matita/matita/contribs/lambdadelta/apps_2/etc/models/vdrop.etc

   1
   2
   3 lemma vdrop_refl: ∀M,v,l. ↓[l, 0] v ≐⦋M⦌ v.
   4 #M #v #l #i elim (lt_or_ge … i l) #Hil
   5 [ >vdrop_lt //
   6 | >vdrop_ge //
   7 ]
   8 qed.
   9
  10 (* Main properties **********************************************************)
  11
  12 theorem vdrop_vdrop_le_sym: ∀M,v,l1,l2,m1,m2. l1 ≤ l2 →
  13                             ↓[l1, m1] ↓[l2+m1, m2] v ≐⦋M⦌ ↓[l2, m2] ↓[l1, m1] v.
  14 #M #v #l1 #l2 #m1 #m2 #Hl12 #j elim (lt_or_ge … j l1) #Hjl1
  15 [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hjl1 Hl12) -Hl12 #Hjl2
  16   >vdrop_lt // >vdrop_lt /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/
  17   >vdrop_lt // >vdrop_lt //
  18 | >vdrop_ge // elim (lt_or_ge … j l2) #Hjl2 -Hl12
  19   [ >vdrop_lt /2 width=1 by lt_minus_to_plus/
  20     >vdrop_lt // >vdrop_ge //
  21   | >vdrop_ge /2 width=1 by monotonic_le_plus_l/
  22     >vdrop_ge // >vdrop_ge /2 width=1 by le_plus/
  23   ]
  24 ]
  25 qed.
  26
  27 lemma vdrop_vdrop_le: ∀M,v,l1,l2,m1,m2. l1 ≤ l2 →
  28                       ↓[l2, m2] ↓[l1, m1] v ≐⦋M⦌ ↓[l1, m1] ↓[l2+m1, m2] v.
  29 /3 width=1 by vdrop_vdrop_le_sym, veq_sym/ qed-.
  30
  31 (* Properties on raise ******************************************************)
  32
  33 lemma vdrop_raise_lt: ∀M,v,d,l,m,i. i ≤ l → ↓[l+1, m] [i⬐d] v ≐⦋M⦌ [i⬐d] ↓[l, m] v.
  34 #M #v #d #l #m #i #Hil #j elim (lt_or_eq_or_gt … j i) #Hij destruct
  35 [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hij Hil) -Hil #Hjl
  36   >vdrop_lt /2 width=1 by le_S/ >raise_lt // >raise_lt // >vdrop_lt //
  37 | >vdrop_lt /2 width=1 by le_S_S/ >raise_eq >raise_eq //
  38 | lapply (ltn_to_ltO … Hij) #Hj
  39   >raise_gt // elim (lt_or_ge … j (l+1)) #Hlj
  40   [ -Hil >vdrop_lt // >vdrop_lt /2 width=2 by lt_plus_to_minus/ >raise_gt //
  41   | >vdrop_ge // >vdrop_ge /2 width=1 by le_plus_to_minus_r/
  42     >raise_gt /2 width=1 by le_plus/ >plus_minus //
  43   ]
  44 ]
  45 qed.
  46
  47 lemma raise_vdrop_lt: ∀M,v,d,l,m,i. i ≤ l → [i⬐d] ↓[l, m] v ≐⦋M⦌ ↓[l+1, m] [i⬐d] v.
  48 /3 width=1 by vdrop_raise_lt, veq_sym/ qed.
  49
  50 lemma vdrop_raise_be: ∀M,v,d,l,m,i. l ≤ i → i ≤ l + m → ↓[l, m+1] [i⬐d] v ≐⦋M⦌ ↓[l, m] v.
  51 #M #v #d #l #m #i #Hli #Hilm #j elim (lt_or_ge … j l) #Hlj
  52 [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hlj Hli) -Hli -Hilm #Hij
  53   >vdrop_lt // >vdrop_lt // >raise_lt //
  54 | lapply (transitive_le … (j+m) Hilm ?) -Hli -Hilm /2 width=1 by monotonic_le_plus_l/ #Hijm
  55   >vdrop_ge // >vdrop_ge // >raise_gt /2 width=1 by le_S_S/
  56 ]
  57 qed.
  58
  59 lemma vdrop_raise_be_sym: ∀M,v,d,l,m,i. l ≤ i → i ≤ l + m → ↓[l, m] v ≐⦋M⦌  ↓[l, m+1] [i⬐d] v.
  60 /3 width=1 by vdrop_raise_be, veq_sym/ qed.
  61
  62 lemma vdrop_raise: ∀M,v,d,l. ↓[l, 1] [l⬐d] v ≐⦋M⦌ v.
  63 /3 width=3 by vdrop_raise_be, veq_trans/ qed.
  64
  65 lemma vdrop_raise_sym: ∀M,v,d,l. v ≐⦋M⦌ ↓[l, 1] [l⬐d] v.
  66 /2 width=1 by veq_sym/ qed.
  67
  68 lemma raise_vdrop: ∀M,v,i. [i⬐v i] ↓[i,1] v ≐⦋M⦌ v.
  69 #M #V #i #j elim (lt_or_eq_or_gt j i) #Hij destruct
  70 [ >raise_lt // >vdrop_lt //
  71 | >raise_eq //
  72 | >raise_gt // >vdrop_ge /2 width=1 by monotonic_pred/
  73   <plus_minus_m_m /2 width=2 by ltn_to_ltO/
  74 ]
  75 qed.
