]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/subst0/props.ma
update in static_2
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / basic_1 / subst0 / props.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
16
17 include "basic_1/subst0/fwd.ma".
18
19 lemma subst0_refl:
20  \forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (d: nat).((subst0 d u t t) \to 
21 (\forall (P: Prop).P))))
22 \def
23  \lambda (u: T).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: 
24 nat).((subst0 d u t0 t0) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n: 
25 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst0 d u (TSort n) (TSort 
26 n))).(\lambda (P: Prop).(subst0_gen_sort u (TSort n) d n H P))))) (\lambda 
27 (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst0 d u (TLRef n) (TLRef 
28 n))).(\lambda (P: Prop).(land_ind (eq nat n d) (eq T (TLRef n) (lift (S n) O 
29 u)) P (\lambda (_: (eq nat n d)).(\lambda (H1: (eq T (TLRef n) (lift (S n) O 
30 u))).(lift_gen_lref_false (S n) O n (le_O_n n) (le_n (plus O (S n))) u H1 
31 P))) (subst0_gen_lref u (TLRef n) d n H)))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: 
32 T).(\lambda (H: ((\forall (d: nat).((subst0 d u t0 t0) \to (\forall (P: 
33 Prop).P))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (d: nat).((subst0 d u 
34 t1 t1) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (subst0 
35 d u (THead k t0 t1) (THead k t0 t1))).(\lambda (P: Prop).(or3_ind (ex2 T 
36 (\lambda (u2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: 
37 T).(subst0 d u t0 u2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead 
38 k t0 t2))) (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2))) (ex3_2 T T (\lambda 
39 (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda 
40 (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 d u t0 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: 
41 T).(subst0 (s k d) u t1 t2)))) P (\lambda (H2: (ex2 T (\lambda (u2: T).(eq T 
42 (THead k t0 t1) (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: T).(subst0 d u t0 
43 u2)))).(ex2_ind T (\lambda (u2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t1))) 
44 (\lambda (u2: T).(subst0 d u t0 u2)) P (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T 
45 (THead k t0 t1) (THead k x t1))).(\lambda (H4: (subst0 d u t0 x)).(let H5 
46 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow t0 | 
47 (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) 
48 (THead k x t1) H3) in (let H6 \def (eq_ind_r T x (\lambda (t2: T).(subst0 d u 
49 t0 t2)) H4 t0 H5) in (H d H6 P)))))) H2)) (\lambda (H2: (ex2 T (\lambda (t2: 
50 T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k t0 t2))) (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u 
51 t1 t2)))).(ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k t0 t2))) 
52 (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2)) P (\lambda (x: T).(\lambda (H3: 
53 (eq T (THead k t0 t1) (THead k t0 x))).(\lambda (H4: (subst0 (s k d) u t1 
54 x)).(let H5 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) 
55 \Rightarrow t1 | (TLRef _) \Rightarrow t1 | (THead _ _ t2) \Rightarrow t2])) 
56 (THead k t0 t1) (THead k t0 x) H3) in (let H6 \def (eq_ind_r T x (\lambda 
57 (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2)) H4 t1 H5) in (H0 (s k d) H6 P)))))) H2)) 
58 (\lambda (H2: (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 
59 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 d u t0 u2))) 
60 (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2))))).(ex3_2_ind T T 
61 (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t2)))) 
62 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 d u t0 u2))) (\lambda (_: 
63 T).(\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2))) P (\lambda (x0: T).(\lambda 
64 (x1: T).(\lambda (H3: (eq T (THead k t0 t1) (THead k x0 x1))).(\lambda (H4: 
65 (subst0 d u t0 x0)).(\lambda (H5: (subst0 (s k d) u t1 x1)).(let H6 \def 
66 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef 
67 _) \Rightarrow t0 | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k 
68 x0 x1) H3) in ((let H7 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e with 
69 [(TSort _) \Rightarrow t1 | (TLRef _) \Rightarrow t1 | (THead _ _ t2) 
70 \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k x0 x1) H3) in (\lambda (H8: (eq T 
71 t0 x0)).(let H9 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 
72 t2)) H5 t1 H7) in (let H10 \def (eq_ind_r T x0 (\lambda (t2: T).(subst0 d u 
73 t0 t2)) H4 t0 H8) in (H d H10 P))))) H6))))))) H2)) (subst0_gen_head k u t0 
74 t1 (THead k t0 t1) d H1)))))))))) t)).
