]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1A/csubst0/fwd.ma
update in ground
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / basic_1A / csubst0 / fwd.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
16
17 include "basic_1A/csubst0/defs.ma".
18
19 include "basic_1A/C/fwd.ma".
20
21 implied rec lemma csubst0_ind (P: (nat \to (T \to (C \to (C \to Prop))))) (f: 
22 (\forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (v: T).(\forall (u1: T).(\forall 
23 (u2: T).((subst0 i v u1 u2) \to (\forall (c: C).(P (s k i) v (CHead c k u1) 
24 (CHead c k u2)))))))))) (f0: (\forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (c1: 
25 C).(\forall (c2: C).(\forall (v: T).((csubst0 i v c1 c2) \to ((P i v c1 c2) 
26 \to (\forall (u: T).(P (s k i) v (CHead c1 k u) (CHead c2 k u))))))))))) (f1: 
27 (\forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (v: T).(\forall (u1: T).(\forall 
28 (u2: T).((subst0 i v u1 u2) \to (\forall (c1: C).(\forall (c2: C).((csubst0 i 
29 v c1 c2) \to ((P i v c1 c2) \to (P (s k i) v (CHead c1 k u1) (CHead c2 k 
30 u2))))))))))))) (n: nat) (t: T) (c: C) (c0: C) (c1: csubst0 n t c c0) on c1: 
31 P n t c c0 \def match c1 with [(csubst0_snd k i v u1 u2 s0 c2) \Rightarrow (f 
32 k i v u1 u2 s0 c2) | (csubst0_fst k i c2 c3 v c4 u) \Rightarrow (f0 k i c2 c3 
33 v c4 ((csubst0_ind P f f0 f1) i v c2 c3 c4) u) | (csubst0_both k i v u1 u2 s0 
34 c2 c3 c4) \Rightarrow (f1 k i v u1 u2 s0 c2 c3 c4 ((csubst0_ind P f f0 f1) i 
35 v c2 c3 c4))].
36
37 lemma csubst0_gen_sort:
38  \forall (x: C).(\forall (v: T).(\forall (i: nat).(\forall (n: nat).((csubst0 
39 i v (CSort n) x) \to (\forall (P: Prop).P)))))
40 \def
41  \lambda (x: C).(\lambda (v: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda 
42 (H: (csubst0 i v (CSort n) x)).(\lambda (P: Prop).(insert_eq C (CSort n) 
43 (\lambda (c: C).(csubst0 i v c x)) (\lambda (_: C).P) (\lambda (y: 
44 C).(\lambda (H0: (csubst0 i v y x)).(csubst0_ind (\lambda (_: nat).(\lambda 
45 (_: T).(\lambda (c: C).(\lambda (_: C).((eq C c (CSort n)) \to P))))) 
46 (\lambda (k: K).(\lambda (i0: nat).(\lambda (v0: T).(\lambda (u1: T).(\lambda 
47 (u2: T).(\lambda (_: (subst0 i0 v0 u1 u2)).(\lambda (c: C).(\lambda (H2: (eq 
48 C (CHead c k u1) (CSort n))).(let H3 \def (eq_ind C (CHead c k u1) (\lambda 
49 (ee: C).(match ee with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) 
50 \Rightarrow True])) I (CSort n) H2) in (False_ind P H3)))))))))) (\lambda (k: 
51 K).(\lambda (i0: nat).(\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (v0: 
52 T).(\lambda (_: (csubst0 i0 v0 c1 c2)).(\lambda (_: (((eq C c1 (CSort n)) \to 
53 P))).(\lambda (u: T).(\lambda (H3: (eq C (CHead c1 k u) (CSort n))).(let H4 
54 \def (eq_ind C (CHead c1 k u) (\lambda (ee: C).(match ee with [(CSort _) 
55 \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I (CSort n) H3) in 
56 (False_ind P H4))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (i0: nat).(\lambda (v0: 
57 T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (subst0 i0 v0 u1 
58 u2)).(\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (csubst0 i0 v0 c1 
59 c2)).(\lambda (_: (((eq C c1 (CSort n)) \to P))).(\lambda (H4: (eq C (CHead 
60 c1 k u1) (CSort n))).(let H5 \def (eq_ind C (CHead c1 k u1) (\lambda (ee: 
