matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1/wf3/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/wf3/defs.ma".
  18
  19 implied rec lemma wf3_ind (g: G) (P: (C \to (C \to Prop))) (f: (\forall (m:
  20 nat).(P (CSort m) (CSort m)))) (f0: (\forall (c1: C).(\forall (c2: C).((wf3 g
  21 c1 c2) \to ((P c1 c2) \to (\forall (u: T).(\forall (t: T).((ty3 g c1 u t) \to
  22 (\forall (b: B).(P (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind b) u))))))))))) (f1:
  23 (\forall (c1: C).(\forall (c2: C).((wf3 g c1 c2) \to ((P c1 c2) \to (\forall
  24 (u: T).(((\forall (t: T).((ty3 g c1 u t) \to False))) \to (\forall (b: B).(P
  25 (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O))))))))))) (f2: (\forall
  26 (c1: C).(\forall (c2: C).((wf3 g c1 c2) \to ((P c1 c2) \to (\forall (u:
  27 T).(\forall (f2: F).(P (CHead c1 (Flat f2) u) c2)))))))) (c: C) (c0: C) (w:
  28 wf3 g c c0) on w: P c c0 \def match w with [(wf3_sort m) \Rightarrow (f m) |
  29 (wf3_bind c1 c2 w0 u t t0 b) \Rightarrow (f0 c1 c2 w0 ((wf3_ind g P f f0 f1
  30 f2) c1 c2 w0) u t t0 b) | (wf3_void c1 c2 w0 u f3 b) \Rightarrow (f1 c1 c2 w0
  31 ((wf3_ind g P f f0 f1 f2) c1 c2 w0) u f3 b) | (wf3_flat c1 c2 w0 u f3)
  32 \Rightarrow (f2 c1 c2 w0 ((wf3_ind g P f f0 f1 f2) c1 c2 w0) u f3)].
  33
  34 lemma wf3_gen_sort1:
  35  \forall (g: G).(\forall (x: C).(\forall (m: nat).((wf3 g (CSort m) x) \to
  36 (eq C x (CSort m)))))
  37 \def
  38  \lambda (g: G).(\lambda (x: C).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (wf3 g (CSort
  39 m) x)).(insert_eq C (CSort m) (\lambda (c: C).(wf3 g c x)) (\lambda (c:
  40 C).(eq C x c)) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (wf3 g y x)).(wf3_ind g (\lambda
  41 (c: C).(\lambda (c0: C).((eq C c (CSort m)) \to (eq C c0 c)))) (\lambda (m0:
  42 nat).(\lambda (H1: (eq C (CSort m0) (CSort m))).(let H2 \def (f_equal C nat
  43 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort n) \Rightarrow n | (CHead _ _ _)
  44 \Rightarrow m0])) (CSort m0) (CSort m) H1) in (eq_ind_r nat m (\lambda (n:
  45 nat).(eq C (CSort n) (CSort n))) (refl_equal C (CSort m)) m0 H2)))) (\lambda
  46 (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (wf3 g c1 c2)).(\lambda (_: (((eq C c1
  47 (CSort m)) \to (eq C c2 c1)))).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (_:
  48 (ty3 g c1 u t)).(\lambda (b: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c1 (Bind b) u)
  49 (CSort m))).(let H5 \def (eq_ind C (CHead c1 (Bind b) u) (\lambda (ee:
  50 C).(match ee with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow
  51 True])) I (CSort m) H4) in (False_ind (eq C (CHead c2 (Bind b) u) (CHead c1
  52 (Bind b) u)) H5))))))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (_:
  53 (wf3 g c1 c2)).(\lambda (_: (((eq C c1 (CSort m)) \to (eq C c2
  54 c1)))).(\lambda (u: T).(\lambda (_: ((\forall (t: T).((ty3 g c1 u t) \to
  55 False)))).(\lambda (b: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c1 (Bind b) u) (CSort
  56 m))).(let H5 \def (eq_ind C (CHead c1 (Bind b) u) (\lambda (ee: C).(match ee
  57 with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I
  58 (CSort m) H4) in (False_ind (eq C (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) (CHead c1
  59 (Bind b) u)) H5)))))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (wf3
  60 g c1 c2)).(\lambda (_: (((eq C c1 (CSort m)) \to (eq C c2 c1)))).(\lambda (u:
  61 T).(\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq C (CHead c1 (Flat f) u) (CSort m))).(let
  62 H4 \def (eq_ind C (CHead c1 (Flat f) u) (\lambda (ee: C).(match ee with
  63 [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I (CSort m)