75
76 lemma subst0_lift_lt:
77  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst0 
78 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((lt i d) \to (\forall (h: nat).(subst0 i 
79 (lift h (minus d (S i)) u) (lift h d t1) (lift h d t2)))))))))
80 \def
81  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda 
82 (H: (subst0 i u t1 t2)).(subst0_ind (\lambda (n: nat).(\lambda (t: 
83 T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\forall (d: nat).((lt n d) \to (\forall 
84 (h: nat).(subst0 n (lift h (minus d (S n)) t) (lift h d t0) (lift h d 
85 t3))))))))) (\lambda (v: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda 
86 (H0: (lt i0 d)).(\lambda (h: nat).(eq_ind_r T (TLRef i0) (\lambda (t: 
87 T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) t (lift h d (lift (S i0) O v)))) 
88 (let w \def (minus d (S i0)) in (eq_ind nat (plus (S i0) (minus d (S i0))) 
89 (\lambda (n: nat).(subst0 i0 (lift h w v) (TLRef i0) (lift h n (lift (S i0) O 
90 v)))) (eq_ind_r T (lift (S i0) O (lift h (minus d (S i0)) v)) (\lambda (t: 
91 T).(subst0 i0 (lift h w v) (TLRef i0) t)) (subst0_lref (lift h (minus d (S 
92 i0)) v) i0) (lift h (plus (S i0) (minus d (S i0))) (lift (S i0) O v)) (lift_d 
93 v h (S i0) (minus d (S i0)) O (le_O_n (minus d (S i0))))) d (le_plus_minus_r 
94 (S i0) d H0))) (lift h d (TLRef i0)) (lift_lref_lt i0 h d H0))))))) (\lambda 
95 (v: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (_: 
96 (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: nat).((lt i0 d) \to (\forall 
97 (h: nat).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) (lift h d u1) (lift h d 
98 u2))))))).(\lambda (t: T).(\lambda (k: K).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (lt 
99 i0 d)).(\lambda (h: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d) 
100 t)) (\lambda (t0: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) t0 (lift h d 
101 (THead k u2 t)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift h (s k d) t)) 
102 (\lambda (t0: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) (THead k (lift h d 
103 u1) (lift h (s k d) t)) t0)) (subst0_fst (lift h (minus d (S i0)) v) (lift h 
104 d u2) (lift h d u1) i0 (H1 d H2 h) (lift h (s k d) t) k) (lift h d (THead k 
105 u2 t)) (lift_head k u2 t h d)) (lift h d (THead k u1 t)) (lift_head k u1 t h 
106 d))))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (v: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: 
107 T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t3 t0)).(\lambda (H1: 
108 ((\forall (d: nat).((lt (s k i0) d) \to (\forall (h: nat).(subst0 (s k i0) 
109 (lift h (minus d (S (s k i0))) v) (lift h d t3) (lift h d t0))))))).(\lambda 
110 (u0: T).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (lt i0 d)).(\lambda (h: nat).(let H3 
111 \def (eq_ind_r nat (S (s k i0)) (\lambda (n: nat).(\forall (d0: nat).((lt (s 
112 k i0) d0) \to (\forall (h0: nat).(subst0 (s k i0) (lift h0 (minus d0 n) v) 
113 (lift h0 d0 t3) (lift h0 d0 t0)))))) H1 (s k (S i0)) (s_S k i0)) in (eq_ind_r 
114 T (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 
115 (lift h (minus d (S i0)) v) t (lift h d (THead k u0 t0)))) (eq_ind_r T (THead 
116 k (lift h d u0) (lift h (s k d) t0)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 (lift h 
117 (minus d (S i0)) v) (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) t)) (eq_ind 
118 nat (minus (s k d) (s k (S i0))) (\lambda (n: nat).(subst0 i0 (lift h n v) 
119 (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) (THead k (lift h d u0) (lift h (s 
120 k d) t0)))) (subst0_snd k (lift h (minus (s k d) (s k (S i0))) v) (lift h (s 
121 k d) t0) (lift h (s k d) t3) i0 (H3 (s k d) (s_lt k i0 d H2) h) (lift h d 
122 u0)) (minus d (S i0)) (minus_s_s k d (S i0))) (lift h d (THead k u0 t0)) 
