltpss_dx_atom : ∀d,e. ltpss_dx d e (⋆) (⋆)
22 | ltpss_dx_pair : ∀L,I,V. ltpss_dx 0 0 (L. ⓑ{I} V) (L. ⓑ{I} V)
23 | ltpss_dx_tpss2: ∀L1,L2,I,V1,V2,e.
24                   ltpss_dx 0 e L1 L2 → L2 ⊢ V1 ▶* [0, e] V2 →
25                   ltpss_dx 0 (e + 1) (L1. ⓑ{I} V1) (L2. ⓑ{I} V2)
26 | ltpss_dx_tpss1: ∀L1,L2,I,V1,V2,d,e.
27                   ltpss_dx d e L1 L2 → L2 ⊢ V1 ▶* [d, e] V2 →
28                   ltpss_dx (d + 1) e (L1. ⓑ{I} V1) (L2. ⓑ{I} V2)
29 .
30
31 interpretation "parallel unfold (local environment, dx variant)"
32    'PSubstStar L1 d e L2 = (ltpss_dx d e L1 L2).
33
34 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
35
36 fact ltpss_dx_inv_refl_O2_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 ▶* [d, e] L2 → e = 0 → L1 = L2.
37 #d #e #L1 #L2 #H elim H -d -e -L1 -L2 //
38 [ #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #_ >commutative_plus normalize #H destruct
39 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #HV12 #IHL12 #He destruct
40   >(IHL12 ?) -IHL12 // >(tpss_inv_refl_O2 … HV12) //
41 ]
42 qed.
43
44 lemma ltpss_dx_inv_refl_O2: ∀d,L1,L2. L1 ▶* [d, 0] L2 → L1 = L2.
45 /2 width=4/ qed-.
46
47 fact ltpss_dx_inv_atom1_aux: ∀d,e,L1,L2.
48                              L1 ▶* [d, e] L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
49 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
50 [ //
51 | #L #I #V #H destruct
52 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #H destruct
53 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ #H destruct
54 ]
55 qed.
56
57 lemma ltpss_dx_inv_atom1: ∀d,e,L2. ⋆ ▶* [d, e] L2 → L2 = ⋆.
58 /2 width=5/ qed-.
59
60 fact ltpss_dx_inv_tpss21_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 ▶* [d, e] L2 → d = 0 → 0 < e →
61                               ∀K1,I,V1. L1 = K1. ⓑ{I} V1 →
62                               ∃∃K2,V2. K1 ▶* [0, e - 1] K2 &
63                                        K2 ⊢ V1 ▶* [0, e - 1] V2 &
64                                        L2 = K2. ⓑ{I} V2.
65 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
66 [ #d #e #_ #_ #K1 #I #V1 #H destruct
67 | #L1 #I #V #_ #H elim (lt_refl_false … H)
68 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #HL12 #HV12 #_ #_ #K1 #J #W1 #H destruct /2 width=5/
69 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ >commutative_plus normalize #H destruct
70 ]
71 qed.
72
73 lemma ltpss_dx_inv_tpss21: ∀e,K1,I,V1,L2. K1. ⓑ{I} V1 ▶* [0, e] L2 → 0 < e →
74                            ∃∃K2,V2. K1 ▶* [0, e - 1] K2 &
75                                     K2 ⊢ V1 ▶* [0, e - 1] V2 &
76                                     L2 = K2. ⓑ{I} V2.
77 /2 width=5/ qed-.
78
79 fact ltpss_dx_inv_tpss11_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 ▶* [d, e] L2 → 0 < d →
80                               ∀I,K1,V1. L1 = K1. ⓑ{I} V1 →
81                               ∃∃K2,V2. K1 ▶* [d - 1, e] K2 &
82                                        K2 ⊢ V1 ▶* [d - 1, e] V2 &
83                                        L2 = K2. ⓑ{I} V2.
84 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
85 [ #d #e #_ #I #K1 #V1 #H destruct
86 | #L #I #V #H elim (lt_refl_false … H)
87 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #H elim (lt_refl_false … H)
88 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #HL12 #HV12 #_ #J #K1 #W1 #H destruct /2 width=5/
89 ]
90 qed.