  64 H3) in (False_ind (eq C c2 (CHead c1 (Flat f) u)) H4))))))))) y x H0))) H)))).
  65
  66 lemma wf3_gen_bind1:
  67  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (x: C).(\forall (v: T).(\forall (b:
  68 B).((wf3 g (CHead c1 (Bind b) v) x) \to (or (ex3_2 C T (\lambda (c2:
  69 C).(\lambda (_: T).(eq C x (CHead c2 (Bind b) v)))) (\lambda (c2: C).(\lambda
  70 (_: T).(wf3 g c1 c2))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3
  71 C (\lambda (c2: C).(eq C x (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c2:
  72 C).(wf3 g c1 c2)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to
  73 False))))))))))
  74 \def
  75  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (x: C).(\lambda (v: T).(\lambda (b:
  76 B).(\lambda (H: (wf3 g (CHead c1 (Bind b) v) x)).(insert_eq C (CHead c1 (Bind
  77 b) v) (\lambda (c: C).(wf3 g c x)) (\lambda (_: C).(or (ex3_2 C T (\lambda
  78 (c2: C).(\lambda (_: T).(eq C x (CHead c2 (Bind b) v)))) (\lambda (c2:
  79 C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c2))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1
  80 v w)))) (ex3 C (\lambda (c2: C).(eq C x (CHead c2 (Bind Void) (TSort O))))
  81 (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v
  82 w) \to False)))))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (wf3 g y x)).(wf3_ind g
  83 (\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).((eq C c (CHead c1 (Bind b) v)) \to (or
  84 (ex3_2 C T (\lambda (c2: C).(\lambda (_: T).(eq C c0 (CHead c2 (Bind b) v))))
  85 (\lambda (c2: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c2))) (\lambda (_: C).(\lambda (w:
  86 T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c2: C).(eq C c0 (CHead c2 (Bind Void)
  87 (TSort O)))) (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2)) (\lambda (_: C).(\forall (w:
  88 T).((ty3 g c1 v w) \to False)))))))) (\lambda (m: nat).(\lambda (H1: (eq C
  89 (CSort m) (CHead c1 (Bind b) v))).(let H2 \def (eq_ind C (CSort m) (\lambda
  90 (ee: C).(match ee with [(CSort _) \Rightarrow True | (CHead _ _ _)
  91 \Rightarrow False])) I (CHead c1 (Bind b) v) H1) in (False_ind (or (ex3_2 C T
  92 (\lambda (c2: C).(\lambda (_: T).(eq C (CSort m) (CHead c2 (Bind b) v))))
  93 (\lambda (c2: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c2))) (\lambda (_: C).(\lambda (w:
  94 T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c2: C).(eq C (CSort m) (CHead c2 (Bind
  95 Void) (TSort O)))) (\lambda (c2: C).(wf3 g c1 c2)) (\lambda (_: C).(\forall
  96 (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False))))) H2)))) (\lambda (c0: C).(\lambda (c2:
  97 C).(\lambda (H1: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c0 (CHead c1 (Bind b)
  98 v)) \to (or (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3
  99 (Bind b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_:
 100 C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead
 101 c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_:
 102 C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda
 103 (t: T).(\lambda (H3: (ty3 g c0 u t)).(\lambda (b0: B).(\lambda (H4: (eq C
 104 (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v))).(let H5 \def (f_equal C C
 105 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c0 | (CHead c _ _)
 106 \Rightarrow c])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v) H4) in ((let H6
 107 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow b0 |
 108 (CHead _ k _) \Rightarrow (match k with [(Bind b1) \Rightarrow b1 | (Flat _)
 109 \Rightarrow b0])])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v) H4) in ((let
 110 H7 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow u |
 111 (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v)
 112 H4) in (\lambda (H8: (eq B b0 b)).(\lambda (H9: (eq C c0 c1)).(eq_ind_r B b