  76
  77 lemma raise_vdrop_sym: ∀M,v,i. v ≐⦋M⦌ [i⬐v i] ↓[i,1] v.
  78 /3 width=1 by raise_vdrop, veq_sym/ qed.
  79
  80 lemma raise_vdrop_be: ∀M,v,l,m. ↓[l, m] v ≐⦋M⦌ [l⬐v (l+m)] ↓[l, m+1] v.
  81 #M #v #l #m #j elim (lt_or_eq_or_gt j l) #Hlj destruct
  82 [ >vdrop_lt // >raise_lt // >vdrop_lt //
  83 | >vdrop_ge // >raise_eq //
  84 | lapply (ltn_to_ltO … Hlj) #Hj
  85   >vdrop_ge /2 width=1 by lt_to_le/ >raise_gt //
  86   >vdrop_ge /4 width=1 by plus_minus, monotonic_pred, eq_f/
  87 ]
  88 qed.
  89
  90 lemma raise_vdrop_be_sym: ∀M,v,l,m. [l⬐v (l+m)] ↓[l, m+1] v ≐⦋M⦌ ↓[l, m] v.
  91 /3 width=1 by raise_vdrop_be, veq_sym/ qed.
  92
  93 (* Forward lemmas on raise **************************************************)
  94
  95 lemma vdrop_fwd_raise_be_S: ∀M,v1,v2,d,l,m. ↓[l, m] v1 ≐⦋M⦌ [l⬐d] v2 →
  96                             ↓[l, m+1] v1 ≐ v2.
  97 #M #v1 #v2 #d #l #m #Hv12 #j elim (lt_or_ge j l) #Hlj
  98 [ lapply (Hv12 j) -Hv12
  99   >vdrop_lt // >vdrop_lt // >raise_lt //
 100 | lapply (Hv12 (j+1))
 101   >vdrop_ge /2 width=1 by le_S/ >vdrop_ge // >raise_gt /2 width=1 by le_S_S/
 102 ]
 103 qed-.
 104
 105 lemma raise_fwd_vdrop_be_S: ∀M,v1,v2,d,l,m. [l⬐d] v2 ≐⦋M⦌ ↓[l, m] v1 →
 106                             v2 ≐ ↓[l, m+1] v1.
 107 /3 width=2 by vdrop_fwd_raise_be_S, veq_sym/ qed-.
 108
 109 lemma vdrop_fwd_raise_be_O: ∀M,v1,v2,d,l,m. ↓[l, m] v1 ≐⦋M⦌ [l⬐d] v2 → v1 (l+m) = d.
 110 #M #v1 #v2 #d #l #m #Hv12 lapply (Hv12 l)
 111 >vdrop_ge // >raise_eq //
 112 qed-.
 113
 114 lemma raise_fwd_vdrop_be_O: ∀M,v1,v2,d,l,m. [l⬐d] v2 ≐⦋M⦌ ↓[l, m] v1 → d = v1 (l+m).
 115 /4 width=7 by vdrop_fwd_raise_be_O, veq_sym, sym_eq/ qed-.
 116
 117 (* Inversion lemmas on raise ************************************************)
 118
 119 lemma raise_inv_vdrop_lt: ∀M,v1,v2,d,l,m,i. i ≤ l → [i⬐d] v1 ≐⦋M⦌ ↓[l+1, m] v2 →
 120                           ∃∃v. v1 ≐ ↓[l, m] v & v2 ≐ [i⬐d] v.
 121 #M #v1 #v2 #d #l #m #i #Hil #Hv12
 122 lapply (Hv12 i) >raise_eq >vdrop_lt /2 width=1 by le_S_S/ #H destruct
 123 @(ex2_intro … (↓[i, 1] v2)) //
 124 @(veq_trans … (↓[i, 1] ↓[l+1, m] v2))
 125 /3 width=3 by vdrop_vdrop_le_sym, vdrop_veq, veq_trans/
 126 qed-.
 127
 128 lemma vdrop_inv_raise_lt: ∀M,v1,v2,d,l,m,i. i ≤ l → ↓[l+1, m] v2 ≐⦋M⦌ [i⬐d] v1 →
 129                           ∃∃v. v1 ≐ ↓[l, m] v & v2 ≐ [i⬐d] v.
 130 /3 width=1 by raise_inv_vdrop_lt, veq_sym/ qed-.
 131
 132 lemma vdrop_inv_raise_be: ∀M,v1,v2,d,l,m. ↓[l, m] v1 ≐⦋M⦌ [l⬐d] v2 →
 133                           v1 (l+m) = d ∧ ↓[l, m+1] v1 ≐ v2.
 134 /3 width=2 by vdrop_fwd_raise_be_O, vdrop_fwd_raise_be_S, conj/ qed-.
 135
 136 lemma raise_inv_vdrop_be: ∀M,v1,v2,d,l,m. [l⬐d] v2 ≐⦋M⦌ ↓[l, m] v1 →
 137                           d = v1 (l+m) ∧ v2 ≐ ↓[l, m+1] v1.
 138 /3 width=2 by raise_fwd_vdrop_be_O, raise_fwd_vdrop_be_S, conj/ qed-.