]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1A/aplus/props.ma
update in ground
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / basic_1A / aplus / props.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
16
17 include "basic_1A/aplus/defs.ma".
18
19 include "basic_1A/A/fwd.ma".
20
21 include "basic_1A/next_plus/props.ma".
22
23 lemma aplus_reg_r:
24  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (h1: nat).(\forall 
25 (h2: nat).((eq A (aplus g a1 h1) (aplus g a2 h2)) \to (\forall (h: nat).(eq A 
26 (aplus g a1 (plus h h1)) (aplus g a2 (plus h h2)))))))))
27 \def
28  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (h1: nat).(\lambda 
29 (h2: nat).(\lambda (H: (eq A (aplus g a1 h1) (aplus g a2 h2))).(\lambda (h: 
30 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g a1 (plus n h1)) (aplus g a2 
31 (plus n h2)))) H (\lambda (n: nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g a1 (plus n 
32 h1)) (aplus g a2 (plus n h2)))).(f_equal2 G A A asucc g g (aplus g a1 (plus n 
33 h1)) (aplus g a2 (plus n h2)) (refl_equal G g) H0))) h))))))).
34
35 lemma aplus_assoc:
36  \forall (g: G).(\forall (a: A).(\forall (h1: nat).(\forall (h2: nat).(eq A 
37 (aplus g (aplus g a h1) h2) (aplus g a (plus h1 h2))))))
38 \def
39  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(\lambda (h1: nat).(nat_ind (\lambda (n: 
40 nat).(\forall (h2: nat).(eq A (aplus g (aplus g a n) h2) (aplus g a (plus n 
41 h2))))) (\lambda (h2: nat).(refl_equal A (aplus g a h2))) (\lambda (n: 
42 nat).(\lambda (_: ((\forall (h2: nat).(eq A (aplus g (aplus g a n) h2) (aplus 
43 g a (plus n h2)))))).(\lambda (h2: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq A 
44 (aplus g (asucc g (aplus g a n)) n0) (asucc g (aplus g a (plus n n0))))) 
45 (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(eq A (asucc g (aplus g a n)) (asucc g 
46 (aplus g a n0)))) (refl_equal A (asucc g (aplus g a n))) (plus n O) (plus_n_O 
47 n)) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (asucc g (aplus g a n)) 
48 n0) (asucc g (aplus g a (plus n n0))))).(eq_ind nat (S (plus n n0)) (\lambda 
49 (n1: nat).(eq A (asucc g (aplus g (asucc g (aplus g a n)) n0)) (asucc g 
50 (aplus g a n1)))) (f_equal2 G A A asucc g g (aplus g (asucc g (aplus g a n)) 
51 n0) (asucc g (aplus g a (plus n n0))) (refl_equal G g) H0) (plus n (S n0)) 
52 (plus_n_Sm n n0)))) h2)))) h1))).
53
54 lemma aplus_asucc:
55  \forall (g: G).(\forall (h: nat).(\forall (a: A).(eq A (aplus g (asucc g a) 
56 h) (asucc g (aplus g a h)))))
57 \def
58  \lambda (g: G).(\lambda (h: nat).(\lambda (a: A).(eq_ind_r A (aplus g a 
59 (plus (S O) h)) (\lambda (a0: A).(eq A a0 (asucc g (aplus g a h)))) 
60 (refl_equal A (asucc g (aplus g a h))) (aplus g (aplus g a (S O)) h) 
61 (aplus_assoc g a (S O) h)))).
62
63 lemma aplus_sort_O_S_simpl:
64  \forall (g: G).(\forall (n: nat).(\forall (k: nat).(eq A (aplus g (ASort O 
65 n) (S k)) (aplus g (ASort O (next g n)) k))))
66 \def
67  \lambda (g: G).(\lambda (n: nat).(\lambda (k: nat).(eq_ind A (aplus g (asucc 
68 g (ASort O n)) k) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus g (ASort O (next g n)) k))) 
69 (refl_equal A (aplus g (ASort O (next g n)) k)) (asucc g (aplus g (ASort O n) 
70 k)) (aplus_asucc g k (ASort O n))))).