91
92 lemma ltpss_dx_inv_tpss11: ∀d,e,I,K1,V1,L2. K1. ⓑ{I} V1 ▶* [d, e] L2 → 0 < d →
93                            ∃∃K2,V2. K1 ▶* [d - 1, e] K2 &
94                                     K2 ⊢ V1 ▶* [d - 1, e] V2 &
95                                     L2 = K2. ⓑ{I} V2.
96 /2 width=3/ qed-.
97
98 fact ltpss_dx_inv_atom2_aux: ∀d,e,L1,L2.
99                              L1 ▶* [d, e] L2 → L2 = ⋆ → L1 = ⋆.
100 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
101 [ //
102 | #L #I #V #H destruct
103 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #H destruct
104 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ #H destruct
105 ]
106 qed.
107
108 lemma ltpss_dx_inv_atom2: ∀d,e,L1. L1 ▶* [d, e] ⋆ → L1 = ⋆.
109 /2 width=5/ qed-.
110
111 fact ltpss_dx_inv_tpss22_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 ▶* [d, e] L2 → d = 0 → 0 < e →
112                               ∀K2,I,V2. L2 = K2. ⓑ{I} V2 →
113                               ∃∃K1,V1. K1 ▶* [0, e - 1] K2 &
114                                        K2 ⊢ V1 ▶* [0, e - 1] V2 &
115                                        L1 = K1. ⓑ{I} V1.
116 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
117 [ #d #e #_ #_ #K1 #I #V1 #H destruct
118 | #L1 #I #V #_ #H elim (lt_refl_false … H)
119 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #HL12 #HV12 #_ #_ #K2 #J #W2 #H destruct /2 width=5/
120 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #_ >commutative_plus normalize #H destruct
121 ]
122 qed.
123
124 lemma ltpss_dx_inv_tpss22: ∀e,L1,K2,I,V2. L1 ▶* [0, e] K2. ⓑ{I} V2 → 0 < e →
125                            ∃∃K1,V1. K1 ▶* [0, e - 1] K2 &
126                                     K2 ⊢ V1 ▶* [0, e - 1] V2 &
127                                     L1 = K1. ⓑ{I} V1.
128 /2 width=5/ qed-.
129
130 fact ltpss_dx_inv_tpss12_aux: ∀d,e,L1,L2. L1 ▶* [d, e] L2 → 0 < d →
131                               ∀I,K2,V2. L2 = K2. ⓑ{I} V2 →
132                               ∃∃K1,V1. K1 ▶* [d - 1, e] K2 &
133                                        K2 ⊢ V1 ▶* [d - 1, e] V2 &
134                                        L1 = K1. ⓑ{I} V1.
135 #d #e #L1 #L2 * -d -e -L1 -L2
136 [ #d #e #_ #I #K2 #V2 #H destruct
137 | #L #I #V #H elim (lt_refl_false … H)
138 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #H elim (lt_refl_false … H)
139 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #HL12 #HV12 #_ #J #K2 #W2 #H destruct /2 width=5/
140 ]
141 qed.
142
143 lemma ltpss_dx_inv_tpss12: ∀L1,K2,I,V2,d,e. L1 ▶* [d, e] K2. ⓑ{I} V2 → 0 < d →
144                            ∃∃K1,V1. K1 ▶* [d - 1, e] K2 &
145                                     K2 ⊢ V1 ▶* [d - 1, e] V2 &
146                                     L1 = K1. ⓑ{I} V1.
147 /2 width=3/ qed-.
148
149 (* Basic properties *********************************************************)
150
151 lemma ltpss_dx_tps2: ∀L1,L2,I,V1,V2,e.
152                      L1 ▶* [0, e] L2 → L2 ⊢ V1 ▶ [0, e] V2 →
153                      L1. ⓑ{I} V1 ▶* [0, e + 1] L2. ⓑ{I} V2.
154 /3 width=1/ qed.
155
156 lemma ltpss_dx_tps1: ∀L1,L2,I,V1,V2,d,e.