 113 (\lambda (b1: B).(or (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C (CHead
 114 c2 (Bind b1) u) (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_:
 115 T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C
 116 (\lambda (c3: C).(eq C (CHead c2 (Bind b1) u) (CHead c3 (Bind Void) (TSort
 117 O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g
 118 c1 v w) \to False)))))) (let H10 \def (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(ty3 g c0
 119 t0 t)) H3 v H7) in (eq_ind_r T v (\lambda (t0: T).(or (ex3_2 C T (\lambda
 120 (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C (CHead c2 (Bind b) t0) (CHead c3 (Bind b) v))))
 121 (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w:
 122 T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C (CHead c2 (Bind b) t0)
 123 (CHead c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda
 124 (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False)))))) (let H11 \def (eq_ind
 125 C c0 (\lambda (c: C).(ty3 g c v t)) H10 c1 H9) in (let H12 \def (eq_ind C c0
 126 (\lambda (c: C).((eq C c (CHead c1 (Bind b) v)) \to (or (ex3_2 C T (\lambda
 127 (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3:
 128 C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1
 129 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead c3 (Bind Void) (TSort O))))
 130 (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v
 131 w) \to False))))))) H2 c1 H9) in (let H13 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c:
 132 C).(wf3 g c c2)) H1 c1 H9) in (or_introl (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda
 133 (_: T).(eq C (CHead c2 (Bind b) v) (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3:
 134 C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1
 135 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C (CHead c2 (Bind b) v) (CHead c3 (Bind
 136 Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall
 137 (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False)))) (ex3_2_intro C T (\lambda (c3:
 138 C).(\lambda (_: T).(eq C (CHead c2 (Bind b) v) (CHead c3 (Bind b) v))))
 139 (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w:
 140 T).(ty3 g c1 v w))) c2 t (refl_equal C (CHead c2 (Bind b) v)) H13 H11))))) u
 141 H7)) b0 H8)))) H6)) H5))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (c2: C).(\lambda
 142 (H1: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c0 (CHead c1 (Bind b) v)) \to (or
 143 (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3 (Bind b) v))))
 144 (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w:
 145 T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead c3 (Bind Void)
 146 (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w:
 147 T).((ty3 g c1 v w) \to False)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (H3: ((\forall
 148 (t: T).((ty3 g c0 u t) \to False)))).(\lambda (b0: B).(\lambda (H4: (eq C
 149 (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v))).(let H5 \def (f_equal C C
 150 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c0 | (CHead c _ _)
 151 \Rightarrow c])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v) H4) in ((let H6
 152 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow b0 |
 153 (CHead _ k _) \Rightarrow (match k with [(Bind b1) \Rightarrow b1 | (Flat _)
 154 \Rightarrow b0])])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v) H4) in ((let
 155 H7 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow u |
 156 (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c0 (Bind b0) u) (CHead c1 (Bind b) v)
 157 H4) in (\lambda (_: (eq B b0 b)).(\lambda (H9: (eq C c0 c1)).(let H10 \def
 158 (eq_ind T u (\lambda (t: T).(\forall (t0: T).((ty3 g c0 t t0) \to False))) H3