71
72 lemma aplus_sort_S_S_simpl:
73  \forall (g: G).(\forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(eq A 
74 (aplus g (ASort (S h) n) (S k)) (aplus g (ASort h n) k)))))
75 \def
76  \lambda (g: G).(\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(eq_ind 
77 A (aplus g (asucc g (ASort (S h) n)) k) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus g 
78 (ASort h n) k))) (refl_equal A (aplus g (ASort h n) k)) (asucc g (aplus g 
79 (ASort (S h) n) k)) (aplus_asucc g k (ASort (S h) n)))))).
80
81 lemma aplus_asort_O_simpl:
82  \forall (g: G).(\forall (h: nat).(\forall (n: nat).(eq A (aplus g (ASort O 
83 n) h) (ASort O (next_plus g n h)))))
84 \def
85  \lambda (g: G).(\lambda (h: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: 
86 nat).(eq A (aplus g (ASort O n0) n) (ASort O (next_plus g n0 n))))) (\lambda 
87 (n: nat).(refl_equal A (ASort O n))) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall 
88 (n0: nat).(eq A (aplus g (ASort O n0) n) (ASort O (next_plus g n0 
89 n)))))).(\lambda (n0: nat).(eq_ind A (aplus g (asucc g (ASort O n0)) n) 
90 (\lambda (a: A).(eq A a (ASort O (next g (next_plus g n0 n))))) (eq_ind nat 
91 (next_plus g (next g n0) n) (\lambda (n1: nat).(eq A (aplus g (ASort O (next 
92 g n0)) n) (ASort O n1))) (H (next g n0)) (next g (next_plus g n0 n)) 
93 (next_plus_next g n0 n)) (asucc g (aplus g (ASort O n0) n)) (aplus_asucc g n 
94 (ASort O n0)))))) h)).
95
96 lemma aplus_asort_le_simpl:
97  \forall (g: G).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (n: nat).((le h 
98 k) \to (eq A (aplus g (ASort k n) h) (ASort (minus k h) n))))))
99 \def
100  \lambda (g: G).(\lambda (h: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (k: 
101 nat).(\forall (n0: nat).((le n k) \to (eq A (aplus g (ASort k n0) n) (ASort 
102 (minus k n) n0)))))) (\lambda (k: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le O 
103 k)).(eq_ind nat k (\lambda (n0: nat).(eq A (ASort k n) (ASort n0 n))) 
104 (refl_equal A (ASort k n)) (minus k O) (minus_n_O k))))) (\lambda (h0: 
105 nat).(\lambda (H: ((\forall (k: nat).(\forall (n: nat).((le h0 k) \to (eq A 
106 (aplus g (ASort k n) h0) (ASort (minus k h0) n))))))).(\lambda (k: 
107 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).((le (S h0) n) \to (eq A 
108 (asucc g (aplus g (ASort n n0) h0)) (ASort (minus n (S h0)) n0))))) (\lambda 
109 (n: nat).(\lambda (H0: (le (S h0) O)).(ex2_ind nat (\lambda (n0: nat).(eq nat 
110 O (S n0))) (\lambda (n0: nat).(le h0 n0)) (eq A (asucc g (aplus g (ASort O n) 
111 h0)) (ASort (minus O (S h0)) n)) (\lambda (x: nat).(\lambda (H1: (eq nat O (S 
112 x))).(\lambda (_: (le h0 x)).(let H3 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: 
113 nat).(match ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I (S x) 
114 H1) in (False_ind (eq A (asucc g (aplus g (ASort O n) h0)) (ASort (minus O (S 
115 h0)) n)) H3))))) (le_gen_S h0 O H0)))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: 
116 ((\forall (n0: nat).((le (S h0) n) \to (eq A (asucc g (aplus g (ASort n n0) 
117 h0)) (ASort (minus n (S h0)) n0)))))).(\lambda (n0: nat).(\lambda (H1: (le (S 
118 h0) (S n))).(eq_ind A (aplus g (asucc g (ASort (S n) n0)) h0) (\lambda (a: 
119 A).(eq A a (ASort (minus (S n) (S h0)) n0))) (H n n0 (le_S_n h0 n H1)) (asucc 
120 g (aplus g (ASort (S n) n0) h0)) (aplus_asucc g h0 (ASort (S n) n0))))))) 
121 k)))) h)).