123 (lift_head k u0 t0 h d)) (lift h d (THead k u0 t3)) (lift_head k u0 t3 h 
124 d)))))))))))))) (\lambda (v: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda 
125 (i0: nat).(\lambda (_: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: 
126 nat).((lt i0 d) \to (\forall (h: nat).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) 
127 (lift h d u1) (lift h d u2))))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda 
128 (t3: T).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t0 t3)).(\lambda (H3: ((\forall (d: 
129 nat).((lt (s k i0) d) \to (\forall (h: nat).(subst0 (s k i0) (lift h (minus d 
130 (S (s k i0))) v) (lift h d t0) (lift h d t3))))))).(\lambda (d: nat).(\lambda 
131 (H4: (lt i0 d)).(\lambda (h: nat).(let H5 \def (eq_ind_r nat (S (s k i0)) 
132 (\lambda (n: nat).(\forall (d0: nat).((lt (s k i0) d0) \to (\forall (h0: 
133 nat).(subst0 (s k i0) (lift h0 (minus d0 n) v) (lift h0 d0 t0) (lift h0 d0 
134 t3)))))) H3 (s k (S i0)) (s_S k i0)) in (eq_ind_r T (THead k (lift h d u1) 
135 (lift h (s k d) t0)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) t 
136 (lift h d (THead k u2 t3)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift h (s k 
137 d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) (THead k (lift 
138 h d u1) (lift h (s k d) t0)) t)) (subst0_both (lift h (minus d (S i0)) v) 
139 (lift h d u1) (lift h d u2) i0 (H1 d H4 h) k (lift h (s k d) t0) (lift h (s k 
140 d) t3) (eq_ind nat (minus (s k d) (s k (S i0))) (\lambda (n: nat).(subst0 (s 
141 k i0) (lift h n v) (lift h (s k d) t0) (lift h (s k d) t3))) (H5 (s k d) 
142 (s_lt k i0 d H4) h) (minus d (S i0)) (minus_s_s k d (S i0)))) (lift h d 
143 (THead k u2 t3)) (lift_head k u2 t3 h d)) (lift h d (THead k u1 t0)) 
144 (lift_head k u1 t0 h d))))))))))))))))) i u t1 t2 H))))).
145
146 lemma subst0_lift_ge:
147  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).(\forall 
148 (h: nat).((subst0 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((le d i) \to (subst0 
149 (plus i h) u (lift h d t1) (lift h d t2)))))))))
150 \def
151  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda 
152 (h: nat).(\lambda (H: (subst0 i u t1 t2)).(subst0_ind (\lambda (n: 
153 nat).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\forall (d: nat).((le 
154 d n) \to (subst0 (plus n h) t (lift h d t0) (lift h d t3)))))))) (\lambda (v: 
155 T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (le d i0)).(eq_ind_r T 
156 (TLRef (plus i0 h)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 h) v t (lift h d (lift 
157 (S i0) O v)))) (eq_ind_r T (lift (plus h (S i0)) O v) (\lambda (t: T).(subst0 
158 (plus i0 h) v (TLRef (plus i0 h)) t)) (eq_ind nat (S (plus h i0)) (\lambda 
159 (n: nat).(subst0 (plus i0 h) v (TLRef (plus i0 h)) (lift n O v))) (eq_ind_r 
160 nat (plus h i0) (\lambda (n: nat).(subst0 n v (TLRef n) (lift (S (plus h i0)) 
161 O v))) (subst0_lref v (plus h i0)) (plus i0 h) (plus_sym i0 h)) (plus h (S 
162 i0)) (plus_n_Sm h i0)) (lift h d (lift (S i0) O v)) (lift_free v (S i0) h O d 
163 (le_S d i0 H0) (le_O_n d))) (lift h d (TLRef i0)) (lift_lref_ge i0 h d 
164 H0)))))) (\lambda (v: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (i0: 
165 nat).(\lambda (_: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: nat).((le 
166 d i0) \to (subst0 (plus i0 h) v (lift h d u1) (lift h d u2)))))).(\lambda (t: 
167 T).(\lambda (k: K).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (le d i0)).(eq_ind_r T 
168 (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d) t)) (\lambda (t0: T).(subst0 (plus i0 
169 h) v t0 (lift h d (THead k u2 t)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift 
170 h (s k d) t)) (\lambda (t0: T).(subst0 (plus i0 h) v (THead k (lift h d u1) 
171 (lift h (s k d) t)) t0)) (subst0_fst v (lift h d u2) (lift h d u1) (plus i0 
