matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/sc3/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/sc3/defs.ma".
  18
  19 include "basic_1/sn3/lift1.ma".
  20
  21 include "basic_1/nf2/lift1.ma".
  22
  23 include "basic_1/csuba/arity.ma".
  24
  25 include "basic_1/arity/lift1.ma".
  26
  27 include "basic_1/arity/aprem.ma".
  28
  29 include "basic_1/llt/props.ma".
  30
  31 include "basic_1/llt/fwd.ma".
  32
  33 include "basic_1/drop1/getl.ma".
  34
  35 include "basic_1/drop1/props.ma".
  36
  37 include "basic_1/lift1/drop1.ma".
  38
  39 lemma sc3_arity_gen:
  40  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((sc3 g a c
  41 t) \to (arity g c t a)))))
  42 \def
  43  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(A_ind
  44 (\lambda (a0: A).((sc3 g a0 c t) \to (arity g c t a0))) (\lambda (n:
  45 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (land (arity g c t (ASort n n0)) (sn3 c
  46 t))).(let H0 \def H in (land_ind (arity g c t (ASort n n0)) (sn3 c t) (arity
  47 g c t (ASort n n0)) (\lambda (H1: (arity g c t (ASort n n0))).(\lambda (_:
  48 (sn3 c t)).H1)) H0))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (_: (((sc3 g a0 c t) \to
  49 (arity g c t a0)))).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (((sc3 g a1 c t) \to (arity
  50 g c t a1)))).(\lambda (H1: (land (arity g c t (AHead a0 a1)) (\forall (d:
  51 C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c)
  52 \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is t)))))))))).(let H2 \def H1 in
  53 (land_ind (arity g c t (AHead a0 a1)) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g
  54 a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1 d (THead (Flat
  55 Appl) w (lift1 is t)))))))) (arity g c t (AHead a0 a1)) (\lambda (H3: (arity
  56 g c t (AHead a0 a1))).(\lambda (_: ((\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g
  57 a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1 d (THead (Flat
  58 Appl) w (lift1 is t)))))))))).H3)) H2))))))) a)))).
  59
  60 lemma sc3_repl:
  61  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g a1 c
  62 t) \to (\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (sc3 g a2 c t)))))))
  63 \def
  64  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(llt_wf_ind (\lambda (a: A).(\forall (c:
  65 C).(\forall (t: T).((sc3 g a c t) \to (\forall (a2: A).((leq g a a2) \to (sc3
  66 g a2 c t))))))) (\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a: A).(((\forall (a3:
  67 A).((llt a3 a) \to (\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g a3 c t) \to
  68 (\forall (a4: A).((leq g a3 a4) \to (sc3 g a4 c t))))))))) \to (\forall (c:
  69 C).(\forall (t: T).((sc3 g a c t) \to (\forall (a3: A).((leq g a a3) \to (sc3
  70 g a3 c t)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (_: ((\forall
  71 (a3: A).((llt a3 (ASort n n0)) \to (\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g a3
  72 c t) \to (\forall (a4: A).((leq g a3 a4) \to (sc3 g a4 c t)))))))))).(\lambda
  73 (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (H0: (land (arity g c t (ASort n n0)) (sn3 c
  74 t))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g (ASort n n0) a3)).(let H2 \def H0
  75 in (land_ind (arity g c t (ASort n n0)) (sn3 c t) (sc3 g a3 c t) (\lambda
  76 (H3: (arity g c t (ASort n n0))).(\lambda (H4: (sn3 c t)).(let H_y \def
  77 (arity_repl g c t (ASort n n0) H3 a3 H1) in (let H_x \def (leq_gen_sort1 g n
  78 n0 a3 H1) in (let H5 \def H_x in (ex2_3_ind nat nat nat (\lambda (n2:
  79 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort n n0) k)
  80 (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
  81 (_: nat).(eq A a3 (ASort h2 n2))))) (sc3 g a3 c t) (\lambda (x0:
  82 nat).(\lambda (x1: nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (_: (eq A (aplus g (ASort
  83 n n0) x2) (aplus g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H7: (eq A a3 (ASort x1
  84 x0))).(let H8 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).e) a3 (ASort x1 x0) H7) in
  85 (let H9 \def (eq_ind A a3 (\lambda (a: A).(arity g c t a)) H_y (ASort x1 x0)
  86 H8) in (eq_ind_r A (ASort x1 x0) (\lambda (a: A).(sc3 g a c t)) (conj (arity
  87 g c t (ASort x1 x0)) (sn3 c t) H9 H4) a3 H8)))))))) H5)))))) H2))))))))))
  88 (\lambda (a: A).(\lambda (_: ((((\forall (a3: A).((llt a3 a) \to (\forall (c:
  89 C).(\forall (t: T).((sc3 g a3 c t) \to (\forall (a4: A).((leq g a3 a4) \to
  90 (sc3 g a4 c t))))))))) \to (\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g a c t) \to
  91 (\forall (a3: A).((leq g a a3) \to (sc3 g a3 c t))))))))).(\lambda (a0:
  92 A).(\lambda (H0: ((((\forall (a3: A).((llt a3 a0) \to (\forall (c:
  93 C).(\forall (t: T).((sc3 g a3 c t) \to (\forall (a4: A).((leq g a3 a4) \to
  94 (sc3 g a4 c t))))))))) \to (\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g a0 c t)
  95 \to (\forall (a3: A).((leq g a0 a3) \to (sc3 g a3 c t))))))))).(\lambda (H1:
  96 ((\forall (a3: A).((llt a3 (AHead a a0)) \to (\forall (c: C).(\forall (t:
  97 T).((sc3 g a3 c t) \to (\forall (a4: A).((leq g a3 a4) \to (sc3 g a4 c
  98 t)))))))))).(\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (H2: (land (arity g c t
  99 (AHead a a0)) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a d w) \to (\forall
 100 (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is
 101 t)))))))))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H3: (leq g (AHead a a0) a3)).(let H4
 102 \def H2 in (land_ind (arity g c t (AHead a a0)) (\forall (d: C).(\forall (w:
 103 T).((sc3 g a d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a0 d
 104 (THead (Flat Appl) w (lift1 is t)))))))) (sc3 g a3 c t) (\lambda (H5: (arity
 105 g c t (AHead a a0))).(\lambda (H6: ((\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a
 106 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a0 d (THead (Flat
 107 Appl) w (lift1 is t)))))))))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a a0 a3 H3) in
 108 (let H7 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a4: A).(\lambda (_: A).(leq g a
 109 a4))) (\lambda (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a0 a5))) (\lambda (a4:
 110 A).(\lambda (a5: A).(eq A a3 (AHead a4 a5)))) (sc3 g a3 c t) (\lambda (x0:
 111 A).(\lambda (x1: A).(\lambda (H8: (leq g a x0)).(\lambda (H9: (leq g a0
 112 x1)).(\lambda (H10: (eq A a3 (AHead x0 x1))).(let H11 \def (f_equal A A
 113 (\lambda (e: A).e) a3 (AHead x0 x1) H10) in (eq_ind_r A (AHead x0 x1)
 114 (\lambda (a4: A).(sc3 g a4 c t)) (conj (arity g c t (AHead x0 x1)) (\forall
 115 (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g x0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d
 116 c) \to (sc3 g x1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is t)))))))) (arity_repl g c t
 117 (AHead a a0) H5 (AHead x0 x1) (leq_head g a x0 H8 a0 x1 H9)) (\lambda (d:
 118 C).(\lambda (w: T).(\lambda (H12: (sc3 g x0 d w)).(\lambda (is:
 119 PList).(\lambda (H13: (drop1 is d c)).(H0 (\lambda (a4: A).(\lambda (H14:
 120 (llt a4 a0)).(\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (H15: (sc3 g a4 c0