122
123 lemma aplus_asort_simpl:
124  \forall (g: G).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (n: nat).(eq A 
125 (aplus g (ASort k n) h) (ASort (minus k h) (next_plus g n (minus h k)))))))
126 \def
127  \lambda (g: G).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (n: 
128 nat).(lt_le_e k h (eq A (aplus g (ASort k n) h) (ASort (minus k h) (next_plus 
129 g n (minus h k)))) (\lambda (H: (lt k h)).(eq_ind_r nat (plus k (minus h k)) 
130 (\lambda (n0: nat).(eq A (aplus g (ASort k n) n0) (ASort (minus k h) 
131 (next_plus g n (minus h k))))) (eq_ind A (aplus g (aplus g (ASort k n) k) 
132 (minus h k)) (\lambda (a: A).(eq A a (ASort (minus k h) (next_plus g n (minus 
133 h k))))) (eq_ind_r A (ASort (minus k k) n) (\lambda (a: A).(eq A (aplus g a 
134 (minus h k)) (ASort (minus k h) (next_plus g n (minus h k))))) (eq_ind nat O 
135 (\lambda (n0: nat).(eq A (aplus g (ASort n0 n) (minus h k)) (ASort (minus k 
136 h) (next_plus g n (minus h k))))) (eq_ind_r nat O (\lambda (n0: nat).(eq A 
137 (aplus g (ASort O n) (minus h k)) (ASort n0 (next_plus g n (minus h k))))) 
138 (aplus_asort_O_simpl g (minus h k) n) (minus k h) (O_minus k h (le_S_n k h 
139 (le_S_n (S k) (S h) (le_S (S (S k)) (S h) (le_n_S (S k) h H)))))) (minus k k) 
140 (minus_n_n k)) (aplus g (ASort k n) k) (aplus_asort_le_simpl g k k n (le_n 
141 k))) (aplus g (ASort k n) (plus k (minus h k))) (aplus_assoc g (ASort k n) k 
142 (minus h k))) h (le_plus_minus k h (le_S_n k h (le_S_n (S k) (S h) (le_S (S 
143 (S k)) (S h) (le_n_S (S k) h H))))))) (\lambda (H: (le h k)).(eq_ind_r A 
144 (ASort (minus k h) n) (\lambda (a: A).(eq A a (ASort (minus k h) (next_plus g 
145 n (minus h k))))) (eq_ind_r nat O (\lambda (n0: nat).(eq A (ASort (minus k h) 
146 n) (ASort (minus k h) (next_plus g n n0)))) (refl_equal A (ASort (minus k h) 
147 (next_plus g n O))) (minus h k) (O_minus h k H)) (aplus g (ASort k n) h) 
148 (aplus_asort_le_simpl g h k n H))))))).
149
150 lemma aplus_ahead_simpl:
151  \forall (g: G).(\forall (h: nat).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(eq A 
152 (aplus g (AHead a1 a2) h) (AHead a1 (aplus g a2 h))))))
153 \def
154  \lambda (g: G).(\lambda (h: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (a1: 
155 A).(\forall (a2: A).(eq A (aplus g (AHead a1 a2) n) (AHead a1 (aplus g a2 
156 n)))))) (\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(refl_equal A (AHead a1 a2)))) 
157 (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(eq A 
158 (aplus g (AHead a1 a2) n) (AHead a1 (aplus g a2 n))))))).(\lambda (a1: 
159 A).(\lambda (a2: A).(eq_ind A (aplus g (asucc g (AHead a1 a2)) n) (\lambda 
160 (a: A).(eq A a (AHead a1 (asucc g (aplus g a2 n))))) (eq_ind A (aplus g 
161 (asucc g a2) n) (\lambda (a: A).(eq A (aplus g (asucc g (AHead a1 a2)) n) 
162 (AHead a1 a))) (H a1 (asucc g a2)) (asucc g (aplus g a2 n)) (aplus_asucc g n 
163 a2)) (asucc g (aplus g (AHead a1 a2) n)) (aplus_asucc g n (AHead a1 a2))))))) 
164 h)).