 159 v H7) in (let H11 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).(\forall (t: T).((ty3 g c
 160 v t) \to False))) H10 c1 H9) in (let H12 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c:
 161 C).((eq C c (CHead c1 (Bind b) v)) \to (or (ex3_2 C T (\lambda (c3:
 162 C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3:
 163 C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1
 164 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead c3 (Bind Void) (TSort O))))
 165 (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v
 166 w) \to False))))))) H2 c1 H9) in (let H13 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c:
 167 C).(wf3 g c c2)) H1 c1 H9) in (or_intror (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda
 168 (_: T).(eq C (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) (CHead c3 (Bind b) v))))
 169 (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_: C).(\lambda (w:
 170 T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C (CHead c2 (Bind Void)
 171 (TSort O)) (CHead c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3))
 172 (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False)))) (ex3_intro C
 173 (\lambda (c3: C).(eq C (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) (CHead c3 (Bind Void)
 174 (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_: C).(\forall (w:
 175 T).((ty3 g c1 v w) \to False))) c2 (refl_equal C (CHead c2 (Bind Void) (TSort
 176 O))) H13 H11))))))))) H6)) H5)))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (c2:
 177 C).(\lambda (_: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (_: (((eq C c0 (CHead c1 (Bind b) v))
 178 \to (or (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C c2 (CHead c3 (Bind
 179 b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3))) (\lambda (_:
 180 C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq C c2 (CHead
 181 c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3)) (\lambda (_:
 182 C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda
 183 (f: F).(\lambda (H3: (eq C (CHead c0 (Flat f) u) (CHead c1 (Bind b) v))).(let
 184 H4 \def (eq_ind C (CHead c0 (Flat f) u) (\lambda (ee: C).(match ee with
 185 [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k with [(Bind
 186 _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow True])])) I (CHead c1 (Bind b) v)
 187 H3) in (False_ind (or (ex3_2 C T (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(eq C c2
 188 (CHead c3 (Bind b) v)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c1 c3)))
 189 (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c1 v w)))) (ex3 C (\lambda (c3: C).(eq
 190 C c2 (CHead c3 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c3: C).(wf3 g c1 c3))
 191 (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c1 v w) \to False))))) H4))))))))) y
 192 x H0))) H)))))).
 193
 194 lemma wf3_gen_flat1:
 195  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (x: C).(\forall (v: T).(\forall (f:
 196 F).((wf3 g (CHead c1 (Flat f) v) x) \to (wf3 g c1 x))))))
 197 \def
 198  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (x: C).(\lambda (v: T).(\lambda (f:
 199 F).(\lambda (H: (wf3 g (CHead c1 (Flat f) v) x)).(insert_eq C (CHead c1 (Flat
 200 f) v) (\lambda (c: C).(wf3 g c x)) (\lambda (_: C).(wf3 g c1 x)) (\lambda (y:
 201 C).(\lambda (H0: (wf3 g y x)).(wf3_ind g (\lambda (c: C).(\lambda (c0:
 202 C).((eq C c (CHead c1 (Flat f) v)) \to (wf3 g c1 c0)))) (\lambda (m:
 203 nat).(\lambda (H1: (eq C (CSort m) (CHead c1 (Flat f) v))).(let H2 \def
 204 (eq_ind C (CSort m) (\lambda (ee: C).(match ee with [(CSort _) \Rightarrow
 205 True | (CHead _ _ _) \Rightarrow False])) I (CHead c1 (Flat f) v) H1) in
 206 (False_ind (wf3 g c1 (CSort m)) H2)))) (\lambda (c0: C).(\lambda (c2:
 207 C).(\lambda (_: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (_: (((eq C c0 (CHead c1 (Flat f) v))
 208 \to (wf3 g c1 c2)))).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 u
 209 t)).(\lambda (b: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c0 (Bind b) u) (CHead c1 (Flat
 210 f) v))).(let H5 \def (eq_ind C (CHead c0 (Bind b) u) (\lambda (ee: C).(match
 211 ee with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k
 212 with [(Bind _) \Rightarrow True | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead c1
 213 (Flat f) v) H4) in (False_ind (wf3 g c1 (CHead c2 (Bind b) u)) H5)))))))))))
 214 (\lambda (c0: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (_:
 215 (((eq C c0 (CHead c1 (Flat f) v)) \to (wf3 g c1 c2)))).(\lambda (u:
 216 T).(\lambda (_: ((\forall (t: T).((ty3 g c0 u t) \to False)))).(\lambda (b:
 217 B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c0 (Bind b) u) (CHead c1 (Flat f) v))).(let H5
 218 \def (eq_ind C (CHead c0 (Bind b) u) (\lambda (ee: C).(match ee with [(CSort
 219 _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k with [(Bind _)
 220 \Rightarrow True | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead c1 (Flat f) v)
 221 H4) in (False_ind (wf3 g c1 (CHead c2 (Bind Void) (TSort O))) H5))))))))))
 222 (\lambda (c0: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c0 c2)).(\lambda (H2:
 223 (((eq C c0 (CHead c1 (Flat f) v)) \to (wf3 g c1 c2)))).(\lambda (u:
 224 T).(\lambda (f0: F).(\lambda (H3: (eq C (CHead c0 (Flat f0) u) (CHead c1
 225 (Flat f) v))).(let H4 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e with [(CSort
 226 _) \Rightarrow c0 | (CHead c _ _) \Rightarrow c])) (CHead c0 (Flat f0) u)
 227 (CHead c1 (Flat f) v) H3) in ((let H5 \def (f_equal C F (\lambda (e:
 228 C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow f0 | (CHead _ k _) \Rightarrow (match
 229 k with [(Bind _) \Rightarrow f0 | (Flat f1) \Rightarrow f1])])) (CHead c0
 230 (Flat f0) u) (CHead c1 (Flat f) v) H3) in ((let H6 \def (f_equal C T (\lambda
 231 (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t) \Rightarrow
 232 t])) (CHead c0 (Flat f0) u) (CHead c1 (Flat f) v) H3) in (\lambda (_: (eq F
 233 f0 f)).(\lambda (H8: (eq C c0 c1)).(let H9 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c:
 234 C).((eq C c (CHead c1 (Flat f) v)) \to (wf3 g c1 c2))) H2 c1 H8) in (let H10
 235 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).(wf3 g c c2)) H1 c1 H8) in H10))))) H5))
 236 H4))))))))) y x H0))) H)))))).
 237
 238 lemma wf3_gen_head2:
 239  \forall (g: G).(\forall (x: C).(\forall (c: C).(\forall (v: T).(\forall (k:
 240 K).((wf3 g x (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq K k (Bind b)))))))))
 241 \def
 242  \lambda (g: G).(\lambda (x: C).(\lambda (c: C).(\lambda (v: T).(\lambda (k:
 243 K).(\lambda (H: (wf3 g x (CHead c k v))).(insert_eq C (CHead c k v) (\lambda
 244 (c0: C).(wf3 g x c0)) (\lambda (_: C).(ex B (\lambda (b: B).(eq K k (Bind
 245 b))))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (wf3 g x y)).(wf3_ind g (\lambda (_:
 246 C).(\lambda (c1: C).((eq C c1 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq K
 247 k (Bind b))))))) (\lambda (m: nat).(\lambda (H1: (eq C (CSort m) (CHead c k
 248 v))).(let H2 \def (eq_ind C (CSort m) (\lambda (ee: C).(match ee with [(CSort
 249 _) \Rightarrow True | (CHead _ _ _) \Rightarrow False])) I (CHead c k v) H1)
 250 in (False_ind (ex B (\lambda (b: B).(eq K k (Bind b)))) H2)))) (\lambda (c1:
 251 C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c2
 252 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq K k (Bind b))))))).(\lambda (u:
 253 T).(\lambda (t: T).(\lambda (H3: (ty3 g c1 u t)).(\lambda (b: B).(\lambda
 254 (H4: (eq C (CHead c2 (Bind b) u) (CHead c k v))).(let H5 \def (f_equal C C
