matita/matita/contribs/lambdadelta/apps_2/models/veq.ma

   1
   2 (**************************************************************************)
   3 (*       ___                                                              *)
   4 (*      ||M||                                                             *)
   5 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   6 (*      ||T||                                                             *)
   7 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   8 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   9 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
  10 (*      \   /                                                             *)
  11 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  12 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  13 (*                                                                        *)
  14 (**************************************************************************)
  15
  16 include "apps_2/models/model_props.ma".
  17
  18 (* EVALUATION EQUIVALENCE ***************************************************)
  19
  20 definition veq (M): relation (evaluation M) ≝
  21                     λv1,v2. ∀d. v1 d ≗ v2 d.
  22
  23 interpretation "evaluation equivalence (model)"
  24    'RingEq M v1 v2 = (veq M v1 v2).
  25
  26 (* Basic properties *********************************************************)
  27
  28 lemma veq_refl (M): is_model M →
  29                     reflexive … (veq M).
  30 /2 width=1 by mr/ qed.
  31
  32 lemma veq_repl (M): is_model M →
  33                     replace_2 … (veq M) (veq M) (veq M).
  34 /2 width=5 by mq/ qed-.
  35
  36 lemma veq_sym (M): is_model M → symmetric … (veq M).
  37 /3 width=5 by veq_repl, veq_refl/ qed-.
  38
  39 lemma veq_trans (M): is_model M → Transitive … (veq M).
  40 /3 width=5 by veq_repl, veq_refl/ qed-.
  41
  42 lemma veq_canc_sn (M): is_model M → left_cancellable … (veq M).
  43 /3 width=3 by veq_trans, veq_sym/ qed-.
  44
  45 lemma veq_canc_dx (M): is_model M → right_cancellable … (veq M).
  46 /3 width=3 by veq_trans, veq_sym/ qed-.
  47
  48 (* Properties with evaluation push ******************************************)
  49
  50 theorem vpush_swap (M): is_model M →
  51                         ∀i1,i2. i1 ≤ i2 →
  52                         ∀lv,d1,d2. ⫯[i1←d1] ⫯[i2←d2] lv ≗{M} ⫯[↑i2←d2] ⫯[i1←d1] lv.
  53 #M #HM #i1 #i2 #Hi12 #lv #d1 #d2 #j
  54 elim (lt_or_eq_or_gt j i1) #Hji1 destruct
  55 [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hji1 Hi12) #Hji2
  56   >vpush_lt // >vpush_lt // >vpush_lt /2 width=1 by lt_S/ >vpush_lt //
  57   /2 width=1 by veq_refl/
  58 | >vpush_eq >vpush_lt /2 width=1 by monotonic_le_plus_l/ >vpush_eq
  59   /2 width=1 by mr/
  60 | >vpush_gt // elim (lt_or_eq_or_gt (↓j) i2) #Hji2 destruct
  61   [ >vpush_lt // >vpush_lt /2 width=1 by lt_minus_to_plus/ >vpush_gt //
  62     /2 width=1 by veq_refl/
  63   | >vpush_eq <(lt_succ_pred … Hji1) >vpush_eq
  64     /2 width=1 by mr/
  65   | lapply (le_to_lt_to_lt … Hi12 Hji2) #Hi1j
  66     >vpush_gt // >vpush_gt /2 width=1 by lt_minus_to_plus_r/ >vpush_gt //
  67     /2 width=1 by veq_refl/
  68   ]
  69 ]
  70 qed.
  71
  72 lemma vpush_comp (M): is_model M →
  73                       ∀i. compatible_3 … (vpush M i) (sq M) (veq M) (veq M).
  74 #M #HM #i #d1 #d2 #Hd12 #lv1 #lv2 #HLv12 #j
  75 elim (lt_or_eq_or_gt j i) #Hij destruct
  76 [ >vpush_lt // >vpush_lt //
  77 | >vpush_eq >vpush_eq //
  78 | >vpush_gt // >vpush_gt //
  79 ]
  80 qed-.
  81
  82 (* Properies with term interpretation ***************************************)
  83
  84 lemma ti_comp (M): is_model M →
  85                    ∀T,gv1,gv2. gv1 ≗ gv2 → ∀lv1,lv2. lv1 ≗ lv2 →
  86                    ⟦T⟧[gv1, lv1] ≗{M} ⟦T⟧[gv2, lv2].
  87 #M #HM #T elim T -T * [||| #p * | * ]
  88 [ /4 width=5 by seq_trans, seq_sym, ms/
  89 | /4 width=5 by seq_sym, ml, mq/
  90 | /4 width=3 by seq_trans, seq_sym, mg/
  91 | /6 width=5 by vpush_comp, seq_sym, md, mc, mq/
  92 | /5 width=1 by vpush_comp, mi, mr/
  93 | /4 width=5 by seq_sym, ma, mp, mq/
  94 | /4 width=5 by seq_sym, me, mq/
  95 ]
  96 qed.