165
166 lemma aplus_asucc_false:
167  \forall (g: G).(\forall (a: A).(\forall (h: nat).((eq A (aplus g (asucc g a) 
168 h) a) \to (\forall (P: Prop).P))))
169 \def
170  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(\forall (h: 
171 nat).((eq A (aplus g (asucc g a0) h) a0) \to (\forall (P: Prop).P)))) 
172 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (H: (eq A 
173 (aplus g (match n with [O \Rightarrow (ASort O (next g n0)) | (S h0) 
174 \Rightarrow (ASort h0 n0)]) h) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind 
175 (\lambda (n1: nat).((eq A (aplus g (match n1 with [O \Rightarrow (ASort O 
176 (next g n0)) | (S h0) \Rightarrow (ASort h0 n0)]) h) (ASort n1 n0)) \to P)) 
177 (\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort O (next g n0)) h) (ASort O n0))).(let H1 
178 \def (eq_ind A (aplus g (ASort O (next g n0)) h) (\lambda (a0: A).(eq A a0 
179 (ASort O n0))) H0 (ASort (minus O h) (next_plus g (next g n0) (minus h O))) 
180 (aplus_asort_simpl g h O (next g n0))) in (let H2 \def (f_equal A nat 
181 (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ n1) \Rightarrow n1 | (AHead _ _) 
182 \Rightarrow (next_plus g (next g n0) (minus h O))])) (ASort (minus O h) 
183 (next_plus g (next g n0) (minus h O))) (ASort O n0) H1) in (let H3 \def 
184 (eq_ind_r nat (minus h O) (\lambda (n1: nat).(eq nat (next_plus g (next g n0) 
185 n1) n0)) H2 h (minus_n_O h)) in (le_lt_false n0 n0 (le_n n0) (eq_ind nat 
186 (next_plus g (next g n0) h) (\lambda (n1: nat).(lt n0 n1)) (next_plus_lt g h 
187 n0) n0 H3) P))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((eq A (aplus g (match n1 
188 with [O \Rightarrow (ASort O (next g n0)) | (S h0) \Rightarrow (ASort h0 
189 n0)]) h) (ASort n1 n0)) \to P))).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort n1 n0) 
190 h) (ASort (S n1) n0))).(let H1 \def (eq_ind A (aplus g (ASort n1 n0) h) 
191 (\lambda (a0: A).(eq A a0 (ASort (S n1) n0))) H0 (ASort (minus n1 h) 
192 (next_plus g n0 (minus h n1))) (aplus_asort_simpl g h n1 n0)) in (let H2 \def 
193 (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e with [(ASort n2 _) \Rightarrow n2 | 
194 (AHead _ _) \Rightarrow (minus n1 h)])) (ASort (minus n1 h) (next_plus g n0 
195 (minus h n1))) (ASort (S n1) n0) H1) in ((let H3 \def (f_equal A nat (\lambda 
196 (e: A).(match e with [(ASort _ n2) \Rightarrow n2 | (AHead _ _) \Rightarrow 
197 (next_plus g n0 (minus h n1))])) (ASort (minus n1 h) (next_plus g n0 (minus h 
198 n1))) (ASort (S n1) n0) H1) in (\lambda (H4: (eq nat (minus n1 h) (S 
199 n1))).(le_Sx_x n1 (eq_ind nat (minus n1 h) (\lambda (n2: nat).(le n2 n1)) 
200 (minus_le n1 h) (S n1) H4) P))) H2)))))) n H)))))) (\lambda (a0: A).(\lambda 
201 (_: ((\forall (h: nat).((eq A (aplus g (asucc g a0) h) a0) \to (\forall (P: 
202 Prop).P))))).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).((eq A (aplus 
203 g (asucc g a1) h) a1) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (h: 
204 nat).(\lambda (H1: (eq A (aplus g (AHead a0 (asucc g a1)) h) (AHead a0 
205 a1))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind A (aplus g (AHead a0 (asucc g 
206 a1)) h) (\lambda (a2: A).(eq A a2 (AHead a0 a1))) H1 (AHead a0 (aplus g 
207 (asucc g a1) h)) (aplus_ahead_simpl g h a0 (asucc g a1))) in (let H3 \def 
208 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e with [(ASort _ _) \Rightarrow (aplus g 
209 (asucc g a1) h) | (AHead _ a2) \Rightarrow a2])) (AHead a0 (aplus g (asucc g 
210 a1) h)) (AHead a0 a1) H2) in (H0 h H3 P)))))))))) a)).
