]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/ex0/props.ma
ground_2 milestone: multiple relocation with lists of booleans
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / basic_1 / ex0 / props.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
16
17 include "basic_1/ex0/fwd.ma".
18
19 include "basic_1/leq/fwd.ma".
20
21 include "basic_1/aplus/props.ma".
22
23 lemma aplus_gz_le:
24  \forall (k: nat).(\forall (h: nat).(\forall (n: nat).((le h k) \to (eq A 
25 (aplus gz (ASort h n) k) (ASort O (plus (minus k h) n))))))
26 \def
27  \lambda (k: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (n0: 
28 nat).((le h n) \to (eq A (aplus gz (ASort h n0) n) (ASort O (plus (minus n h) 
29 n0))))))) (\lambda (h: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le h O)).(let H_y 
30 \def (le_n_O_eq h H) in (eq_ind nat O (\lambda (n0: nat).(eq A (ASort n0 n) 
31 (ASort O n))) (refl_equal A (ASort O n)) h H_y))))) (\lambda (k0: 
32 nat).(\lambda (IH: ((\forall (h: nat).(\forall (n: nat).((le h k0) \to (eq A 
33 (aplus gz (ASort h n) k0) (ASort O (plus (minus k0 h) n)))))))).(\lambda (h: 
34 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).((le n (S k0)) \to (eq A 
35 (asucc gz (aplus gz (ASort n n0) k0)) (ASort O (plus (match n with [O 
36 \Rightarrow (S k0) | (S l) \Rightarrow (minus k0 l)]) n0)))))) (\lambda (n: 
37 nat).(\lambda (_: (le O (S k0))).(eq_ind A (aplus gz (asucc gz (ASort O n)) 
38 k0) (\lambda (a: A).(eq A a (ASort O (S (plus k0 n))))) (eq_ind_r A (ASort O 
39 (plus (minus k0 O) (S n))) (\lambda (a: A).(eq A a (ASort O (S (plus k0 
40 n))))) (eq_ind nat k0 (\lambda (n0: nat).(eq A (ASort O (plus n0 (S n))) 
41 (ASort O (S (plus k0 n))))) (eq_ind nat (S (plus k0 n)) (\lambda (n0: 
42 nat).(eq A (ASort O n0) (ASort O (S (plus k0 n))))) (refl_equal A (ASort O (S 
43 (plus k0 n)))) (plus k0 (S n)) (plus_n_Sm k0 n)) (minus k0 O) (minus_n_O k0)) 
44 (aplus gz (ASort O (S n)) k0) (IH O (S n) (le_O_n k0))) (asucc gz (aplus gz 
45 (ASort O n) k0)) (aplus_asucc gz k0 (ASort O n))))) (\lambda (n: 
46 nat).(\lambda (_: ((\forall (n0: nat).((le n (S k0)) \to (eq A (asucc gz 
47 (aplus gz (ASort n n0) k0)) (ASort O (plus (match n with [O \Rightarrow (S 
48 k0) | (S l) \Rightarrow (minus k0 l)]) n0))))))).(\lambda (n0: nat).(\lambda 
49 (H0: (le (S n) (S k0))).(let H_y \def (le_S_n n k0 H0) in (eq_ind A (aplus gz 
50 (ASort n n0) k0) (\lambda (a: A).(eq A (asucc gz (aplus gz (ASort (S n) n0) 
51 k0)) a)) (eq_ind A (aplus gz (asucc gz (ASort (S n) n0)) k0) (\lambda (a: 
52 A).(eq A a (aplus gz (ASort n n0) k0))) (refl_equal A (aplus gz (ASort n n0) 
53 k0)) (asucc gz (aplus gz (ASort (S n) n0) k0)) (aplus_asucc gz k0 (ASort (S 
54 n) n0))) (ASort O (plus (minus k0 n) n0)) (IH n n0 H_y))))))) h)))) k).