61 C).(match ee with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow 
62 True])) I (CSort n) H4) in (False_ind P H5))))))))))))) i v y x H0))) H)))))).
63
64 lemma csubst0_gen_head:
65  \forall (k: K).(\forall (c1: C).(\forall (x: C).(\forall (u1: T).(\forall 
66 (v: T).(\forall (i: nat).((csubst0 i v (CHead c1 k u1) x) \to (or3 (ex3_2 T 
67 nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat i (s k j)))) (\lambda (u2: 
68 T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j: 
69 nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq 
70 nat i (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2 k 
71 u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c2)))) (ex4_3 T C 
72 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i (s k j))))) 
73 (\lambda (u2: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2 k 
74 u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 
75 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 
76 c2))))))))))))
77 \def
78  \lambda (k: K).(\lambda (c1: C).(\lambda (x: C).(\lambda (u1: T).(\lambda 
79 (v: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H: (csubst0 i v (CHead c1 k u1) 
80 x)).(insert_eq C (CHead c1 k u1) (\lambda (c: C).(csubst0 i v c x)) (\lambda 
81 (_: C).(or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat i (s k 
82 j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u2)))) (\lambda 
83 (u2: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: 
84 C).(\lambda (j: nat).(eq nat i (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: 
85 nat).(eq C x (CHead c2 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j 
86 v c1 c2)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: 
87 nat).(eq nat i (s k j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: 
88 nat).(eq C x (CHead c2 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda 
89 (j: nat).(subst0 j v u1 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: 
90 nat).(csubst0 j v c1 c2))))))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (csubst0 i v y 
91 x)).(csubst0_ind (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (c: C).(\lambda 
92 (c0: C).((eq C c (CHead c1 k u1)) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: 
93 T).(\lambda (j: nat).(eq nat n (s k j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: 
94 nat).(eq C c0 (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j 
95 t u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat n (s k 
96 j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C c0 (CHead c2 k u1)))) (\lambda 
97 (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j t c1 c2)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: 
98 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat n (s k j))))) (\lambda (u2: 
99 T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C c0 (CHead c2 k u2))))) (\lambda 
100 (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j t u1 u2)))) (\lambda (_: 
101 T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j t c1 c2))))))))))) (\lambda 
102 (k0: K).(\lambda (i0: nat).(\lambda (v0: T).(\lambda (u0: T).(\lambda (u2: 
103 T).(\lambda (H1: (subst0 i0 v0 u0 u2)).(\lambda (c: C).(\lambda (H2: (eq C 
104 (CHead c k0 u0) (CHead c1 k u1))).(let H3 \def (f_equal C C (\lambda (e: 
105 C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c | (CHead c0 _ _) \Rightarrow c0])) 
106 (CHead c k0 u0) (CHead c1 k u1) H2) in ((let H4 \def (f_equal C K (\lambda 
107 (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow k0 | (CHead _ k1 _) \Rightarrow 
108 k1])) (CHead c k0 u0) (CHead c1 k u1) H2) in ((let H5 \def (f_equal C T 
109 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t) 
110 \Rightarrow t])) (CHead c k0 u0) (CHead c1 k u1) H2) in (\lambda (H6: (eq K 
111 k0 k)).(\lambda (H7: (eq C c c1)).(eq_ind_r C c1 (\lambda (c0: C).(or3 (ex3_2 
112 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda 
113 (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c0 k0 u2) (CHead c1 k u3)))) (\lambda 
114 (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: 
115 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda 
116 (_: nat).(eq C (CHead c0 k0 u2) (CHead c2 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda 
117 (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c2)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: 
118 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda 
119 (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c0 k0 u2) (CHead c2 k u3))))) (\lambda 
120 (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (\lambda (_: 
121 T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c2))))))) (let H8 \def 
122 (eq_ind T u0 (\lambda (t: T).(subst0 i0 v0 t u2)) H1 u1 H5) in (eq_ind_r K k 
123 (\lambda (k1: K).(or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat 
124 (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c1 k1 
125 u2) (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 
126 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k 
127 j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c1 k1 u2) (CHead c2 k 
128 u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c2)))) (ex4_3 T C 
129 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k 
130 j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c1 k1 
131 u2) (CHead c2 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: 
132 nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: 