 121 t0)).(\lambda (a5: A).(\lambda (H16: (leq g a4 a5)).(H1 a4 (llt_trans a4 a0
 122 (AHead a a0) H14 (llt_head_dx a a0)) c0 t0 H15 a5 H16)))))))) d (THead (Flat
 123 Appl) w (lift1 is t)) (H6 d w (H1 x0 (llt_repl g a x0 H8 (AHead a a0)
 124 (llt_head_sx a a0)) d w H12 a (leq_sym g a x0 H8)) is H13) x1 H9))))))) a3
 125 H11))))))) H7))))) H4)))))))))))) a2)) a1)).
 126
 127 lemma sc3_lift:
 128  \forall (g: G).(\forall (a: A).(\forall (e: C).(\forall (t: T).((sc3 g a e
 129 t) \to (\forall (c: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c e)
 130 \to (sc3 g a c (lift h d t))))))))))
 131 \def
 132  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(\forall (e:
 133 C).(\forall (t: T).((sc3 g a0 e t) \to (\forall (c: C).(\forall (h:
 134 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c e) \to (sc3 g a0 c (lift h d t))))))))))
 135 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (e: C).(\lambda (t: T).(\lambda
 136 (H: (land (arity g e t (ASort n n0)) (sn3 e t))).(\lambda (c: C).(\lambda (h:
 137 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (drop h d c e)).(let H1 \def H in
 138 (land_ind (arity g e t (ASort n n0)) (sn3 e t) (land (arity g c (lift h d t)
 139 (ASort n n0)) (sn3 c (lift h d t))) (\lambda (H2: (arity g e t (ASort n
 140 n0))).(\lambda (H3: (sn3 e t)).(conj (arity g c (lift h d t) (ASort n n0))
 141 (sn3 c (lift h d t)) (arity_lift g e t (ASort n n0) H2 c h d H0) (sn3_lift e
 142 t H3 c h d H0)))) H1))))))))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (_: ((\forall (e:
 143 C).(\forall (t: T).((sc3 g a0 e t) \to (\forall (c: C).(\forall (h:
 144 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c e) \to (sc3 g a0 c (lift h d
 145 t))))))))))).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: ((\forall (e: C).(\forall (t:
 146 T).((sc3 g a1 e t) \to (\forall (c: C).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 147 nat).((drop h d c e) \to (sc3 g a1 c (lift h d t))))))))))).(\lambda (e:
 148 C).(\lambda (t: T).(\lambda (H1: (land (arity g e t (AHead a0 a1)) (\forall
 149 (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d
 150 e) \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is t)))))))))).(\lambda (c:
 151 C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (drop h d c e)).(let H3
 152 \def H1 in (land_ind (arity g e t (AHead a0 a1)) (\forall (d0: C).(\forall
 153 (w: T).((sc3 g a0 d0 w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d0 e) \to (sc3 g
 154 a1 d0 (THead (Flat Appl) w (lift1 is t)))))))) (land (arity g c (lift h d t)
 155 (AHead a0 a1)) (\forall (d0: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d0 w) \to (\forall
 156 (is: PList).((drop1 is d0 c) \to (sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w (lift1 is
 157 (lift h d t)))))))))) (\lambda (H4: (arity g e t (AHead a0 a1))).(\lambda
 158 (H5: ((\forall (d0: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d0 w) \to (\forall (is:
 159 PList).((drop1 is d0 e) \to (sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w (lift1 is
 160 t)))))))))).(conj (arity g c (lift h d t) (AHead a0 a1)) (\forall (d0:
 161 C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d0 w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d0 c)
 162 \to (sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w (lift1 is (lift h d t)))))))))
 163 (arity_lift g e t (AHead a0 a1) H4 c h d H2) (\lambda (d0: C).(\lambda (w:
 164 T).(\lambda (H6: (sc3 g a0 d0 w)).(\lambda (is: PList).(\lambda (H7: (drop1
 165 is d0 c)).(let H_y \def (H5 d0 w H6 (PConsTail is h d)) in (eq_ind T (lift1
 166 (PConsTail is h d) t) (\lambda (t0: T).(sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w
 167 t0))) (H_y (drop1_cons_tail c e h d H2 is d0 H7)) (lift1 is (lift h d t))
 168 (lift1_cons_tail t h d is))))))))))) H3))))))))))))) a)).
 169
 170 lemma sc3_lift1:
 171  \forall (g: G).(\forall (e: C).(\forall (a: A).(\forall (hds:
 172 PList).(\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g a e t) \to ((drop1 hds c e)
 173 \to (sc3 g a c (lift1 hds t)))))))))
 174 \def
 175  \lambda (g: G).(\lambda (e: C).(\lambda (a: A).(\lambda (hds:
 176 PList).(PList_ind (\lambda (p: PList).(\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g
 177 a e t) \to ((drop1 p c e) \to (sc3 g a c (lift1 p t))))))) (\lambda (c:
 178 C).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (sc3 g a e t)).(\lambda (H0: (drop1 PNil c
 179 e)).(let H_y \def (drop1_gen_pnil c e H0) in (eq_ind_r C e (\lambda (c0:
 180 C).(sc3 g a c0 t)) H c H_y)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (n0:
 181 nat).(\lambda (p: PList).(\lambda (H: ((\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3
 182 g a e t) \to ((drop1 p c e) \to (sc3 g a c (lift1 p t)))))))).(\lambda (c:
 183 C).(\lambda (t: T).(\lambda (H0: (sc3 g a e t)).(\lambda (H1: (drop1 (PCons n
 184 n0 p) c e)).(let H_x \def (drop1_gen_pcons c e p n n0 H1) in (let H2 \def H_x
 185 in (ex2_ind C (\lambda (c2: C).(drop n n0 c c2)) (\lambda (c2: C).(drop1 p c2
 186 e)) (sc3 g a c (lift n n0 (lift1 p t))) (\lambda (x: C).(\lambda (H3: (drop n