55
56 lemma aplus_gz_ge:
57  \forall (n: nat).(\forall (k: nat).(\forall (h: nat).((le k h) \to (eq A 
58 (aplus gz (ASort h n) k) (ASort (minus h k) n)))))
59 \def
60  \lambda (n: nat).(\lambda (k: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(\forall (h: 
61 nat).((le n0 h) \to (eq A (aplus gz (ASort h n) n0) (ASort (minus h n0) 
62 n))))) (\lambda (h: nat).(\lambda (_: (le O h)).(eq_ind nat h (\lambda (n0: 
63 nat).(eq A (ASort h n) (ASort n0 n))) (refl_equal A (ASort h n)) (minus h O) 
64 (minus_n_O h)))) (\lambda (k0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (h: nat).((le k0 
65 h) \to (eq A (aplus gz (ASort h n) k0) (ASort (minus h k0) n)))))).(\lambda 
66 (h: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).((le (S k0) n0) \to (eq A (asucc gz 
67 (aplus gz (ASort n0 n) k0)) (ASort (minus n0 (S k0)) n)))) (\lambda (H: (le 
68 (S k0) O)).(ex2_ind nat (\lambda (n0: nat).(eq nat O (S n0))) (\lambda (n0: 
69 nat).(le k0 n0)) (eq A (asucc gz (aplus gz (ASort O n) k0)) (ASort O n)) 
70 (\lambda (x: nat).(\lambda (H0: (eq nat O (S x))).(\lambda (_: (le k0 
71 x)).(let H2 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match ee with [O 
72 \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I (S x) H0) in (False_ind (eq A 
73 (asucc gz (aplus gz (ASort O n) k0)) (ASort O n)) H2))))) (le_gen_S k0 O H))) 
74 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (((le (S k0) n0) \to (eq A (asucc gz (aplus 
75 gz (ASort n0 n) k0)) (ASort (minus n0 (S k0)) n))))).(\lambda (H0: (le (S k0) 
76 (S n0))).(let H_y \def (le_S_n k0 n0 H0) in (eq_ind A (aplus gz (ASort n0 n) 
77 k0) (\lambda (a: A).(eq A (asucc gz (aplus gz (ASort (S n0) n) k0)) a)) 
78 (eq_ind A (aplus gz (asucc gz (ASort (S n0) n)) k0) (\lambda (a: A).(eq A a 
79 (aplus gz (ASort n0 n) k0))) (refl_equal A (aplus gz (ASort n0 n) k0)) (asucc 
80 gz (aplus gz (ASort (S n0) n) k0)) (aplus_asucc gz k0 (ASort (S n0) n))) 
81 (ASort (minus n0 k0) n) (IH n0 H_y)))))) h)))) k)).
82
83 lemma next_plus_gz:
84  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(eq nat (next_plus gz n h) (plus h n)))
85 \def
86  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat 
87 (next_plus gz n n0) (plus n0 n))) (refl_equal nat n) (\lambda (n0: 
88 nat).(\lambda (H: (eq nat (next_plus gz n n0) (plus n0 n))).(f_equal nat nat 
89 S (next_plus gz n n0) (plus n0 n) H))) h)).
90
91 lemma leqz_leq:
92  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq gz a1 a2) \to (leqz a1 a2)))
93 \def
94  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq gz a1 a2)).(leq_ind gz 
95 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leqz a a0))) (\lambda (h1: nat).(\lambda 
96 (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda 
97 (H0: (eq A (aplus gz (ASort h1 n1) k) (aplus gz (ASort h2 n2) k))).(lt_le_e k 
98 h1 (leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n2)) (\lambda (H1: (lt k h1)).(lt_le_e k h2 
99 (leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n2)) (\lambda (H2: (lt k h2)).(let H3 \def 
100 (eq_ind A (aplus gz (ASort h1 n1) k) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus gz (ASort 
101 h2 n2) k))) H0 (ASort (minus h1 k) n1) (aplus_gz_ge n1 k h1 (le_S_n k h1 
102 (le_S_n (S k) (S h1) (le_S (S (S k)) (S h1) (le_n_S (S k) h1 H1)))))) in (let 
103 H4 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h2 n2) k) (\lambda (a: A).(eq A (ASort 
104 (minus h1 k) n1) a)) H3 (ASort (minus h2 k) n2) (aplus_gz_ge n2 k h2 (le_S_n 
105 k h2 (le_S_n (S k) (S h2) (le_S (S (S k)) (S h2) (le_n_S (S k) h2 H2)))))) in 
106 (let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort n _) 
107 \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow (minus h1 k)])) (ASort (minus h1 k) 
108 n1) (ASort (minus h2 k) n2) H4) in ((let H6 \def (f_equal A nat (\lambda (e: 
109 A).(match e with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow n1])) 