133 nat).(csubst0 j v0 c1 c2))))))) (or3_intro0 (ex3_2 T nat (\lambda (_: 
134 T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda 
135 (_: nat).(eq C (CHead c1 k u2) (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda 
136 (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: 
137 nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C 
138 (CHead c1 k u2) (CHead c2 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: 
139 nat).(csubst0 j v0 c1 c2)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: 
140 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda 
141 (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c1 k u2) (CHead c2 k u3))))) (\lambda 
142 (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (\lambda (_: 
143 T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c2))))) (ex3_2_intro T 
144 nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda 
145 (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c1 k u2) (CHead c1 k u3)))) (\lambda 
146 (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3))) u2 i0 (refl_equal nat (s k 
147 i0)) (refl_equal C (CHead c1 k u2)) H8)) k0 H6)) c H7)))) H4)) H3)))))))))) 
148 (\lambda (k0: K).(\lambda (i0: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (c2: 
149 C).(\lambda (v0: T).(\lambda (H1: (csubst0 i0 v0 c0 c2)).(\lambda (H2: (((eq 
150 C c0 (CHead c1 k u1)) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: 
151 nat).(eq nat i0 (s k j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C c2 (CHead 
152 c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u2)))) (ex3_2 
153 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k j)))) (\lambda (c3: 
154 C).(\lambda (_: nat).(eq C c2 (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda 
155 (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: 
156 C).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: 
157 C).(\lambda (_: nat).(eq C c2 (CHead c3 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda 
158 (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: 
159 C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3))))))))).(\lambda (u: T).(\lambda 
160 (H3: (eq C (CHead c0 k0 u) (CHead c1 k u1))).(let H4 \def (f_equal C C 
161 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c0 | (CHead c _ _) 
162 \Rightarrow c])) (CHead c0 k0 u) (CHead c1 k u1) H3) in ((let H5 \def 
163 (f_equal C K (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow k0 | (CHead 
164 _ k1 _) \Rightarrow k1])) (CHead c0 k0 u) (CHead c1 k u1) H3) in ((let H6 
165 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow u | 
166 (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c0 k0 u) (CHead c1 k u1) H3) in 
167 (\lambda (H7: (eq K k0 k)).(\lambda (H8: (eq C c0 c1)).(eq_ind_r T u1 
168 (\lambda (t: T).(or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat 
169 (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k0 t) 
170 (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u2)))) 
171 (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) 
172 (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k0 t) (CHead c3 k u1)))) 
173 (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) (ex4_3 T C nat 
174 (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k 
175 j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k0 
176 t) (CHead c3 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: 
177 nat).(subst0 j v0 u1 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: 
178 nat).(csubst0 j v0 c1 c3))))))) (let H9 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: 
179 C).((eq C c (CHead c1 k u1)) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda 
180 (j: nat).(eq nat i0 (s k j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C c2 
181 (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u2)))) 
182 (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k j)))) (\lambda 
183 (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C c2 (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: 
184 C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: 
185 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k j))))) (\lambda (u2: 
186 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C c2 (CHead c3 k u2))))) (\lambda 
187 (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u2)))) (\lambda (_: 
188 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))))))) H2 c1 H8) 
189 in (let H10 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).(csubst0 i0 v0 c c2)) H1 c1 H8) 
190 in (eq_ind_r K k (\lambda (k1: K).(or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda 
191 (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq 
192 C (CHead c2 k1 u1) (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j: 
193 nat).(subst0 j v0 u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: 
194 nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C 
195 (CHead c2 k1 u1) (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: 
196 nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: 
197 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda 
198 (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k1 u1) (CHead c3 k u2))))) (\lambda 
199 (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u2)))) (\lambda (_: 
200 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3))))))) (or3_intro1 
201 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) 
202 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u1) (CHead c1 k u2)))) 