 187 n0 c x)).(\lambda (H4: (drop1 p x e)).(sc3_lift g a x (lift1 p t) (H x t H0
 188 H4) c n n0 H3)))) H2))))))))))) hds)))).
 189
 190 lemma sc3_abbr:
 191  \forall (g: G).(\forall (a: A).(\forall (vs: TList).(\forall (i:
 192 nat).(\forall (d: C).(\forall (v: T).(\forall (c: C).((sc3 g a c (THeads
 193 (Flat Appl) vs (lift (S i) O v))) \to ((getl i c (CHead d (Bind Abbr) v)) \to
 194 (sc3 g a c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)))))))))))
 195 \def
 196  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(\forall (vs:
 197 TList).(\forall (i: nat).(\forall (d: C).(\forall (v: T).(\forall (c:
 198 C).((sc3 g a0 c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v))) \to ((getl i c
 199 (CHead d (Bind Abbr) v)) \to (sc3 g a0 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef
 200 i))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (vs:
 201 TList).(\lambda (i: nat).(\lambda (d: C).(\lambda (v: T).(\lambda (c:
 202 C).(\lambda (H: (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v))
 203 (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v))))).(\lambda
 204 (H0: (getl i c (CHead d (Bind Abbr) v))).(let H1 \def H in (land_ind (arity g
 205 c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v)) (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat
 206 Appl) vs (lift (S i) O v))) (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef
 207 i)) (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)))) (\lambda (H2:
 208 (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v)) (ASort n n0))).(\lambda
 209 (H3: (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v)))).(conj (arity g c
 210 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs
 211 (TLRef i))) (arity_appls_abbr g c d v i H0 vs (ASort n n0) H2)
 212 (sn3_appls_abbr c d v i H0 vs H3)))) H1))))))))))) (\lambda (a0: A).(\lambda
 213 (_: ((\forall (vs: TList).(\forall (i: nat).(\forall (d: C).(\forall (v:
 214 T).(\forall (c: C).((sc3 g a0 c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v))) \to
 215 ((getl i c (CHead d (Bind Abbr) v)) \to (sc3 g a0 c (THeads (Flat Appl) vs
 216 (TLRef i)))))))))))).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: ((\forall (vs:
 217 TList).(\forall (i: nat).(\forall (d: C).(\forall (v: T).(\forall (c:
 218 C).((sc3 g a1 c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v))) \to ((getl i c
 219 (CHead d (Bind Abbr) v)) \to (sc3 g a1 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef
 220 i)))))))))))).(\lambda (vs: TList).(\lambda (i: nat).(\lambda (d: C).(\lambda
 221 (v: T).(\lambda (c: C).(\lambda (H1: (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs
 222 (lift (S i) O v)) (AHead a0 a1)) (\forall (d0: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0
 223 d0 w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d0 c) \to (sc3 g a1 d0 (THead (Flat
 224 Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v)))))))))))).(\lambda
 225 (H2: (getl i c (CHead d (Bind Abbr) v))).(let H3 \def H1 in (land_ind (arity
 226 g c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v)) (AHead a0 a1)) (\forall (d0:
 227 C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d0 w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d0 c)
 228 \to (sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (lift
 229 (S i) O v)))))))))) (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (AHead
 230 a0 a1)) (\forall (d0: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d0 w) \to (\forall (is:
 231 PList).((drop1 is d0 c) \to (sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w (lift1 is
 232 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))))))))))) (\lambda (H4: (arity g c (THeads
 233 (Flat Appl) vs (lift (S i) O v)) (AHead a0 a1))).(\lambda (H5: ((\forall (d0:
 234 C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d0 w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d0 c)
 235 \to (sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (lift
 236 (S i) O v)))))))))))).(conj (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))
 237 (AHead a0 a1)) (\forall (d0: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d0 w) \to (\forall
 238 (is: PList).((drop1 is d0 c) \to (sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w (lift1 is
 239 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)))))))))) (arity_appls_abbr g c d v i H2 vs
 240 (AHead a0 a1) H4) (\lambda (d0: C).(\lambda (w: T).(\lambda (H6: (sc3 g a0 d0
 241 w)).(\lambda (is: PList).(\lambda (H7: (drop1 is d0 c)).(let H_x \def
 242 (drop1_getl_trans is c d0 H7 Abbr d v i H2) in (let H8 \def H_x in (ex2_ind C
 243 (\lambda (e2: C).(drop1 (ptrans is i) e2 d)) (\lambda (e2: C).(getl (trans is
 244 i) d0 (CHead e2 (Bind Abbr) (lift1 (ptrans is i) v)))) (sc3 g a1 d0 (THead
 245 (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))))) (\lambda (x:
 246 C).(\lambda (_: (drop1 (ptrans is i) x d)).(\lambda (H10: (getl (trans is i)
 247 d0 (CHead x (Bind Abbr) (lift1 (ptrans is i) v)))).(let H_y \def (H0 (TCons w
 248 (lifts1 is vs))) in (eq_ind_r T (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs) (lift1 is
 249 (TLRef i))) (\lambda (t: T).(sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w t))) (eq_ind_r
 250 T (TLRef (trans is i)) (\lambda (t: T).(sc3 g a1 d0 (THead (Flat Appl) w
 251 (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs) t)))) (H_y (trans is i) x (lift1 (ptrans
 252 is i) v) d0 (eq_ind T (lift1 is (lift (S i) O v)) (\lambda (t: T).(sc3 g a1
 253 d0 (THead (Flat Appl) w (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs) t)))) (eq_ind T
 254 (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v))) (\lambda (t: T).(sc3 g a1
 255 d0 (THead (Flat Appl) w t))) (H5 d0 w H6 is H7) (THeads (Flat Appl) (lifts1
 256 is vs) (lift1 is (lift (S i) O v))) (lifts1_flat Appl is (lift (S i) O v)
 257 vs)) (lift (S (trans is i)) O (lift1 (ptrans is i) v)) (lift1_free is i v))
 258 H10) (lift1 is (TLRef i)) (lift1_lref is i)) (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs
 259 (TLRef i))) (lifts1_flat Appl is (TLRef i) vs)))))) H8)))))))))))
 260 H3))))))))))))) a)).
 261
 262 theorem sc3_cast:
 263  \forall (g: G).(\forall (a: A).(\forall (vs: TList).(\forall (c: C).(\forall
 264 (u: T).((sc3 g (asucc g a) c (THeads (Flat Appl) vs u)) \to (\forall (t:
 265 T).((sc3 g a c (THeads (Flat Appl) vs t)) \to (sc3 g a c (THeads (Flat Appl)
 266 vs (THead (Flat Cast) u t))))))))))
 267 \def
 268  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(\forall (vs:
 269 TList).(\forall (c: C).(\forall (u: T).((sc3 g (asucc g a0) c (THeads (Flat
 270 Appl) vs u)) \to (\forall (t: T).((sc3 g a0 c (THeads (Flat Appl) vs t)) \to
 271 (sc3 g a0 c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)))))))))) (\lambda
 272 (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (vs: TList).(\lambda (c: C).(\lambda (u:
 273 T).(\lambda (H: (sc3 g (match n with [O \Rightarrow (ASort O (next g n0)) |
 274 (S h) \Rightarrow (ASort h n0)]) c (THeads (Flat Appl) vs u))).(\lambda (t:
 275 T).(\lambda (H0: (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs t) (ASort n n0))
 276 (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs t)))).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((sc3 g
 277 (match n1 with [O \Rightarrow (ASort O (next g n0)) | (S h) \Rightarrow
 278 (ASort h n0)]) c (THeads (Flat Appl) vs u)) \to ((land (arity g c (THeads
 279 (Flat Appl) vs t) (ASort n1 n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs t))) \to (land
 280 (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)) (ASort n1 n0))
 281 (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t))))))) (\lambda (H1:
 282 (sc3 g (ASort O (next g n0)) c (THeads (Flat Appl) vs u))).(\lambda (H2:
 283 (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs t) (ASort O n0)) (sn3 c (THeads (Flat
 284 Appl) vs t)))).(let H3 \def H1 in (land_ind (arity g c (THeads (Flat Appl) vs
 285 u) (ASort O (next g n0))) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs u)) (land (arity g c
 286 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)) (ASort O n0)) (sn3 c (THeads
 287 (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)))) (\lambda (H4: (arity g c (THeads
 288 (Flat Appl) vs u) (ASort O (next g n0)))).(\lambda (H5: (sn3 c (THeads (Flat
 289 Appl) vs u))).(let H6 \def H2 in (land_ind (arity g c (THeads (Flat Appl) vs
 290 t) (ASort O n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs t)) (land (arity g c (THeads
 291 (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)) (ASort O n0)) (sn3 c (THeads (Flat
 292 Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)))) (\lambda (H7: (arity g c (THeads (Flat
 293 Appl) vs t) (ASort O n0))).(\lambda (H8: (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs
 294 t))).(conj (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)) (ASort
 295 O n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)))
 296 (arity_appls_cast g c u t vs (ASort O n0) H4 H7) (sn3_appls_cast c vs u H5 t
 297 H8)))) H6)))) H3)))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((sc3 g (match n1 with
 298 [O \Rightarrow (ASort O (next g n0)) | (S h) \Rightarrow (ASort h n0)]) c
 299 (THeads (Flat Appl) vs u)) \to ((land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs t)
 300 (ASort n1 n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs t))) \to (land (arity g c
 301 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)) (ASort n1 n0)) (sn3 c (THeads
 302 (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)))))))).(\lambda (H1: (sc3 g (ASort n1
 303 n0) c (THeads (Flat Appl) vs u))).(\lambda (H2: (land (arity g c (THeads
 304 (Flat Appl) vs t) (ASort (S n1) n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs t)))).(let
 305 H3 \def H1 in (land_ind (arity g c (THeads (Flat Appl) vs u) (ASort n1 n0))
 306 (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs u)) (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs
 307 (THead (Flat Cast) u t)) (ASort (S n1) n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs
 308 (THead (Flat Cast) u t)))) (\lambda (H4: (arity g c (THeads (Flat Appl) vs u)
 309 (ASort n1 n0))).(\lambda (H5: (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs u))).(let H6 \def
 310 H2 in (land_ind (arity g c (THeads (Flat Appl) vs t) (ASort (S n1) n0)) (sn3
 311 c (THeads (Flat Appl) vs t)) (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead
 312 (Flat Cast) u t)) (ASort (S n1) n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (THead
 313 (Flat Cast) u t)))) (\lambda (H7: (arity g c (THeads (Flat Appl) vs t) (ASort
 314 (S n1) n0))).(\lambda (H8: (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs t))).(conj (arity g
 315 c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)) (ASort (S n1) n0)) (sn3 c
 316 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t))) (arity_appls_cast g c u t vs
 317 (ASort (S n1) n0) H4 H7) (sn3_appls_cast c vs u H5 t H8)))) H6)))) H3)))))) n
 318 H H0))))))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (_: ((\forall (vs: TList).(\forall
 319 (c: C).(\forall (u: T).((sc3 g (asucc g a0) c (THeads (Flat Appl) vs u)) \to
 320 (\forall (t: T).((sc3 g a0 c (THeads (Flat Appl) vs t)) \to (sc3 g a0 c
 321 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t))))))))))).(\lambda (a1:
 322 A).(\lambda (H0: ((\forall (vs: TList).(\forall (c: C).(\forall (u: T).((sc3
 323 g (asucc g a1) c (THeads (Flat Appl) vs u)) \to (\forall (t: T).((sc3 g a1 c
 324 (THeads (Flat Appl) vs t)) \to (sc3 g a1 c (THeads (Flat Appl) vs (THead
 325 (Flat Cast) u t))))))))))).(\lambda (vs: TList).(\lambda (c: C).(\lambda (u:
 326 T).(\lambda (H1: (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs u) (AHead a0 (asucc
 327 g a1))) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is:
 328 PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g (asucc g a1) d (THead (Flat Appl) w (lift1
 329 is (THeads (Flat Appl) vs u))))))))))).(\lambda (t: T).(\lambda (H2: (land
 330 (arity g c (THeads (Flat Appl) vs t) (AHead a0 a1)) (\forall (d: C).(\forall
 331 (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1
 332 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs t))))))))))).(let H3
 333 \def H1 in (land_ind (arity g c (THeads (Flat Appl) vs u) (AHead a0 (asucc g
 334 a1))) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is:
 335 PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g (asucc g a1) d (THead (Flat Appl) w (lift1
 336 is (THeads (Flat Appl) vs u))))))))) (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs
 337 (THead (Flat Cast) u t)) (AHead a0 a1)) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3
 338 g a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1 d (THead
 339 (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u
 340 t))))))))))) (\lambda (H4: (arity g c (THeads (Flat Appl) vs u) (AHead a0
 341 (asucc g a1)))).(\lambda (H5: ((\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d
 342 w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g (asucc g a1) d (THead
 343 (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs u))))))))))).(let H6 \def H2
 344 in (land_ind (arity g c (THeads (Flat Appl) vs t) (AHead a0 a1)) (\forall (d:
 345 C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c)
 346 \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs
 347 t))))))))) (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t))
 348 (AHead a0 a1)) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall
 349 (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is
 350 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t))))))))))) (\lambda (H7: (arity
 351 g c (THeads (Flat Appl) vs t) (AHead a0 a1))).(\lambda (H8: ((\forall (d:
 352 C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c)
 353 \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs
 354 t))))))))))).(conj (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t))
 355 (AHead a0 a1)) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall
 356 (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is
 357 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t)))))))))) (arity_appls_cast g c
 358 u t vs (AHead a0 a1) H4 H7) (\lambda (d: C).(\lambda (w: T).(\lambda (H9:
 359 (sc3 g a0 d w)).(\lambda (is: PList).(\lambda (H10: (drop1 is d c)).(let H_y
 360 \def (H0 (TCons w (lifts1 is vs))) in (eq_ind_r T (THeads (Flat Appl) (lifts1
 361 is vs) (lift1 is (THead (Flat Cast) u t))) (\lambda (t0: T).(sc3 g a1 d
 362 (THead (Flat Appl) w t0))) (eq_ind_r T (THead (Flat Cast) (lift1 is u) (lift1
 363 is t)) (\lambda (t0: T).(sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (THeads (Flat Appl)
 364 (lifts1 is vs) t0)))) (H_y d (lift1 is u) (eq_ind T (lift1 is (THeads (Flat
 365 Appl) vs u)) (\lambda (t0: T).(sc3 g (asucc g a1) d (THead (Flat Appl) w
 366 t0))) (H5 d w H9 is H10) (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs) (lift1 is u))
 367 (lifts1_flat Appl is u vs)) (lift1 is t) (eq_ind T (lift1 is (THeads (Flat
 368 Appl) vs t)) (\lambda (t0: T).(sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w t0))) (H8 d w
 369 H9 is H10) (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs) (lift1 is t)) (lifts1_flat Appl
 370 is t vs))) (lift1 is (THead (Flat Cast) u t)) (lift1_flat Cast is u t))
 371 (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Cast) u t))) (lifts1_flat Appl
 372 is (THead (Flat Cast) u t) vs))))))))))) H6)))) H3)))))))))))) a)).