211
212 lemma aplus_inj:
213  \forall (g: G).(\forall (h1: nat).(\forall (h2: nat).(\forall (a: A).((eq A 
214 (aplus g a h1) (aplus g a h2)) \to (eq nat h1 h2)))))
215 \def
216  \lambda (g: G).(\lambda (h1: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (h2: 
217 nat).(\forall (a: A).((eq A (aplus g a n) (aplus g a h2)) \to (eq nat n 
218 h2))))) (\lambda (h2: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (a: A).((eq A 
219 (aplus g a O) (aplus g a n)) \to (eq nat O n)))) (\lambda (a: A).(\lambda (_: 
220 (eq A a a)).(refl_equal nat O))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: ((\forall (a: 
221 A).((eq A a (aplus g a n)) \to (eq nat O n))))).(\lambda (a: A).(\lambda (H0: 
222 (eq A a (asucc g (aplus g a n)))).(let H1 \def (eq_ind_r A (asucc g (aplus g 
223 a n)) (\lambda (a0: A).(eq A a a0)) H0 (aplus g (asucc g a) n) (aplus_asucc g 
224 n a)) in (aplus_asucc_false g a n (sym_eq A a (aplus g (asucc g a) n) H1) (eq 
225 nat O (S n)))))))) h2)) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (h2: 
226 nat).(\forall (a: A).((eq A (aplus g a n) (aplus g a h2)) \to (eq nat n 
227 h2)))))).(\lambda (h2: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(\forall (a: A).((eq 
228 A (aplus g a (S n)) (aplus g a n0)) \to (eq nat (S n) n0)))) (\lambda (a: 
229 A).(\lambda (H0: (eq A (asucc g (aplus g a n)) a)).(let H1 \def (eq_ind_r A 
230 (asucc g (aplus g a n)) (\lambda (a0: A).(eq A a0 a)) H0 (aplus g (asucc g a) 
231 n) (aplus_asucc g n a)) in (aplus_asucc_false g a n H1 (eq nat (S n) O))))) 
232 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: ((\forall (a: A).((eq A (asucc g (aplus g a 
233 n)) (aplus g a n0)) \to (eq nat (S n) n0))))).(\lambda (a: A).(\lambda (H1: 
234 (eq A (asucc g (aplus g a n)) (asucc g (aplus g a n0)))).(let H2 \def 
235 (eq_ind_r A (asucc g (aplus g a n)) (\lambda (a0: A).(eq A a0 (asucc g (aplus 
236 g a n0)))) H1 (aplus g (asucc g a) n) (aplus_asucc g n a)) in (let H3 \def 
237 (eq_ind_r A (asucc g (aplus g a n0)) (\lambda (a0: A).(eq A (aplus g (asucc g 
238 a) n) a0)) H2 (aplus g (asucc g a) n0) (aplus_asucc g n0 a)) in (f_equal nat 
239 nat S n n0 (H n0 (asucc g a) H3)))))))) h2)))) h1)).
240