203 (\lambda (u2: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u2)))) (ex3_2 C nat 
204 (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c3: 
205 C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u1) (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: 
206 C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: 
207 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))) (\lambda 
208 (u2: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u1) (CHead c3 k 
209 u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 
210 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 
211 c3))))) (ex3_2_intro C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) 
212 (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u1) (CHead c3 
213 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3))) c2 i0 
214 (refl_equal nat (s k i0)) (refl_equal C (CHead c2 k u1)) H10)) k0 H7))) u 
215 H6)))) H5)) H4))))))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (i0: nat).(\lambda (v0: 
216 T).(\lambda (u0: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H1: (subst0 i0 v0 u0 
217 u2)).(\lambda (c0: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H2: (csubst0 i0 v0 c0 
218 c2)).(\lambda (H3: (((eq C c0 (CHead c1 k u1)) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda 
219 (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: 
220 nat).(eq C c2 (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j 
221 v0 u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k 
222 j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C c2 (CHead c3 k u1)))) (\lambda 
223 (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: 
224 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k j))))) (\lambda (u3: 
225 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C c2 (CHead c3 k u3))))) (\lambda 
226 (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (\lambda (_: 
227 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3))))))))).(\lambda 
228 (H4: (eq C (CHead c0 k0 u0) (CHead c1 k u1))).(let H5 \def (f_equal C C 
229 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c0 | (CHead c _ _) 
230 \Rightarrow c])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c1 k u1) H4) in ((let H6 \def 
231 (f_equal C K (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow k0 | (CHead 
232 _ k1 _) \Rightarrow k1])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c1 k u1) H4) in ((let H7 
233 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow u0 | 
234 (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c1 k u1) H4) in 
235 (\lambda (H8: (eq K k0 k)).(\lambda (H9: (eq C c0 c1)).(let H10 \def (eq_ind 
236 C c0 (\lambda (c: C).((eq C c (CHead c1 k u1)) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda 
237 (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: 
238 nat).(eq C c2 (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j 
239 v0 u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k 
240 j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C c2 (CHead c3 k u1)))) (\lambda 
241 (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: 
242 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i0 (s k j))))) (\lambda (u3: 
243 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C c2 (CHead c3 k u3))))) (\lambda 
244 (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (\lambda (_: 
245 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))))))) H3 c1 H9) 
246 in (let H11 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c: C).(csubst0 i0 v0 c c2)) H2 c1 H9) 
247 in (let H12 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t: T).(subst0 i0 v0 t u2)) H1 u1 H7) 
248 in (eq_ind_r K k (\lambda (k1: K).(or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda 
249 (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq 
250 C (CHead c2 k1 u2) (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j: 
251 nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: 
252 nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C 
253 (CHead c2 k1 u2) (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: 
254 nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: 
255 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda 
256 (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k1 u2) (CHead c3 k u3))))) (\lambda 
257 (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (\lambda (_: 
258 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3))))))) (or3_intro2 
259 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) 
260 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u2) (CHead c1 k u3)))) 
261 (\lambda (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (ex3_2 C nat 
262 (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c3: 
263 C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u2) (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: 
264 C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: 
265 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))) (\lambda 
266 (u3: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u2) (CHead c3 k 
267 u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 
268 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 
269 c3))))) (ex4_3_intro T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: 
270 nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c3: C).(\lambda 
271 (_: nat).(eq C (CHead c2 k u2) (CHead c3 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda 