 373
 374 fact sc3_props__sc3_sn3_abst:
 375  \forall (g: G).(\forall (a: A).(land (\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g
 376 a c t) \to (sn3 c t)))) (\forall (vs: TList).(\forall (i: nat).(let t \def
 377 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) in (\forall (c: C).((arity g c t a) \to
 378 ((nf2 c (TLRef i)) \to ((sns3 c vs) \to (sc3 g a c t))))))))))
 379 \def
 380  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(land (\forall (c:
 381 C).(\forall (t: T).((sc3 g a0 c t) \to (sn3 c t)))) (\forall (vs:
 382 TList).(\forall (i: nat).(let t \def (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) in
 383 (\forall (c: C).((arity g c t a0) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((sns3 c vs) \to
 384 (sc3 g a0 c t)))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(conj (\forall
 385 (c: C).(\forall (t: T).((land (arity g c t (ASort n n0)) (sn3 c t)) \to (sn3
 386 c t)))) (\forall (vs: TList).(\forall (i: nat).(\forall (c: C).((arity g c
 387 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (ASort n n0)) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to
 388 ((sns3 c vs) \to (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (ASort n
 389 n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)))))))))) (\lambda (c:
 390 C).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (land (arity g c t (ASort n n0)) (sn3 c
 391 t))).(let H0 \def H in (land_ind (arity g c t (ASort n n0)) (sn3 c t) (sn3 c
 392 t) (\lambda (_: (arity g c t (ASort n n0))).(\lambda (H2: (sn3 c t)).H2))
 393 H0))))) (\lambda (vs: TList).(\lambda (i: nat).(\lambda (c: C).(\lambda (H:
 394 (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (ASort n n0))).(\lambda (H0:
 395 (nf2 c (TLRef i))).(\lambda (H1: (sns3 c vs)).(conj (arity g c (THeads (Flat
 396 Appl) vs (TLRef i)) (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))) H
 397 (sn3_appls_lref c i H0 vs H1))))))))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (H: (land
 398 (\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g a0 c t) \to (sn3 c t)))) (\forall
 399 (vs: TList).(\forall (i: nat).(\forall (c: C).((arity g c (THeads (Flat Appl)
 400 vs (TLRef i)) a0) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((sns3 c vs) \to (sc3 g a0 c
 401 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))))))))))).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0:
 402 (land (\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g a1 c t) \to (sn3 c t))))
 403 (\forall (vs: TList).(\forall (i: nat).(\forall (c: C).((arity g c (THeads
 404 (Flat Appl) vs (TLRef i)) a1) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((sns3 c vs) \to
 405 (sc3 g a1 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))))))))))).(conj (\forall (c:
 406 C).(\forall (t: T).((land (arity g c t (AHead a0 a1)) (\forall (d:
 407 C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c)
 408 \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is t))))))))) \to (sn3 c t))))
 409 (\forall (vs: TList).(\forall (i: nat).(\forall (c: C).((arity g c (THeads
 410 (Flat Appl) vs (TLRef i)) (AHead a0 a1)) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((sns3 c
 411 vs) \to (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (AHead a0 a1))
 412 (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is:
 413 PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads
 414 (Flat Appl) vs (TLRef i))))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (t:
 415 T).(\lambda (H1: (land (arity g c t (AHead a0 a1)) (\forall (d: C).(\forall
 416 (w: T).((sc3 g a0 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1
 417 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is t)))))))))).(let H2 \def H in (land_ind
 418 (\forall (c0: C).(\forall (t0: T).((sc3 g a0 c0 t0) \to (sn3 c0 t0))))
 419 (\forall (vs: TList).(\forall (i: nat).(\forall (c0: C).((arity g c0 (THeads
 420 (Flat Appl) vs (TLRef i)) a0) \to ((nf2 c0 (TLRef i)) \to ((sns3 c0 vs) \to
 421 (sc3 g a0 c0 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))))))))) (sn3 c t) (\lambda (_:
 422 ((\forall (c0: C).(\forall (t0: T).((sc3 g a0 c0 t0) \to (sn3 c0
 423 t0)))))).(\lambda (H4: ((\forall (vs: TList).(\forall (i: nat).(\forall (c0:
 424 C).((arity g c0 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) a0) \to ((nf2 c0 (TLRef i))
 425 \to ((sns3 c0 vs) \to (sc3 g a0 c0 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef
 426 i))))))))))).(let H5 \def H0 in (land_ind (\forall (c0: C).(\forall (t0:
 427 T).((sc3 g a1 c0 t0) \to (sn3 c0 t0)))) (\forall (vs: TList).(\forall (i:
 428 nat).(\forall (c0: C).((arity g c0 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) a1) \to
 429 ((nf2 c0 (TLRef i)) \to ((sns3 c0 vs) \to (sc3 g a1 c0 (THeads (Flat Appl) vs
 430 (TLRef i))))))))) (sn3 c t) (\lambda (H6: ((\forall (c0: C).(\forall (t0:
 431 T).((sc3 g a1 c0 t0) \to (sn3 c0 t0)))))).(\lambda (_: ((\forall (vs:
 432 TList).(\forall (i: nat).(\forall (c0: C).((arity g c0 (THeads (Flat Appl) vs
 433 (TLRef i)) a1) \to ((nf2 c0 (TLRef i)) \to ((sns3 c0 vs) \to (sc3 g a1 c0
 434 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))))))))))).(let H8 \def H1 in (land_ind
 435 (arity g c t (AHead a0 a1)) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w)
 436 \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w
 437 (lift1 is t)))))))) (sn3 c t) (\lambda (H9: (arity g c t (AHead a0
 438 a1))).(\lambda (H10: ((\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w) \to
 439 (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w
 440 (lift1 is t)))))))))).(let H_y \def (arity_aprem g c t (AHead a0 a1) H9 O a0)
 441 in (let H11 \def (H_y (aprem_zero a0 a1)) in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d:
 442 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop j O d c)))) (\lambda (d:
 443 C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g a0))))) (sn3 c t)
 444 (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H12: (drop x2
 445 O x0 c)).(\lambda (H13: (arity g x0 x1 (asucc g a0))).(let H_y0 \def (H10
 446 (CHead x0 (Bind Abst) x1) (TLRef O) (H4 TNil O (CHead x0 (Bind Abst) x1)
 447 (arity_abst g (CHead x0 (Bind Abst) x1) x0 x1 O (getl_refl Abst x0 x1) a0
 448 H13) (nf2_lref_abst (CHead x0 (Bind Abst) x1) x0 x1 O (getl_refl Abst x0 x1))
 449 I) (PCons (S x2) O PNil)) in (let H_y1 \def (H6 (CHead x0 (Bind Abst) x1)
 450 (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S x2) O t)) (H_y0 (drop1_cons (CHead x0
 451 (Bind Abst) x1) c (S x2) O (drop_drop (Bind Abst) x2 x0 c H12 x1) c PNil