172 h) (H1 d H2) (lift h (s k d) t) k) (lift h d (THead k u2 t)) (lift_head k u2 
173 t h d)) (lift h d (THead k u1 t)) (lift_head k u1 t h d)))))))))))) (\lambda 
174 (k: K).(\lambda (v: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (i0: 
175 nat).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t3 t0)).(\lambda (H1: ((\forall (d: 
176 nat).((le d (s k i0)) \to (subst0 (plus (s k i0) h) v (lift h d t3) (lift h d 
177 t0)))))).(\lambda (u0: T).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (le d i0)).(let H3 
178 \def (eq_ind_r nat (plus (s k i0) h) (\lambda (n: nat).(\forall (d0: 
179 nat).((le d0 (s k i0)) \to (subst0 n v (lift h d0 t3) (lift h d0 t0))))) H1 
180 (s k (plus i0 h)) (s_plus k i0 h)) in (eq_ind_r T (THead k (lift h d u0) 
181 (lift h (s k d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 h) v t (lift h d (THead 
182 k u0 t0)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t0)) (\lambda 
183 (t: T).(subst0 (plus i0 h) v (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) t)) 
184 (subst0_snd k v (lift h (s k d) t0) (lift h (s k d) t3) (plus i0 h) (H3 (s k 
185 d) (s_le k d i0 H2)) (lift h d u0)) (lift h d (THead k u0 t0)) (lift_head k 
186 u0 t0 h d)) (lift h d (THead k u0 t3)) (lift_head k u0 t3 h d))))))))))))) 
187 (\lambda (v: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda 
188 (_: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: nat).((le d i0) \to 
189 (subst0 (plus i0 h) v (lift h d u1) (lift h d u2)))))).(\lambda (k: 
190 K).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t0 
191 t3)).(\lambda (H3: ((\forall (d: nat).((le d (s k i0)) \to (subst0 (plus (s k 
192 i0) h) v (lift h d t0) (lift h d t3)))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (H4: (le 
193 d i0)).(let H5 \def (eq_ind_r nat (plus (s k i0) h) (\lambda (n: 
194 nat).(\forall (d0: nat).((le d0 (s k i0)) \to (subst0 n v (lift h d0 t0) 
195 (lift h d0 t3))))) H3 (s k (plus i0 h)) (s_plus k i0 h)) in (eq_ind_r T 
196 (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d) t0)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 
197 h) v t (lift h d (THead k u2 t3)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift 
198 h (s k d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 h) v (THead k (lift h d u1) 
199 (lift h (s k d) t0)) t)) (subst0_both v (lift h d u1) (lift h d u2) (plus i0 
200 h) (H1 d H4) k (lift h (s k d) t0) (lift h (s k d) t3) (H5 (s k d) (s_le k d 
201 i0 H4))) (lift h d (THead k u2 t3)) (lift_head k u2 t3 h d)) (lift h d (THead 
202 k u1 t0)) (lift_head k u1 t0 h d)))))))))))))))) i u t1 t2 H)))))).
203
204 lemma subst0_lift_ge_S:
205  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst0 
206 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((le d i) \to (subst0 (S i) u (lift (S O) d 
207 t1) (lift (S O) d t2))))))))
208 \def
209  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda 
210 (H: (subst0 i u t1 t2)).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (le d i)).(eq_ind nat 
211 (plus i (S O)) (\lambda (n: nat).(subst0 n u (lift (S O) d t1) (lift (S O) d 
212 t2))) (subst0_lift_ge t1 t2 u i (S O) H d H0) (S i) (eq_ind_r nat (plus (S O) 
213 i) (\lambda (n: nat).(eq nat n (S i))) (le_antisym (plus (S O) i) (S i) (le_n 
214 (S i)) (le_n (plus (S O) i))) (plus i (S O)) (plus_sym i (S O)))))))))).
215
216 lemma subst0_lift_ge_s:
217  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst0 
218 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((le d i) \to (\forall (b: B).(subst0 (s 
219 (Bind b) i) u (lift (S O) d t1) (lift (S O) d t2)))))))))
220 \def
221  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda 
222 (H: (subst0 i u t1 t2)).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (le d i)).(\lambda 
223 (_: B).(subst0_lift_ge_S t1 t2 u i H d H0)))))))).
224