272 (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v0 u1 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: 
273 C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v0 c1 c3)))) u2 c2 i0 (refl_equal nat (s k 
274 i0)) (refl_equal C (CHead c2 k u2)) H12 H11)) k0 H8))))))) H6)) 
275 H5))))))))))))) i v y x H0))) H))))))).
276
277 lemma csubst0_gen_S_bind_2:
278  \forall (b: B).(\forall (x: C).(\forall (c2: C).(\forall (v: T).(\forall 
279 (v2: T).(\forall (i: nat).((csubst0 (S i) v x (CHead c2 (Bind b) v2)) \to 
280 (or3 (ex2 T (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C x 
281 (CHead c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) 
282 (\lambda (c1: C).(eq C x (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: 
283 C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: 
284 T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: T).(eq C x (CHead c1 
285 (Bind b) v1))))))))))))
286 \def
287  \lambda (b: B).(\lambda (x: C).(C_ind (\lambda (c: C).(\forall (c2: 
288 C).(\forall (v: T).(\forall (v2: T).(\forall (i: nat).((csubst0 (S i) v c 
289 (CHead c2 (Bind b) v2)) \to (or3 (ex2 T (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) 
290 (\lambda (v1: T).(eq C c (CHead c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: 
291 C).(csubst0 i v c1 c2)) (\lambda (c1: C).(eq C c (CHead c1 (Bind b) v2)))) 
292 (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda 
293 (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: 
294 T).(eq C c (CHead c1 (Bind b) v1)))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (c2: 
295 C).(\lambda (v: T).(\lambda (v2: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H: (csubst0 
296 (S i) v (CSort n) (CHead c2 (Bind b) v2))).(csubst0_gen_sort (CHead c2 (Bind 
297 b) v2) v (S i) n H (or3 (ex2 T (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda 
298 (v1: T).(eq C (CSort n) (CHead c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: 
299 C).(csubst0 i v c1 c2)) (\lambda (c1: C).(eq C (CSort n) (CHead c1 (Bind b) 
300 v2)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) 
301 (\lambda (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda (c1: 
302 C).(\lambda (v1: T).(eq C (CSort n) (CHead c1 (Bind b) v1))))))))))))) 
303 (\lambda (c: C).(\lambda (_: ((\forall (c2: C).(\forall (v: T).(\forall (v2: 
304 T).(\forall (i: nat).((csubst0 (S i) v c (CHead c2 (Bind b) v2)) \to (or3 
305 (ex2 T (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C c (CHead 
306 c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) (\lambda (c1: 
307 C).(eq C c (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda (v1: 
308 T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 
309 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: T).(eq C c (CHead c1 (Bind b) 
310 v1))))))))))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (v: 
311 T).(\lambda (v2: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (csubst0 (S i) v (CHead c 
312 k t) (CHead c2 (Bind b) v2))).(let H1 \def (csubst0_gen_head k c (CHead c2 
313 (Bind b) v2) t v (S i) H0) in (or3_ind (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda 
314 (j: nat).(eq nat (S i) (s k j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C 
315 (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead c k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j: 
316 nat).(subst0 j v t u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq 
317 nat (S i) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 (Bind 
318 b) v2) (CHead c3 k t)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c 
319 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq 
320 nat (S i) (s k j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq 
321 C (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead c3 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: 
322 C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v t u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: 
323 C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c c3))))) (or3 (ex2 T (\lambda (v1: 
324 T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k t) (CHead c2 (Bind 
325 b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) (\lambda (c1: C).(eq C 
326 (CHead c k t) (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda 
327 (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 
328 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k t) (CHead c1 (Bind 
329 b) v1)))))) (\lambda (H2: (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq 
330 nat (S i) (s k j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 (Bind 
331 b) v2) (CHead c k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v t 
332 u2))))).(ex3_2_ind T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (S i) (s k 
333 j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead 
334 c k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v t u2))) (or3 (ex2 T 
335 (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k t) 
336 (CHead c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) 
337 (\lambda (c1: C).(eq C (CHead c k t) (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T 
338 (\lambda (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: 
339 C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: 
340 T).(eq C (CHead c k t) (CHead c1 (Bind b) v1)))))) (\lambda (x0: T).(\lambda 
341 (x1: nat).(\lambda (H3: (eq nat (S i) (s k x1))).(\lambda (H4: (eq C (CHead 