157                      L1 ▶* [d, e] L2 → L2 ⊢ V1 ▶ [d, e] V2 →
158                      L1. ⓑ{I} V1 ▶* [d + 1, e] L2. ⓑ{I} V2.
159 /3 width=1/ qed.
160
161 lemma ltpss_dx_tpss2_lt: ∀L1,L2,I,V1,V2,e.
162                          L1 ▶* [0, e - 1] L2 → L2 ⊢ V1 ▶* [0, e - 1] V2 →
163                          0 < e → L1. ⓑ{I} V1 ▶* [0, e] L2. ⓑ{I} V2.
164 #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e #HL12 #HV12 #He
165 >(plus_minus_m_m e 1) /2 width=1/
166 qed.
167
168 lemma ltpss_dx_tpss1_lt: ∀L1,L2,I,V1,V2,d,e.
169                          L1 ▶* [d - 1, e] L2 → L2 ⊢ V1 ▶* [d - 1, e] V2 →
170                          0 < d → L1. ⓑ{I} V1 ▶* [d, e] L2. ⓑ{I} V2.
171 #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d #e #HL12 #HV12 #Hd
172 >(plus_minus_m_m d 1) /2 width=1/
173 qed.
174
175 lemma ltpss_dx_tps2_lt: ∀L1,L2,I,V1,V2,e.
176                         L1 ▶* [0, e - 1] L2 → L2 ⊢ V1 ▶ [0, e - 1] V2 →
177                         0 < e → L1. ⓑ{I} V1 ▶* [0, e] L2. ⓑ{I} V2.
178 /3 width=1/ qed.
179
180 lemma ltpss_dx_tps1_lt: ∀L1,L2,I,V1,V2,d,e.
181                         L1 ▶* [d - 1, e] L2 → L2 ⊢ V1 ▶ [d - 1, e] V2 →
182                         0 < d → L1. ⓑ{I} V1 ▶* [d, e] L2. ⓑ{I} V2.
183 /3 width=1/ qed.
184
185 (* Basic_1: was by definition: csubst1_refl *)
186 lemma ltpss_dx_refl: ∀L,d,e. L ▶* [d, e] L.
187 #L elim L -L //
188 #L #I #V #IHL * /2 width=1/ * /2 width=1/
189 qed.
190
191 lemma ltpss_dx_weak: ∀L1,L2,d1,e1. L1 ▶* [d1, e1] L2 →
192                      ∀d2,e2. d2 ≤ d1 → d1 + e1 ≤ d2 + e2 → L1 ▶* [d2, e2] L2.
193 #L1 #L2 #d1 #e1 #H elim H -L1 -L2 -d1 -e1 //
194 [ #L1 #L2 #I #V1 #V2 #e1 #_ #HV12 #IHL12 #d2 #e2 #Hd2 #Hde2
195   lapply (le_n_O_to_eq … Hd2) #H destruct normalize in Hde2;
196   lapply (lt_to_le_to_lt 0 … Hde2) // #He2
197   lapply (le_plus_to_minus_r … Hde2) -Hde2 /3 width=5/
198 | #L1 #L2 #I #V1 #V2 #d1 #e1 #_ #HV12 #IHL12 #d2 #e2 #Hd21 #Hde12
199   >plus_plus_comm_23 in Hde12; #Hde12
200   elim (le_to_or_lt_eq 0 d2 ?) // #H destruct
201   [ lapply (le_plus_to_minus_r … Hde12) -Hde12 <plus_minus // #Hde12
202     lapply (le_plus_to_minus … Hd21) -Hd21 #Hd21 /3 width=5/
203   | -Hd21 normalize in Hde12;
204     lapply (lt_to_le_to_lt 0 … Hde12) // #He2
205     lapply (le_plus_to_minus_r … Hde12) -Hde12 /3 width=5/
206   ]
207 ]
208 qed.
209
210 lemma ltpss_dx_weak_all: ∀L1,L2,d,e. L1 ▶* [d, e] L2 → L1 ▶* [0, |L2|] L2.
211 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e
212 // /3 width=2/ /3 width=3/
213 qed.