110 (ASort (minus h1 k) n1) (ASort (minus h2 k) n2) H4) in (\lambda (H7: (eq nat 
111 (minus h1 k) (minus h2 k))).(eq_ind nat n1 (\lambda (n: nat).(leqz (ASort h1 
112 n1) (ASort h2 n))) (eq_ind nat h1 (\lambda (n: nat).(leqz (ASort h1 n1) 
113 (ASort n n1))) (leqz_sort h1 h1 n1 n1 (refl_equal nat (plus h1 n1))) h2 
114 (minus_minus k h1 h2 (le_S_n k h1 (le_S_n (S k) (S h1) (le_S (S (S k)) (S h1) 
115 (le_n_S (S k) h1 H1)))) (le_S_n k h2 (le_S_n (S k) (S h2) (le_S (S (S k)) (S 
116 h2) (le_n_S (S k) h2 H2)))) H7)) n2 H6))) H5))))) (\lambda (H2: (le h2 
117 k)).(let H3 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h1 n1) k) (\lambda (a: A).(eq A a 
118 (aplus gz (ASort h2 n2) k))) H0 (ASort (minus h1 k) n1) (aplus_gz_ge n1 k h1 
119 (le_S_n k h1 (le_S_n (S k) (S h1) (le_S (S (S k)) (S h1) (le_n_S (S k) h1 
120 H1)))))) in (let H4 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h2 n2) k) (\lambda (a: 
121 A).(eq A (ASort (minus h1 k) n1) a)) H3 (ASort O (plus (minus k h2) n2)) 
122 (aplus_gz_le k h2 n2 H2)) in (let H5 \def (eq_ind nat (minus h1 k) (\lambda 
123 (n: nat).(eq A (ASort n n1) (ASort O (plus (minus k h2) n2)))) H4 (S (minus 
124 h1 (S k))) (minus_x_Sy h1 k H1)) in (let H6 \def (eq_ind A (ASort (S (minus 
125 h1 (S k))) n1) (\lambda (ee: A).(match ee with [(ASort n _) \Rightarrow 
126 (match n with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True]) | (AHead _ _) 
127 \Rightarrow False])) I (ASort O (plus (minus k h2) n2)) H5) in (False_ind 
128 (leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n2)) H6)))))))) (\lambda (H1: (le h1 
129 k)).(lt_le_e k h2 (leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n2)) (\lambda (H2: (lt k 
130 h2)).(let H3 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h1 n1) k) (\lambda (a: A).(eq A 
131 a (aplus gz (ASort h2 n2) k))) H0 (ASort O (plus (minus k h1) n1)) 
132 (aplus_gz_le k h1 n1 H1)) in (let H4 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h2 n2) 
133 k) (\lambda (a: A).(eq A (ASort O (plus (minus k h1) n1)) a)) H3 (ASort 
134 (minus h2 k) n2) (aplus_gz_ge n2 k h2 (le_S_n k h2 (le_S_n (S k) (S h2) (le_S 
135 (S (S k)) (S h2) (le_n_S (S k) h2 H2)))))) in (let H5 \def (sym_eq A (ASort O 
136 (plus (minus k h1) n1)) (ASort (minus h2 k) n2) H4) in (let H6 \def (eq_ind 
137 nat (minus h2 k) (\lambda (n: nat).(eq A (ASort n n2) (ASort O (plus (minus k 
138 h1) n1)))) H5 (S (minus h2 (S k))) (minus_x_Sy h2 k H2)) in (let H7 \def 
139 (eq_ind A (ASort (S (minus h2 (S k))) n2) (\lambda (ee: A).(match ee with 
140 [(ASort n _) \Rightarrow (match n with [O \Rightarrow False | (S _) 
141 \Rightarrow True]) | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (ASort O (plus (minus 
142 k h1) n1)) H6) in (False_ind (leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n2)) H7))))))) 
143 (\lambda (H2: (le h2 k)).(let H3 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h1 n1) k) 
144 (\lambda (a: A).(eq A a (aplus gz (ASort h2 n2) k))) H0 (ASort O (plus (minus 
145 k h1) n1)) (aplus_gz_le k h1 n1 H1)) in (let H4 \def (eq_ind A (aplus gz 
146 (ASort h2 n2) k) (\lambda (a: A).(eq A (ASort O (plus (minus k h1) n1)) a)) 
147 H3 (ASort O (plus (minus k h2) n2)) (aplus_gz_le k h2 n2 H2)) in (let H5 \def 
148 (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ n) \Rightarrow n | 
149 (AHead _ _) \Rightarrow (plus (minus k h1) n1)])) (ASort O (plus (minus k h1) 
150 n1)) (ASort O (plus (minus k h2) n2)) H4) in (let H_y \def (plus_plus k h1 h2 
151 n1 n2 H1 H2 H5) in (leqz_sort h1 h2 n1 n2 H_y))))))))))))))) (\lambda (a0: 
152 A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_: (leq gz a0 a3)).(\lambda (H1: (leqz a0 
153 a3)).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(\lambda (_: (leq gz a4 a5)).(\lambda 
154 (H3: (leqz a4 a5)).(leqz_head a0 a3 H1 a4 a5 H3))))))))) a1 a2 H))).