 452 (drop1_nil c)))) in (let H_x \def (sn3_gen_flat Appl (CHead x0 (Bind Abst)
 453 x1) (TLRef O) (lift (S x2) O t) H_y1) in (let H14 \def H_x in (land_ind (sn3
 454 (CHead x0 (Bind Abst) x1) (TLRef O)) (sn3 (CHead x0 (Bind Abst) x1) (lift (S
 455 x2) O t)) (sn3 c t) (\lambda (_: (sn3 (CHead x0 (Bind Abst) x1) (TLRef
 456 O))).(\lambda (H16: (sn3 (CHead x0 (Bind Abst) x1) (lift (S x2) O
 457 t))).(sn3_gen_lift (CHead x0 (Bind Abst) x1) t (S x2) O H16 c (drop_drop
 458 (Bind Abst) x2 x0 c H12 x1)))) H14)))))))))) H11))))) H8)))) H5)))) H2)))))
 459 (\lambda (vs: TList).(\lambda (i: nat).(\lambda (c: C).(\lambda (H1: (arity g
 460 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (AHead a0 a1))).(\lambda (H2: (nf2 c
 461 (TLRef i))).(\lambda (H3: (sns3 c vs)).(conj (arity g c (THeads (Flat Appl)
 462 vs (TLRef i)) (AHead a0 a1)) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a0 d w)
 463 \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w
 464 (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)))))))))) H1 (\lambda (d:
 465 C).(\lambda (w: T).(\lambda (H4: (sc3 g a0 d w)).(\lambda (is:
 466 PList).(\lambda (H5: (drop1 is d c)).(let H6 \def H in (land_ind (\forall
 467 (c0: C).(\forall (t: T).((sc3 g a0 c0 t) \to (sn3 c0 t)))) (\forall (vs0:
 468 TList).(\forall (i0: nat).(\forall (c0: C).((arity g c0 (THeads (Flat Appl)
 469 vs0 (TLRef i0)) a0) \to ((nf2 c0 (TLRef i0)) \to ((sns3 c0 vs0) \to (sc3 g a0
 470 c0 (THeads (Flat Appl) vs0 (TLRef i0))))))))) (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl)
 471 w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))))) (\lambda (H7: ((\forall (c0:
 472 C).(\forall (t: T).((sc3 g a0 c0 t) \to (sn3 c0 t)))))).(\lambda (_:
 473 ((\forall (vs0: TList).(\forall (i0: nat).(\forall (c0: C).((arity g c0
 474 (THeads (Flat Appl) vs0 (TLRef i0)) a0) \to ((nf2 c0 (TLRef i0)) \to ((sns3
 475 c0 vs0) \to (sc3 g a0 c0 (THeads (Flat Appl) vs0 (TLRef i0))))))))))).(let H9
 476 \def H0 in (land_ind (\forall (c0: C).(\forall (t: T).((sc3 g a1 c0 t) \to
 477 (sn3 c0 t)))) (\forall (vs0: TList).(\forall (i0: nat).(\forall (c0:
 478 C).((arity g c0 (THeads (Flat Appl) vs0 (TLRef i0)) a1) \to ((nf2 c0 (TLRef
 479 i0)) \to ((sns3 c0 vs0) \to (sc3 g a1 c0 (THeads (Flat Appl) vs0 (TLRef
 480 i0))))))))) (sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs
 481 (TLRef i))))) (\lambda (_: ((\forall (c0: C).(\forall (t: T).((sc3 g a1 c0 t)
 482 \to (sn3 c0 t)))))).(\lambda (H11: ((\forall (vs0: TList).(\forall (i0:
 483 nat).(\forall (c0: C).((arity g c0 (THeads (Flat Appl) vs0 (TLRef i0)) a1)
 484 \to ((nf2 c0 (TLRef i0)) \to ((sns3 c0 vs0) \to (sc3 g a1 c0 (THeads (Flat
 485 Appl) vs0 (TLRef i0))))))))))).(let H_y \def (H11 (TCons w (lifts1 is vs)))
 486 in (eq_ind_r T (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs) (lift1 is (TLRef i)))
 487 (\lambda (t: T).(sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w t))) (eq_ind_r T (TLRef
 488 (trans is i)) (\lambda (t: T).(sc3 g a1 d (THead (Flat Appl) w (THeads (Flat
 489 Appl) (lifts1 is vs) t)))) (H_y (trans is i) d (eq_ind T (lift1 is (TLRef i))
 490 (\lambda (t: T).(arity g d (THead (Flat Appl) w (THeads (Flat Appl) (lifts1
 491 is vs) t)) a1)) (eq_ind T (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)))
 492 (\lambda (t: T).(arity g d (THead (Flat Appl) w t) a1)) (arity_appl g d w a0
 493 (sc3_arity_gen g d w a0 H4) (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))) a1
 494 (arity_lift1 g (AHead a0 a1) c is d (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) H5 H1))
 495 (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs) (lift1 is (TLRef i))) (lifts1_flat Appl is
 496 (TLRef i) vs)) (TLRef (trans is i)) (lift1_lref is i)) (eq_ind T (lift1 is
 497 (TLRef i)) (\lambda (t: T).(nf2 d t)) (nf2_lift1 c is d (TLRef i) H5 H2)
 498 (TLRef (trans is i)) (lift1_lref is i)) (conj (sn3 d w) (sns3 d (lifts1 is
 499 vs)) (H7 d w H4) (sns3_lifts1 c is d H5 vs H3))) (lift1 is (TLRef i))
 500 (lift1_lref is i)) (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))) (lifts1_flat
 501 Appl is (TLRef i) vs))))) H9)))) H6))))))))))))))))))) a)).
 502
 503 lemma sc3_sn3:
 504  \forall (g: G).(\forall (a: A).(\forall (c: C).(\forall (t: T).((sc3 g a c
 505 t) \to (sn3 c t)))))
 506 \def
 507  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (H:
 508 (sc3 g a c t)).(let H_x \def (sc3_props__sc3_sn3_abst g a) in (let H0 \def
 509 H_x in (land_ind (\forall (c0: C).(\forall (t0: T).((sc3 g a c0 t0) \to (sn3
 510 c0 t0)))) (\forall (vs: TList).(\forall (i: nat).(\forall (c0: C).((arity g
 511 c0 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) a) \to ((nf2 c0 (TLRef i)) \to ((sns3 c0
 512 vs) \to (sc3 g a c0 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))))))))) (sn3 c t)
 513 (\lambda (H1: ((\forall (c0: C).(\forall (t0: T).((sc3 g a c0 t0) \to (sn3 c0
 514 t0)))))).(\lambda (_: ((\forall (vs: TList).(\forall (i: nat).(\forall (c0:
 515 C).((arity g c0 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) a) \to ((nf2 c0 (TLRef i))
 516 \to ((sns3 c0 vs) \to (sc3 g a c0 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef
 517 i))))))))))).(H1 c t H))) H0))))))).
 518
 519 lemma sc3_abst:
 520  \forall (g: G).(\forall (a: A).(\forall (vs: TList).(\forall (c: C).(\forall
 521 (i: nat).((arity g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) a) \to ((nf2 c (TLRef
 522 i)) \to ((sns3 c vs) \to (sc3 g a c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))))))))))
 523 \def
 524  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(\lambda (vs: TList).(\lambda (c: C).(\lambda
 525 (i: nat).(\lambda (H: (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i))
 526 a)).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda (H1: (sns3 c vs)).(let H_x \def
 527 (sc3_props__sc3_sn3_abst g a) in (let H2 \def H_x in (land_ind (\forall (c0:
 528 C).(\forall (t: T).((sc3 g a c0 t) \to (sn3 c0 t)))) (\forall (vs0:
 529 TList).(\forall (i0: nat).(\forall (c0: C).((arity g c0 (THeads (Flat Appl)
 530 vs0 (TLRef i0)) a) \to ((nf2 c0 (TLRef i0)) \to ((sns3 c0 vs0) \to (sc3 g a
 531 c0 (THeads (Flat Appl) vs0 (TLRef i0))))))))) (sc3 g a c (THeads (Flat Appl)
 532 vs (TLRef i))) (\lambda (_: ((\forall (c0: C).(\forall (t: T).((sc3 g a c0 t)
 533 \to (sn3 c0 t)))))).(\lambda (H4: ((\forall (vs0: TList).(\forall (i0:
 534 nat).(\forall (c0: C).((arity g c0 (THeads (Flat Appl) vs0 (TLRef i0)) a) \to
 535 ((nf2 c0 (TLRef i0)) \to ((sns3 c0 vs0) \to (sc3 g a c0 (THeads (Flat Appl)
 536 vs0 (TLRef i0))))))))))).(H4 vs i c H H0 H1))) H2)))))))))).