342 c2 (Bind b) v2) (CHead c k x0))).(\lambda (H5: (subst0 x1 v t x0)).(let H6 
343 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c2 | 
344 (CHead c0 _ _) \Rightarrow c0])) (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead c k x0) H4) in 
345 ((let H7 \def (f_equal C K (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) 
346 \Rightarrow (Bind b) | (CHead _ k0 _) \Rightarrow k0])) (CHead c2 (Bind b) 
347 v2) (CHead c k x0) H4) in ((let H8 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e 
348 with [(CSort _) \Rightarrow v2 | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead c2 
349 (Bind b) v2) (CHead c k x0) H4) in (\lambda (H9: (eq K (Bind b) k)).(\lambda 
350 (H10: (eq C c2 c)).(let H11 \def (eq_ind_r T x0 (\lambda (t0: T).(subst0 x1 v 
351 t t0)) H5 v2 H8) in (eq_ind_r C c (\lambda (c0: C).(or3 (ex2 T (\lambda (v1: 
352 T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k t) (CHead c0 (Bind 
353 b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c0)) (\lambda (c1: C).(eq C 
354 (CHead c k t) (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda 
355 (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 
356 c0))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k t) (CHead c1 (Bind 
357 b) v1))))))) (let H12 \def (eq_ind_r K k (\lambda (k0: K).(eq nat (S i) (s k0 
358 x1))) H3 (Bind b) H9) in (eq_ind K (Bind b) (\lambda (k0: K).(or3 (ex2 T 
359 (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k0 t) 
360 (CHead c (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c)) (\lambda 
361 (c1: C).(eq C (CHead c k0 t) (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T (\lambda 
362 (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: 
363 T).(csubst0 i v c1 c))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k0 
364 t) (CHead c1 (Bind b) v1))))))) (let H13 \def (f_equal nat nat (\lambda (e: 
365 nat).(match e with [O \Rightarrow i | (S n) \Rightarrow n])) (S i) (S x1) 
366 H12) in (let H14 \def (eq_ind_r nat x1 (\lambda (n: nat).(subst0 n v t v2)) 
367 H11 i H13) in (or3_intro0 (ex2 T (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) 
368 (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c (Bind b) t) (CHead c (Bind b) v1)))) (ex2 C 
369 (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c)) (\lambda (c1: C).(eq C (CHead c (Bind b) 
370 t) (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda (v1: 
371 T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c))) 
372 (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: T).(eq C (CHead c (Bind b) t) (CHead c1 (Bind 
373 b) v1))))) (ex_intro2 T (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: 
374 T).(eq C (CHead c (Bind b) t) (CHead c (Bind b) v1))) t H14 (refl_equal C 
375 (CHead c (Bind b) t)))))) k H9)) c2 H10))))) H7)) H6))))))) H2)) (\lambda 
376 (H2: (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (S i) (s k j)))) 
377 (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead c3 k 
378 t)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c c3))))).(ex3_2_ind C 
379 nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (S i) (s k j)))) (\lambda (c3: 
380 C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead c3 k t)))) (\lambda 
381 (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c c3))) (or3 (ex2 T (\lambda (v1: 
382 T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k t) (CHead c2 (Bind 
383 b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) (\lambda (c1: C).(eq C 
384 (CHead c k t) (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda 
385 (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 
386 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k t) (CHead c1 (Bind 
387 b) v1)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: nat).(\lambda (H3: (eq nat (S i) 
388 (s k x1))).(\lambda (H4: (eq C (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead x0 k 
389 t))).(\lambda (H5: (csubst0 x1 v c x0)).(let H6 \def (f_equal C C (\lambda 
390 (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c2 | (CHead c0 _ _) \Rightarrow 
391 c0])) (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead x0 k t) H4) in ((let H7 \def (f_equal C K 
392 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow (Bind b) | (CHead _ k0 
393 _) \Rightarrow k0])) (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead x0 k t) H4) in ((let H8 
394 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow v2 | 
395 (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead x0 k t) H4) in 
396 (\lambda (H9: (eq K (Bind b) k)).(\lambda (H10: (eq C c2 x0)).(let H11 \def 
397 (eq_ind_r C x0 (\lambda (c0: C).(csubst0 x1 v c c0)) H5 c2 H10) in (eq_ind_r 
398 T t (\lambda (t0: T).(or3 (ex2 T (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 t0)) 
399 (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k t) (CHead c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C 
400 (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) (\lambda (c1: C).(eq C (CHead c k t) 
401 (CHead c1 (Bind b) t0)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 
402 i v v1 t0))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda 
403 (c1: C).(\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k t) (CHead c1 (Bind b) v1))))))) 
404 (let H12 \def (eq_ind_r K k (\lambda (k0: K).(eq nat (S i) (s k0 x1))) H3 
405 (Bind b) H9) in (eq_ind K (Bind b) (\lambda (k0: K).(or3 (ex2 T (\lambda (v1: 