 255 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c2 | (CHead c0 _ _)
 256 \Rightarrow c0])) (CHead c2 (Bind b) u) (CHead c k v) H4) in ((let H6 \def
 257 (f_equal C K (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow (Bind b) |
 258 (CHead _ k0 _) \Rightarrow k0])) (CHead c2 (Bind b) u) (CHead c k v) H4) in
 259 ((let H7 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _)
 260 \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead c2 (Bind b) u) (CHead
 261 c k v) H4) in (\lambda (H8: (eq K (Bind b) k)).(\lambda (H9: (eq C c2
 262 c)).(let H10 \def (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(ty3 g c1 t0 t)) H3 v H7) in
 263 (let H11 \def (eq_ind C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c0 (CHead c k v)) \to (ex
 264 B (\lambda (b0: B).(eq K k (Bind b0)))))) H2 c H9) in (let H12 \def (eq_ind C
 265 c2 (\lambda (c0: C).(wf3 g c1 c0)) H1 c H9) in (let H13 \def (eq_ind_r K k
 266 (\lambda (k0: K).((eq C c (CHead c k0 v)) \to (ex B (\lambda (b0: B).(eq K k0
 267 (Bind b0)))))) H11 (Bind b) H8) in (eq_ind K (Bind b) (\lambda (k0: K).(ex B
 268 (\lambda (b0: B).(eq K k0 (Bind b0))))) (ex_intro B (\lambda (b0: B).(eq K
 269 (Bind b) (Bind b0))) b (refl_equal K (Bind b))) k H8)))))))) H6))
 270 H5))))))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c1
 271 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c2 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq K
 272 k (Bind b))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (_: ((\forall (t: T).((ty3 g c1 u
 273 t) \to False)))).(\lambda (_: B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c2 (Bind Void)
 274 (TSort O)) (CHead c k v))).(let H5 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e
 275 with [(CSort _) \Rightarrow c2 | (CHead c0 _ _) \Rightarrow c0])) (CHead c2
 276 (Bind Void) (TSort O)) (CHead c k v) H4) in ((let H6 \def (f_equal C K
 277 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow (Bind Void) | (CHead _
 278 k0 _) \Rightarrow k0])) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) (CHead c k v) H4) in
 279 ((let H7 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _)
 280 \Rightarrow (TSort O) | (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c2 (Bind Void)
 281 (TSort O)) (CHead c k v) H4) in (\lambda (H8: (eq K (Bind Void) k)).(\lambda
 282 (H9: (eq C c2 c)).(let H10 \def (eq_ind C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c0
 283 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b0: B).(eq K k (Bind b0)))))) H2 c H9) in
 284 (let H11 \def (eq_ind C c2 (\lambda (c0: C).(wf3 g c1 c0)) H1 c H9) in (let
 285 H12 \def (eq_ind_r K k (\lambda (k0: K).((eq C c (CHead c k0 v)) \to (ex B
 286 (\lambda (b0: B).(eq K k0 (Bind b0)))))) H10 (Bind Void) H8) in (eq_ind K
 287 (Bind Void) (\lambda (k0: K).(ex B (\lambda (b0: B).(eq K k0 (Bind b0)))))
 288 (let H13 \def (eq_ind_r T v (\lambda (t: T).((eq C c (CHead c (Bind Void) t))
 289 \to (ex B (\lambda (b0: B).(eq K (Bind Void) (Bind b0)))))) H12 (TSort O) H7)
 290 in (ex_intro B (\lambda (b0: B).(eq K (Bind Void) (Bind b0))) Void
 291 (refl_equal K (Bind Void)))) k H8))))))) H6)) H5)))))))))) (\lambda (c1:
 292 C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c2
 293 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq K k (Bind b))))))).(\lambda (_:
 294 T).(\lambda (_: F).(\lambda (H3: (eq C c2 (CHead c k v))).(let H4 \def
 295 (f_equal C C (\lambda (e: C).e) c2 (CHead c k v) H3) in (let H5 \def (eq_ind
 296 C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c0 (CHead c k v)) \to (ex B (\lambda (b: B).(eq
 297 K k (Bind b)))))) H2 (CHead c k v) H4) in (let H6 \def (eq_ind C c2 (\lambda
 298 (c0: C).(wf3 g c1 c0)) H1 (CHead c k v) H4) in (H5 (refl_equal C (CHead c k
 299 v))))))))))))) x y H0))) H)))))).