 537
 538 theorem sc3_bind:
 539  \forall (g: G).(\forall (b: B).((not (eq B b Abst)) \to (\forall (a1:
 540 A).(\forall (a2: A).(\forall (vs: TList).(\forall (c: C).(\forall (v:
 541 T).(\forall (t: T).((sc3 g a2 (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl) (lifts
 542 (S O) O vs) t)) \to ((sc3 g a1 c v) \to (sc3 g a2 c (THeads (Flat Appl) vs
 543 (THead (Bind b) v t)))))))))))))
 544 \def
 545  \lambda (g: G).(\lambda (b: B).(\lambda (H: (not (eq B b Abst))).(\lambda
 546 (a1: A).(\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (vs: TList).(\forall
 547 (c: C).(\forall (v: T).(\forall (t: T).((sc3 g a (CHead c (Bind b) v) (THeads
 548 (Flat Appl) (lifts (S O) O vs) t)) \to ((sc3 g a1 c v) \to (sc3 g a c (THeads
 549 (Flat Appl) vs (THead (Bind b) v t)))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (n0:
 550 nat).(\lambda (vs: TList).(\lambda (c: C).(\lambda (v: T).(\lambda (t:
 551 T).(\lambda (H0: (land (arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl)
 552 (lifts (S O) O vs) t) (ASort n n0)) (sn3 (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat
 553 Appl) (lifts (S O) O vs) t)))).(\lambda (H1: (sc3 g a1 c v)).(let H2 \def H0
 554 in (land_ind (arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O
 555 vs) t) (ASort n n0)) (sn3 (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl) (lifts (S
 556 O) O vs) t)) (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind b) v t))
 557 (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind b) v t)))) (\lambda
 558 (H3: (arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O vs) t)
 559 (ASort n n0))).(\lambda (H4: (sn3 (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl)
 560 (lifts (S O) O vs) t))).(conj (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind
 561 b) v t)) (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind b) v t)))
 562 (arity_appls_bind g b H c v a1 (sc3_arity_gen g c v a1 H1) t vs (ASort n n0)
 563 H3) (sn3_appls_bind b H c v (sc3_sn3 g a1 c v H1) vs t H4)))) H2))))))))))
 564 (\lambda (a: A).(\lambda (_: ((\forall (vs: TList).(\forall (c: C).(\forall
 565 (v: T).(\forall (t: T).((sc3 g a (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl)
 566 (lifts (S O) O vs) t)) \to ((sc3 g a1 c v) \to (sc3 g a c (THeads (Flat Appl)
 567 vs (THead (Bind b) v t))))))))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1: ((\forall
 568 (vs: TList).(\forall (c: C).(\forall (v: T).(\forall (t: T).((sc3 g a0 (CHead
 569 c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O vs) t)) \to ((sc3 g a1 c v)
 570 \to (sc3 g a0 c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind b) v
 571 t))))))))))).(\lambda (vs: TList).(\lambda (c: C).(\lambda (v: T).(\lambda
 572 (t: T).(\lambda (H2: (land (arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl)
 573 (lifts (S O) O vs) t) (AHead a a0)) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a
 574 d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d (CHead c (Bind b) v)) \to (sc3 g
 575 a0 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O vs)
 576 t))))))))))).(\lambda (H3: (sc3 g a1 c v)).(let H4 \def H2 in (land_ind
 577 (arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O vs) t)
 578 (AHead a a0)) (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a d w) \to (\forall
 579 (is: PList).((drop1 is d (CHead c (Bind b) v)) \to (sc3 g a0 d (THead (Flat
 580 Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O vs) t))))))))) (land
 581 (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind b) v t)) (AHead a a0))
 582 (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a d w) \to (\forall (is:
 583 PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads
 584 (Flat Appl) vs (THead (Bind b) v t))))))))))) (\lambda (H5: (arity g (CHead c
 585 (Bind b) v) (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O vs) t) (AHead a a0))).(\lambda
 586 (H6: ((\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a d w) \to (\forall (is:
 587 PList).((drop1 is d (CHead c (Bind b) v)) \to (sc3 g a0 d (THead (Flat Appl)
 588 w (lift1 is (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O vs) t))))))))))).(conj (arity
 589 g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind b) v t)) (AHead a a0)) (\forall (d:
 590 C).(\forall (w: T).((sc3 g a d w) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c)
 591 \to (sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (THead
 592 (Bind b) v t)))))))))) (arity_appls_bind g b H c v a1 (sc3_arity_gen g c v a1
 593 H3) t vs (AHead a a0) H5) (\lambda (d: C).(\lambda (w: T).(\lambda (H7: (sc3
 594 g a d w)).(\lambda (is: PList).(\lambda (H8: (drop1 is d c)).(let H_y \def
 595 (H1 (TCons w (lifts1 is vs))) in (eq_ind_r T (THeads (Flat Appl) (lifts1 is
 596 vs) (lift1 is (THead (Bind b) v t))) (\lambda (t0: T).(sc3 g a0 d (THead
 597 (Flat Appl) w t0))) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift1 is v) (lift1 (Ss is)
 598 t)) (\lambda (t0: T).(sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w (THeads (Flat Appl)
 599 (lifts1 is vs) t0)))) (H_y d (lift1 is v) (lift1 (Ss is) t) (eq_ind TList
 600 (lifts1 (Ss is) (lifts (S O) O vs)) (\lambda (t0: TList).(sc3 g a0 (CHead d
 601 (Bind b) (lift1 is v)) (THead (Flat Appl) (lift (S O) O w) (THeads (Flat
 602 Appl) t0 (lift1 (Ss is) t))))) (eq_ind T (lift1 (Ss is) (THeads (Flat Appl)
 603 (lifts (S O) O vs) t)) (\lambda (t0: T).(sc3 g a0 (CHead d (Bind b) (lift1 is
 604 v)) (THead (Flat Appl) (lift (S O) O w) t0))) (H6 (CHead d (Bind b) (lift1 is
 605 v)) (lift (S O) O w) (sc3_lift g a d w H7 (CHead d (Bind b) (lift1 is v)) (S
 606 O) O (drop_drop (Bind b) O d d (drop_refl d) (lift1 is v))) (Ss is)
 607 (drop1_skip_bind b c is d v H8)) (THeads (Flat Appl) (lifts1 (Ss is) (lifts
 608 (S O) O vs)) (lift1 (Ss is) t)) (lifts1_flat Appl (Ss is) t (lifts (S O) O
 609 vs))) (lifts (S O) O (lifts1 is vs)) (lifts1_xhg is vs)) (sc3_lift1 g c a1 is
 610 d v H3 H8)) (lift1 is (THead (Bind b) v t)) (lift1_bind b is v t)) (lift1 is
 611 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind b) v t))) (lifts1_flat Appl is (THead
 612 (Bind b) v t) vs))))))))))) H4)))))))))))) a2))))).