406 T).(subst0 i v v1 t)) (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k0 t) (CHead c2 (Bind 
407 b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) (\lambda (c1: C).(eq C 
408 (CHead c k0 t) (CHead c1 (Bind b) t)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda 
409 (v1: T).(subst0 i v v1 t))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 
410 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k0 t) (CHead c1 (Bind 
411 b) v1))))))) (let H13 \def (f_equal nat nat (\lambda (e: nat).(match e with 
412 [O \Rightarrow i | (S n) \Rightarrow n])) (S i) (S x1) H12) in (let H14 \def 
413 (eq_ind_r nat x1 (\lambda (n: nat).(csubst0 n v c c2)) H11 i H13) in 
414 (or3_intro1 (ex2 T (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 t)) (\lambda (v1: T).(eq C 
415 (CHead c (Bind b) t) (CHead c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: 
416 C).(csubst0 i v c1 c2)) (\lambda (c1: C).(eq C (CHead c (Bind b) t) (CHead c1 
417 (Bind b) t)))) (ex3_2 C T (\lambda (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 
418 t))) (\lambda (c1: C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda (c1: 
419 C).(\lambda (v1: T).(eq C (CHead c (Bind b) t) (CHead c1 (Bind b) v1))))) 
420 (ex_intro2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) (\lambda (c1: C).(eq C 
421 (CHead c (Bind b) t) (CHead c1 (Bind b) t))) c H14 (refl_equal C (CHead c 
422 (Bind b) t)))))) k H9)) v2 H8))))) H7)) H6))))))) H2)) (\lambda (H2: (ex4_3 T 
423 C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (S i) (s k 
424 j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 
425 (Bind b) v2) (CHead c3 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda 
426 (j: nat).(subst0 j v t u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: 
427 nat).(csubst0 j v c c3)))))).(ex4_3_ind T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: 
428 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (S i) (s k j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: 
429 C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead c3 k u2))))) 
430 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v t u2)))) 
431 (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c c3)))) (or3 
432 (ex2 T (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k 
433 t) (CHead c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) 
434 (\lambda (c1: C).(eq C (CHead c k t) (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T 
435 (\lambda (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: 
436 C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: 
437 T).(eq C (CHead c k t) (CHead c1 (Bind b) v1)))))) (\lambda (x0: T).(\lambda 
438 (x1: C).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H3: (eq nat (S i) (s k x2))).(\lambda 
439 (H4: (eq C (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead x1 k x0))).(\lambda (H5: (subst0 x2 
440 v t x0)).(\lambda (H6: (csubst0 x2 v c x1)).(let H7 \def (f_equal C C 
441 (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow c2 | (CHead c0 _ _) 
442 \Rightarrow c0])) (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead x1 k x0) H4) in ((let H8 \def 
443 (f_equal C K (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) \Rightarrow (Bind b) | 
444 (CHead _ k0 _) \Rightarrow k0])) (CHead c2 (Bind b) v2) (CHead x1 k x0) H4) 
445 in ((let H9 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e with [(CSort _) 
446 \Rightarrow v2 | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead c2 (Bind b) v2) 
447 (CHead x1 k x0) H4) in (\lambda (H10: (eq K (Bind b) k)).(\lambda (H11: (eq C 
448 c2 x1)).(let H12 \def (eq_ind_r C x1 (\lambda (c0: C).(csubst0 x2 v c c0)) H6 
449 c2 H11) in (let H13 \def (eq_ind_r T x0 (\lambda (t0: T).(subst0 x2 v t t0)) 
450 H5 v2 H9) in (let H14 \def (eq_ind_r K k (\lambda (k0: K).(eq nat (S i) (s k0 
451 x2))) H3 (Bind b) H10) in (eq_ind K (Bind b) (\lambda (k0: K).(or3 (ex2 T 
452 (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c k0 t) 
453 (CHead c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) 
454 (\lambda (c1: C).(eq C (CHead c k0 t) (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 C T 
455 (\lambda (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: 
456 C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: 
457 T).(eq C (CHead c k0 t) (CHead c1 (Bind b) v1))))))) (let H15 \def (f_equal 
458 nat nat (\lambda (e: nat).(match e with [O \Rightarrow i | (S n) \Rightarrow 
459 n])) (S i) (S x2) H14) in (let H16 \def (eq_ind_r nat x2 (\lambda (n: 
460 nat).(csubst0 n v c c2)) H12 i H15) in (let H17 \def (eq_ind_r nat x2 
461 (\lambda (n: nat).(subst0 n v t v2)) H13 i H15) in (or3_intro2 (ex2 T 
462 (\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2)) (\lambda (v1: T).(eq C (CHead c (Bind b) 
463 t) (CHead c2 (Bind b) v1)))) (ex2 C (\lambda (c1: C).(csubst0 i v c1 c2)) 
464 (\lambda (c1: C).(eq C (CHead c (Bind b) t) (CHead c1 (Bind b) v2)))) (ex3_2 
465 C T (\lambda (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: 
466 C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: 
467 T).(eq C (CHead c (Bind b) t) (CHead c1 (Bind b) v1))))) (ex3_2_intro C T 
468 (\lambda (_: C).(\lambda (v1: T).(subst0 i v v1 v2))) (\lambda (c1: 
469 C).(\lambda (_: T).(csubst0 i v c1 c2))) (\lambda (c1: C).(\lambda (v1: 
470 T).(eq C (CHead c (Bind b) t) (CHead c1 (Bind b) v1)))) c t H17 H16 
471 (refl_equal C (CHead c (Bind b) t))))))) k H10))))))) H8)) H7))))))))) H2)) 
472 H1))))))))))) x)).
473