214
215 fact ltpss_dx_append_le_aux: ∀K1,K2,d,x. K1 ▶* [d, x] K2 → x = |K1| - d →
216                              ∀L1,L2,e. L1 ▶* [0, e] L2 → d ≤ |K1| →
217                              L1 @@ K1 ▶* [d, x + e] L2 @@ K2.
218 #K1 #K2 #d #x #H elim H -K1 -K2 -d -x
219 [ #d #x #H1 #L1 #L2 #e #HL12 #H2 destruct
220   lapply (le_n_O_to_eq … H2) -H2 #H destruct //
221 | #K #I #V <minus_n_O normalize <plus_n_Sm #H destruct
222 | #K1 #K2 #I #V1 #V2 #x #_ #HV12 <minus_n_O #IHK12 <minus_n_O #H #L1 #L2 #e #HL12 #_
223   lapply (injective_plus_l … H) -H #H destruct >plus_plus_comm_23
224   /4 width=5 by ltpss_dx_tpss2, tpss_append, tpss_weak, monotonic_le_plus_r/ (**) (* too slow without trace *)
225 | #K1 #K2 #I #V1 #V2 #d #x #_ #HV12 #IHK12 normalize <minus_le_minus_minus_comm // <minus_plus_m_m #H1 #L1 #L2 #e #HL12 #H2 destruct
226   lapply (le_plus_to_le_r … H2) -H2 #Hd
227   /4 width=5 by ltpss_dx_tpss1, tpss_append, tpss_weak, monotonic_le_plus_r/ (**) (* too slow without trace *)
228 ]
229 qed-.
230
231 lemma ltpss_dx_append_le: ∀K1,K2,d. K1 ▶* [d, |K1| - d] K2 →
232                           ∀L1,L2,e. L1 ▶* [0, e] L2 → d ≤ |K1| →
233                           L1 @@ K1 ▶* [d, |K1| - d + e] L2 @@ K2.
234 /2 width=1 by ltpss_dx_append_le_aux/ qed.
235
236 lemma ltpss_dx_append_ge: ∀K1,K2,d,e. K1 ▶* [d, e] K2 →
237                           ∀L1,L2. L1 ▶* [d - |K1|, e] L2 → |K1| ≤ d →
238                           L1 @@ K1 ▶* [d, e] L2 @@ K2.
239 #K1 #K2 #d #e #H elim H -K1 -K2 -d -e
240 [ #d #e #L1 #L2 <minus_n_O //
241 | #K #I #V #L1 #L2 #_ #H 
242   lapply (le_n_O_to_eq … H) -H normalize <plus_n_Sm #H destruct
243 | #K1 #K2 #I #V1 #V2 #e #_ #_ #_ #L1 #L2 #_ #H
244   lapply (le_n_O_to_eq … H) -H normalize <plus_n_Sm #H destruct
245 | #K1 #K2 #I #V1 #V2 #d #e #_ #HV12 #IHK12 #L1 #L2
246   normalize <minus_le_minus_minus_comm // <minus_plus_m_m #HL12 #H
247   lapply (le_plus_to_le_r … H) -H /3 width=1/
248 ]
249 qed.
250
251 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
252
253 lemma ltpss_dx_fwd_length: ∀L1,L2,d,e. L1 ▶* [d, e] L2 → |L1| = |L2|.
254 #L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e
255 normalize //
256 qed-.
257
258 (* Basic_1: removed theorems 28:
259             csubst0_clear_O csubst0_drop_lt csubst0_drop_gt csubst0_drop_eq
260             csubst0_clear_O_back csubst0_clear_S csubst0_clear_trans
261             csubst0_drop_gt_back csubst0_drop_eq_back csubst0_drop_lt_back
262             csubst0_gen_sort csubst0_gen_head csubst0_getl_ge csubst0_getl_lt
263             csubst0_gen_S_bind_2 csubst0_getl_ge_back csubst0_getl_lt_back
264             csubst0_snd_bind csubst0_fst_bind csubst0_both_bind
265             csubst1_head csubst1_flat csubst1_gen_head
266             csubst1_getl_ge csubst1_getl_lt csubst1_getl_ge_back getl_csubst1
267             fsubst0_gen_base
268 *)