 613
 614 theorem sc3_appl:
 615  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (vs:
 616 TList).(\forall (c: C).(\forall (v: T).(\forall (t: T).((sc3 g a2 c (THeads
 617 (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t))) \to ((sc3 g a1 c v) \to (\forall (w:
 618 T).((sc3 g (asucc g a1) c w) \to (sc3 g a2 c (THeads (Flat Appl) vs (THead
 619 (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) w t))))))))))))))
 620 \def
 621  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a:
 622 A).(\forall (vs: TList).(\forall (c: C).(\forall (v: T).(\forall (t: T).((sc3
 623 g a c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t))) \to ((sc3 g a1 c v)
 624 \to (\forall (w: T).((sc3 g (asucc g a1) c w) \to (sc3 g a c (THeads (Flat
 625 Appl) vs (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) w t))))))))))))) (\lambda
 626 (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (vs: TList).(\lambda (c: C).(\lambda (v:
 627 T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs
 628 (THead (Bind Abbr) v t)) (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (THead
 629 (Bind Abbr) v t))))).(\lambda (H0: (sc3 g a1 c v)).(\lambda (w: T).(\lambda
 630 (H1: (sc3 g (asucc g a1) c w)).(let H2 \def H in (land_ind (arity g c (THeads
 631 (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t)) (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat
 632 Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t))) (land (arity g c (THeads (Flat Appl) vs
 633 (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) w t))) (ASort n n0)) (sn3 c (THeads
 634 (Flat Appl) vs (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) w t))))) (\lambda (H3:
 635 (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t)) (ASort n
 636 n0))).(\lambda (H4: (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v
 637 t)))).(conj (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Appl) v (THead
 638 (Bind Abst) w t))) (ASort n n0)) (sn3 c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat
 639 Appl) v (THead (Bind Abst) w t)))) (arity_appls_appl g c v a1 (sc3_arity_gen
 640 g c v a1 H0) w (sc3_arity_gen g c w (asucc g a1) H1) t vs (ASort n n0) H3)
 641 (sn3_appls_beta c v t vs H4 w (sc3_sn3 g (asucc g a1) c w H1)))))
 642 H2)))))))))))) (\lambda (a: A).(\lambda (_: ((\forall (vs: TList).(\forall
 643 (c: C).(\forall (v: T).(\forall (t: T).((sc3 g a c (THeads (Flat Appl) vs
 644 (THead (Bind Abbr) v t))) \to ((sc3 g a1 c v) \to (\forall (w: T).((sc3 g
 645 (asucc g a1) c w) \to (sc3 g a c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Appl) v
 646 (THead (Bind Abst) w t)))))))))))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H0: ((\forall
 647 (vs: TList).(\forall (c: C).(\forall (v: T).(\forall (t: T).((sc3 g a0 c
 648 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t))) \to ((sc3 g a1 c v) \to
 649 (\forall (w: T).((sc3 g (asucc g a1) c w) \to (sc3 g a0 c (THeads (Flat Appl)
 650 vs (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) w t)))))))))))))).(\lambda (vs:
 651 TList).(\lambda (c: C).(\lambda (v: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H1: (land
 652 (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t)) (AHead a a0))
 653 (\forall (d: C).(\forall (w: T).((sc3 g a d w) \to (\forall (is:
 654 PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w (lift1 is (THeads
 655 (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t)))))))))))).(\lambda (H2: (sc3 g a1 c
 656 v)).(\lambda (w: T).(\lambda (H3: (sc3 g (asucc g a1) c w)).(let H4 \def H1
 657 in (land_ind (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t))
 658 (AHead a a0)) (\forall (d: C).(\forall (w0: T).((sc3 g a d w0) \to (\forall
 659 (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w0 (lift1 is
 660 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v t)))))))))) (land (arity g c
 661 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) w t))) (AHead
 662 a a0)) (\forall (d: C).(\forall (w0: T).((sc3 g a d w0) \to (\forall (is:
 663 PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w0 (lift1 is
 664 (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) w
 665 t)))))))))))) (\lambda (H5: (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind
 666 Abbr) v t)) (AHead a a0))).(\lambda (H6: ((\forall (d: C).(\forall (w0:
 667 T).((sc3 g a d w0) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a0 d
 668 (THead (Flat Appl) w0 (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (THead (Bind Abbr) v
 669 t)))))))))))).(conj (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Appl) v
 670 (THead (Bind Abst) w t))) (AHead a a0)) (\forall (d: C).(\forall (w0:
 671 T).((sc3 g a d w0) \to (\forall (is: PList).((drop1 is d c) \to (sc3 g a0 d
 672 (THead (Flat Appl) w0 (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat Appl) v
 673 (THead (Bind Abst) w t))))))))))) (arity_appls_appl g c v a1 (sc3_arity_gen g
 674 c v a1 H2) w (sc3_arity_gen g c w (asucc g a1) H3) t vs (AHead a a0) H5)
 675 (\lambda (d: C).(\lambda (w0: T).(\lambda (H7: (sc3 g a d w0)).(\lambda (is:
 676 PList).(\lambda (H8: (drop1 is d c)).(eq_ind_r T (THeads (Flat Appl) (lifts1
 677 is vs) (lift1 is (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) w t)))) (\lambda
 678 (t0: T).(sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w0 t0))) (eq_ind_r T (THead (Flat
 679 Appl) (lift1 is v) (lift1 is (THead (Bind Abst) w t))) (\lambda (t0: T).(sc3
 680 g a0 d (THead (Flat Appl) w0 (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs) t0))))
 681 (eq_ind_r T (THead (Bind Abst) (lift1 is w) (lift1 (Ss is) t)) (\lambda (t0:
 682 T).(sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w0 (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs)
 683 (THead (Flat Appl) (lift1 is v) t0))))) (let H_y \def (H0 (TCons w0 (lifts1
 684 is vs))) in (H_y d (lift1 is v) (lift1 (Ss is) t) (eq_ind T (lift1 is (THead
 685 (Bind Abbr) v t)) (\lambda (t0: T).(sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w0 (THeads
 686 (Flat Appl) (lifts1 is vs) t0)))) (eq_ind T (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs
 687 (THead (Bind Abbr) v t))) (\lambda (t0: T).(sc3 g a0 d (THead (Flat Appl) w0
 688 t0))) (H6 d w0 H7 is H8) (THeads (Flat Appl) (lifts1 is vs) (lift1 is (THead
 689 (Bind Abbr) v t))) (lifts1_flat Appl is (THead (Bind Abbr) v t) vs)) (THead
 690 (Bind Abbr) (lift1 is v) (lift1 (Ss is) t)) (lift1_bind Abbr is v t))
 691 (sc3_lift1 g c a1 is d v H2 H8) (lift1 is w) (sc3_lift1 g c (asucc g a1) is d
 692 w H3 H8))) (lift1 is (THead (Bind Abst) w t)) (lift1_bind Abst is w t))
 693 (lift1 is (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) w t))) (lift1_flat Appl is
 694 v (THead (Bind Abst) w t))) (lift1 is (THeads (Flat Appl) vs (THead (Flat
 695 Appl) v (THead (Bind Abst) w t)))) (lifts1_flat Appl is (THead (Flat Appl) v
 696 (THead (Bind Abst) w t)) vs)))))))))) H4)))))))))))))) a2))).
 697