 300
 301 theorem wf3_mono:
 302  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (c1: C).((wf3 g c c1) \to (\forall
 303 (c2: C).((wf3 g c c2) \to (eq C c1 c2))))))
 304 \def
 305  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (c1: C).(\lambda (H: (wf3 g c
 306 c1)).(wf3_ind g (\lambda (c0: C).(\lambda (c2: C).(\forall (c3: C).((wf3 g c0
 307 c3) \to (eq C c2 c3))))) (\lambda (m: nat).(\lambda (c2: C).(\lambda (H0:
 308 (wf3 g (CSort m) c2)).(let H_y \def (wf3_gen_sort1 g c2 m H0) in (eq_ind_r C
 309 (CSort m) (\lambda (c0: C).(eq C (CSort m) c0)) (refl_equal C (CSort m)) c2
 310 H_y))))) (\lambda (c2: C).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: (wf3 g c2
 311 c3)).(\lambda (H1: ((\forall (c4: C).((wf3 g c2 c4) \to (eq C c3
 312 c4))))).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H2: (ty3 g c2 u
 313 t)).(\lambda (b: B).(\lambda (c0: C).(\lambda (H3: (wf3 g (CHead c2 (Bind b)
 314 u) c0)).(let H_x \def (wf3_gen_bind1 g c2 c0 u b H3) in (let H4 \def H_x in
 315 (or_ind (ex3_2 C T (\lambda (c4: C).(\lambda (_: T).(eq C c0 (CHead c4 (Bind
 316 b) u)))) (\lambda (c4: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c2 c4))) (\lambda (_:
 317 C).(\lambda (w: T).(ty3 g c2 u w)))) (ex3 C (\lambda (c4: C).(eq C c0 (CHead
 318 c4 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c4: C).(wf3 g c2 c4)) (\lambda (_:
 319 C).(\forall (w: T).((ty3 g c2 u w) \to False)))) (eq C (CHead c3 (Bind b) u)
 320 c0) (\lambda (H5: (ex3_2 C T (\lambda (c4: C).(\lambda (_: T).(eq C c0 (CHead
 321 c4 (Bind b) u)))) (\lambda (c4: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c2 c4))) (\lambda
 322 (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c2 u w))))).(ex3_2_ind C T (\lambda (c4:
 323 C).(\lambda (_: T).(eq C c0 (CHead c4 (Bind b) u)))) (\lambda (c4:
 324 C).(\lambda (_: T).(wf3 g c2 c4))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c2
 325 u w))) (eq C (CHead c3 (Bind b) u) c0) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
 326 T).(\lambda (H6: (eq C c0 (CHead x0 (Bind b) u))).(\lambda (H7: (wf3 g c2
 327 x0)).(\lambda (_: (ty3 g c2 u x1)).(eq_ind_r C (CHead x0 (Bind b) u) (\lambda
 328 (c4: C).(eq C (CHead c3 (Bind b) u) c4)) (f_equal3 C K T C CHead c3 x0 (Bind
 329 b) (Bind b) u u (H1 x0 H7) (refl_equal K (Bind b)) (refl_equal T u)) c0
 330 H6)))))) H5)) (\lambda (H5: (ex3 C (\lambda (c4: C).(eq C c0 (CHead c4 (Bind
 331 Void) (TSort O)))) (\lambda (c4: C).(wf3 g c2 c4)) (\lambda (_: C).(\forall
 332 (w: T).((ty3 g c2 u w) \to False))))).(ex3_ind C (\lambda (c4: C).(eq C c0
 333 (CHead c4 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c4: C).(wf3 g c2 c4)) (\lambda
 334 (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c2 u w) \to False))) (eq C (CHead c3 (Bind b)
 335 u) c0) (\lambda (x0: C).(\lambda (H6: (eq C c0 (CHead x0 (Bind Void) (TSort
 336 O)))).(\lambda (_: (wf3 g c2 x0)).(\lambda (H8: ((\forall (w: T).((ty3 g c2 u
 337 w) \to False)))).(eq_ind_r C (CHead x0 (Bind Void) (TSort O)) (\lambda (c4:
 338 C).(eq C (CHead c3 (Bind b) u) c4)) (let H_x0 \def (H8 t H2) in (let H9 \def