155
156 lemma leq_leqz:
157  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leqz a1 a2) \to (leq gz a1 a2)))
158 \def
159  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leqz a1 a2)).(leqz_ind 
160 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leq gz a a0))) (\lambda (h1: nat).(\lambda 
161 (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (H0: (eq nat (plus 
162 h1 n2) (plus h2 n1))).(leq_sort gz h1 h2 n1 n2 (plus h1 h2) (eq_ind_r A 
163 (ASort (minus h1 (plus h1 h2)) (next_plus gz n1 (minus (plus h1 h2) h1))) 
164 (\lambda (a: A).(eq A a (aplus gz (ASort h2 n2) (plus h1 h2)))) (eq_ind_r A 
165 (ASort (minus h2 (plus h1 h2)) (next_plus gz n2 (minus (plus h1 h2) h2))) 
166 (\lambda (a: A).(eq A (ASort (minus h1 (plus h1 h2)) (next_plus gz n1 (minus 
167 (plus h1 h2) h1))) a)) (eq_ind_r nat h2 (\lambda (n: nat).(eq A (ASort (minus 
168 h1 (plus h1 h2)) (next_plus gz n1 n)) (ASort (minus h2 (plus h1 h2)) 
169 (next_plus gz n2 (minus (plus h1 h2) h2))))) (eq_ind_r nat h1 (\lambda (n: 
170 nat).(eq A (ASort (minus h1 (plus h1 h2)) (next_plus gz n1 h2)) (ASort (minus 
171 h2 (plus h1 h2)) (next_plus gz n2 n)))) (eq_ind_r nat O (\lambda (n: nat).(eq 
172 A (ASort n (next_plus gz n1 h2)) (ASort (minus h2 (plus h1 h2)) (next_plus gz 
173 n2 h1)))) (eq_ind_r nat O (\lambda (n: nat).(eq A (ASort O (next_plus gz n1 
174 h2)) (ASort n (next_plus gz n2 h1)))) (eq_ind_r nat (plus h2 n1) (\lambda (n: 
175 nat).(eq A (ASort O n) (ASort O (next_plus gz n2 h1)))) (eq_ind_r nat (plus 
176 h1 n2) (\lambda (n: nat).(eq A (ASort O (plus h2 n1)) (ASort O n))) (f_equal 
177 nat A (ASort O) (plus h2 n1) (plus h1 n2) (sym_eq nat (plus h1 n2) (plus h2 
178 n1) H0)) (next_plus gz n2 h1) (next_plus_gz n2 h1)) (next_plus gz n1 h2) 
179 (next_plus_gz n1 h2)) (minus h2 (plus h1 h2)) (O_minus h2 (plus h1 h2) 
180 (le_plus_r h1 h2))) (minus h1 (plus h1 h2)) (O_minus h1 (plus h1 h2) 
181 (le_plus_l h1 h2))) (minus (plus h1 h2) h2) (minus_plus_r h1 h2)) (minus 
182 (plus h1 h2) h1) (minus_plus h1 h2)) (aplus gz (ASort h2 n2) (plus h1 h2)) 
183 (aplus_asort_simpl gz (plus h1 h2) h2 n2)) (aplus gz (ASort h1 n1) (plus h1 
184 h2)) (aplus_asort_simpl gz (plus h1 h2) h1 n1)))))))) (\lambda (a0: 
185 A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_: (leqz a0 a3)).(\lambda (H1: (leq gz a0 
186 a3)).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(\lambda (_: (leqz a4 a5)).(\lambda 
187 (H3: (leq gz a4 a5)).(leq_head gz a0 a3 H1 a4 a5 H3))))))))) a1 a2 H))).
188