 339 H_x0 in (False_ind (eq C (CHead c3 (Bind b) u) (CHead x0 (Bind Void) (TSort
 340 O))) H9))) c0 H6))))) H5)) H4))))))))))))) (\lambda (c2: C).(\lambda (c3:
 341 C).(\lambda (_: (wf3 g c2 c3)).(\lambda (H1: ((\forall (c4: C).((wf3 g c2 c4)
 342 \to (eq C c3 c4))))).(\lambda (u: T).(\lambda (H2: ((\forall (t: T).((ty3 g
 343 c2 u t) \to False)))).(\lambda (b: B).(\lambda (c0: C).(\lambda (H3: (wf3 g
 344 (CHead c2 (Bind b) u) c0)).(let H_x \def (wf3_gen_bind1 g c2 c0 u b H3) in
 345 (let H4 \def H_x in (or_ind (ex3_2 C T (\lambda (c4: C).(\lambda (_: T).(eq C
 346 c0 (CHead c4 (Bind b) u)))) (\lambda (c4: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c2 c4)))
 347 (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c2 u w)))) (ex3 C (\lambda (c4: C).(eq
 348 C c0 (CHead c4 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c4: C).(wf3 g c2 c4))
 349 (\lambda (_: C).(\forall (w: T).((ty3 g c2 u w) \to False)))) (eq C (CHead c3
 350 (Bind Void) (TSort O)) c0) (\lambda (H5: (ex3_2 C T (\lambda (c4: C).(\lambda
 351 (_: T).(eq C c0 (CHead c4 (Bind b) u)))) (\lambda (c4: C).(\lambda (_:
 352 T).(wf3 g c2 c4))) (\lambda (_: C).(\lambda (w: T).(ty3 g c2 u
 353 w))))).(ex3_2_ind C T (\lambda (c4: C).(\lambda (_: T).(eq C c0 (CHead c4
 354 (Bind b) u)))) (\lambda (c4: C).(\lambda (_: T).(wf3 g c2 c4))) (\lambda (_:
 355 C).(\lambda (w: T).(ty3 g c2 u w))) (eq C (CHead c3 (Bind Void) (TSort O))
 356 c0) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6: (eq C c0 (CHead x0 (Bind
 357 b) u))).(\lambda (_: (wf3 g c2 x0)).(\lambda (H8: (ty3 g c2 u x1)).(eq_ind_r
 358 C (CHead x0 (Bind b) u) (\lambda (c4: C).(eq C (CHead c3 (Bind Void) (TSort
 359 O)) c4)) (let H_x0 \def (H2 x1 H8) in (let H9 \def H_x0 in (False_ind (eq C
 360 (CHead c3 (Bind Void) (TSort O)) (CHead x0 (Bind b) u)) H9))) c0 H6))))))
 361 H5)) (\lambda (H5: (ex3 C (\lambda (c4: C).(eq C c0 (CHead c4 (Bind Void)
 362 (TSort O)))) (\lambda (c4: C).(wf3 g c2 c4)) (\lambda (_: C).(\forall (w:
 363 T).((ty3 g c2 u w) \to False))))).(ex3_ind C (\lambda (c4: C).(eq C c0 (CHead
 364 c4 (Bind Void) (TSort O)))) (\lambda (c4: C).(wf3 g c2 c4)) (\lambda (_:
 365 C).(\forall (w: T).((ty3 g c2 u w) \to False))) (eq C (CHead c3 (Bind Void)
 366 (TSort O)) c0) (\lambda (x0: C).(\lambda (H6: (eq C c0 (CHead x0 (Bind Void)
 367 (TSort O)))).(\lambda (H7: (wf3 g c2 x0)).(\lambda (_: ((\forall (w: T).((ty3
 368 g c2 u w) \to False)))).(eq_ind_r C (CHead x0 (Bind Void) (TSort O)) (\lambda
 369 (c4: C).(eq C (CHead c3 (Bind Void) (TSort O)) c4)) (f_equal3 C K T C CHead
 370 c3 x0 (Bind Void) (Bind Void) (TSort O) (TSort O) (H1 x0 H7) (refl_equal K
 371 (Bind Void)) (refl_equal T (TSort O))) c0 H6))))) H5)) H4))))))))))))
 372 (\lambda (c2: C).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: (wf3 g c2 c3)).(\lambda (H1:
 373 ((\forall (c4: C).((wf3 g c2 c4) \to (eq C c3 c4))))).(\lambda (u:
 374 T).(\lambda (f: F).(\lambda (c0: C).(\lambda (H2: (wf3 g (CHead c2 (Flat f)
 375 u) c0)).(let H_y \def (wf3_gen_flat1 g c2 c0 u f H2) in (H1 c0 H_y))))))))))
 376 c c1 H)))).
 377